1. Hãy nêu định nghĩa của sina, cosa và giải thích vì sao ta có

sin(a + k21) = sina ; k e Z cos(a + k21) = cosa ;k e Z..

Giải Trên đường tròn lượng giác trong mặt phẳng Oxy, lấy điểm A(1; 0) và điểm M (x ; y) với AM = a

* y = sin AM > y = sin a : *x= cos AM = x= cos a Mà AM = a + k.21 (k e Z) Nên sin (a + b.2) = sin a (k + Z);

cos (a + k.21) = cos a (k e Z) 2. Nêu định nghĩa của tang, cota và giải thích vì sao ta có: tan(a + kn) = tana, k e Z; cot(a + kn) = cota, k e Z.

.

Giải sin a

cos a tan a = > và cot a = = cos a

sina

sin(a + kn) Suy ra, tan(a + b) =

cos(a + kn) Mà • sin (a + k.ne) = sin a

cos (a + k.) = cos a nếu k chắn và • sin(a + b. ) = -sing

• cos(a + kt) = -cosa nếu k lẻ

nên tan(a + b) = tang (xem 3), trang 147) 3. Tính

<

<

;

1. a) sing, nếu cosx = 3 và 5 <a <=; a) sing, nếu cosx = b) cosa, nếu tana = 2/2 và T < a <3″ ; c) tang, nếu sina = 2 và 3T a < 2;

<

a

<

na =

d) cota, nếu

Giải

<

a

<

!

a

>

–

Mà cos

nên sin^ a =

–

sina –

1. a) “casasina > 0

Mà coi a – 2 nên sinoa 1 – 2 sin a b) a <a < 37 = cosa < 0.

Mà tan a = 2/2 nên cos2x =

cos?

–

cos a = —

1 + tan2

<a < 21 > tan a < 0

Mà sin a = 5* nên cos^

Mà sin a = 3 nên cos^ a = 1-4 5 Do đó, tan” – – – – – – > tan a

Do

OTO

1–

atl

>>

tan a = –

sẽ

cos, a

.

d)

<a<

cota < 0, sin a > 0

Mà cos a = —

nên sin2 x

s sin a =

Ma cos a == nên sin’a – 16 – sin a = vaca Vậy, cot a =

1. b) com a la seu de nina)

.

.sin a

4. Rút gọn các biểu thức

2 sin 2a – sin 4a 2 sin 2a + sin 4a

1. b) tan a

– sina;

sin a

d)

sin 5a – sin 3a

2 cos 4a

(1)

.

. Giải a) 2 sin2a – sin4a = 2 sin2a – 2 sinza cos2a

= 2 sin2u (1 – cos2a ) . . 2 sin2a + sin4a = 2 sin2a + 2 sin2a cos2a

= 2 sin2a (1 + cos2a) 2 sin 2a – sin 4a 1- cos 2a Do đó,

(do (1) và (2 2 sin 2a + sin 4a 1 + cos2a h 1 + cos2 a wine 1 + cos2 a – sin? a sin a

sina

(2)

cos” a + sin’a + cos” a – sin’a _ 2cos ́a (1) Suy ra, tan al sina “ – sin a) = cos a * sin a

tan as 1+ cos2 a – sin a) = sin a 2 cosa (do (1));

sina

sina,

= 2 cosa

– – a

+ COS

X.

+COS

. Co

Sa

= sin cos a – sin a.cos + cos..cos a + sin .sin

a = y2 cos a – sin a) + y2 (cos Q + sin a) = V2 cos a

: (1)

1.

—

16

SOU

in O. COS

SOY

= sin .cos a – sin a.cos. 4+ (cos. cosa + sin ,sin a) : – cos a-sin a) – va cos a + sin a) = -sin q ‘ (2)

(cos a – sina) –

os a + sin a) =

–

–

a

Suy ra từ (1) và (2), ta có : –

– = -cota

sina 5a + 3a ..5a – 3am d) sin 5a – sin 3a = 2 cos

2 cos 4a . sina

sin

–

2

.

Su

= sin a

sin 5a – sin 3a – 2 cos 4a.sin a Suy ra, * 2 cos 4a

2 cos 4a 5. Tính

2T

5) sin 23%

1. a) COS
2. c) sin 25% to 107 ;
3. d) cos? – sin

1

Giải

(211 + 1

2211 a) COS

.

.

– CO

os – +70

=

cos (-+ 1 + 61 )

3

= cos(+ + 3:21 ), (k = 3)

+

7

+

SCO

11

sin

237 – sin(247 = * ) = sin (6x – ) = sin(-5) = -sin –

251

107

241 + 1

91 +

1. c) sin

– tan

= sin

= sin(8x + 5)- tan( 25 + )

1

1. d) Đặt a = 4 thì 2a = 3

Áp dụng công thức nhân đôi: .

Suy ra, cosở 5 – sin^3 – 2 6. Chứng minh . a) sin75° + cos75°

1. c) sin65° + sin55° = 13 cos 5°;
2. b) tan267° + tan93° = 0; d) cos12o – cos48° = sin18o .

Giải

2

. cos

2

1. a) Vì 75° + 15° = 90° nên sin 75° = cos 15 –

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có : sin 75° + cos 75o = cos 15° + cos 75°

= 2. cos 15° + 75°. Cos 15o – 75° = 2 .cos 45o. cos 300

– V2 V3 V6 (dpcm) b) tan 267° + tan 93° | Vì 267 + 93° = 360° nên 267° = -93° + 360°

Suy ra, tan 267° = tan (-939) = -tan 93° | Vậy, tan 267° + tan 93° = 0 c) Ta có, 65° + 55° = 120° và 65° – 55° = 10°

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích:

100

(dpcm)

sin 65° + sin 55° = 2 sin 120o.cos 10°

= 2 sin 60o. cos 5o = 13. cos 50 d) cos 12o – cos 48° = -2.sin 30°.sin (-18°)

= 2.sin 30°.sin 18° = sin18° 7. Chứng minh các đồng nhất thức

(dpcm)

X

.

.

—-

sin x + sin

1- COS X + cos 2x

– = cotx; sin 2x – sin x

b)

= tansi

1 + COS X + cos –

ton 21 N

2 cos 2x – sin 4x

sin(x – y)

xl; d) tan x – tan y = – 2 cos 2x + sin 4x

cOS X. cos y

Giải a) 1 – cosx + cos2x = 1 + cos2x – cosx

2cos2x – cosx

cosx(2cosx – 1) . sin2x – sinx 2sinxcosx – sinx

sinx(2cosx – 1) Từ (1) và (2) = 1-sin x + cos2x cos x

– = cot x (đpcm) sin 2x – sin x sin x

–

=

inx +

S

1 + cosx + cos

282

S

+

2

1. b) sinx + sin = 2sinşcož +sin = sin (2 cos +1) (1) 1 + cosx + cos – con co con (aco • ) (2)

por ze = tan (dpcm)

sin x + sin Từ (1) và (2) =

1 + cos x + cos c) 2cos2x – sin4x = 2cos2x – 2sin2x.cos2x = 2cos2x(1 – sin2x) – 2cos2x – sin4x = 2cos2x(1 + sinx) S 2 cos 2x – sin 4x _ 1-sin 2x

2 cos 2x + sin 4x 1 + sin 2x

Suy ra, o cos2x + S1I

sin – sin 2x2cos(6 + x sin (7. – x)

+ sin 2x

2 sint

x

sin

– X

= cot(* + xte (6 – (1) Ma ( ) ( ) nên cos() = ta()

2 /

= tan

2 cos 2x – sin 4x –

– x| (đpcm) 2 cos 2x + sin 4x

sin x sin y sin x cos y – sin y cos x d) tan x – tan y =

COS X cos y cos x cos y

sin(x – y) Vậy, tanx – tany =

(dpcm).

COS X cos y Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x

sin(x – y) COS X. Cos y

+

…

“

1. b) B

–

–

X

–

s

–

+

X

1. c) C

= sin

x + cos –

– X

COS

–

+

X

:

1 + cos2x + sin 2x

Giải

1. a) A = sin(8 + x) – cos(-x); b) B = cos(8 – x) = sin(5 + x); (0) C = sin® x + cos()- * cos(6 + x); d) D = 1- cos 2x + sin 2x.cotx . a v (3*3)*(*-=)- , va men sin(7 + x) = cos(7_z). b) (3-)** ~)-ž nen cse(8-3) = sin($**) o) cos(5-2).cre(= a) (ca cos 2x)” }(** *20* x-1)

Suy ra, C = sinox + cosx-3

..

.

a)

–+x

+|-

–

X

=

x

nên si nl – + x

= COS

–

–

X

Do đó: A = 0, 1x

Do đó: B = 0, Vx

+

X

+

| Vậy, C = , vx d) 1- cos 2x + sin 2x = 2 sino x + 2 sin x cos x = 2 sin x(cos x + sin x)

1 + cos2x + sin 2x = 2 cos? x + 2 sin x cos x = 2 cos x(cos x + sin x) Data 1 – cos x + sin 2x s in x

1 + cos2x + sin 2x

-. cotx == .cotx = 1, Vx

COS X

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Chọn phương án đúng trong các bài tập sau 9. Giá trị sin^” là

#

2

.

Giải

UTI

Chọn (D) .

471 481 – A

471 nên sin.

–

–

-SI

1

6

6.

cos a =

Как

10. Cho cosa = 5 với x < 35 . Giá trị tana là (A) BS. (By (0) –

(D) –

Giải

Chọn (B)

a

Vì T < a <3″ nên sin a < 0 và tan a > 0 Và cos a = 5 nên sin a = 2

Vậy, tan a = 6 11. Cho a = T. Giá trị của biểu thức

cos 3a + 2 cos(x – 3), sino (3–1,5a) 1a: (A) . (B) B. (C)0;

a

–

(D) 2-13

Giải

| Chọn (C)

5

T

Vi a=

>> cos 3a = 0

:

• «– 3a == -5x = – 31

= cos(ne – 3a) = 0 (Học sinh nên chú ý đến câu trắc nghiệm này).

12. Giá trị của biểu thức A =

2 cosa

1+8sin?”. COS2 TL (A) – By: c) – Tanya Chọn (D)

. Giải ..cos. = cos 2(0) – 2008° 3–1 =

l

COS

2. Sin 2 1 :

2.sin’

=

“ Vậy, kết quả là: 2 13. Cho cot a = Giá trị của biểu thức B = 4

(A) ; 3. (B) (C13;

18. Cho cot a =.

a

trị của biểu thức B = .

2 sin a – 3 cos a

4 5 684 là

(D)

.

Giải

Giải Chọn (C) Chia tử và mẫu cho cosa ta có: – 4 tan a +5

| cot a == nen tan a = 2 2 tan a – 3 Suy ra, B = 13

sin a 14. Cho tan a = 2. Giá trị của biểu thức C = –

– là sin a + 2 cos’ a

B=0

(B)1;

(C) – ů;

(D) 10.

|

Giải

Chọn (B)

Ta có : C = sin^ a . Mà tan a = 2 nên

1+ 2 cot’

a . 1 + cot2 Do đó, C

1 + 2 cota

-=1