Nguồn website giaibai5s.com
I – Câu hỏi
Học sinh tự làm 5. Nêu các tính chất của bất đẳng thức. Áp dụng một trong các tính chất
đó, hãy so sánh các số 2020 và 32000.
.
.
Gial
Giải
|
Y
)
.
- 23000 = (23, 1000
32000 = (32 1000 Mà 23 <3” nên 2000 < 32000 8. Nêu cách giải hệ hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải hệ
2x + y 21 x – 3y = 1.
Giải • Vẽ đường thẳng A: 2x + y – 1, A’: x – 3y – 1 = 0 vào chung một hệ trục tọa độ
- Gạch bỏ nửa mặt phẳng bờ A chứa 0 và nửa mặt phẳng bờ A không chứa 0
- Miền không bị gach bỏ là miền nghiệm (Kể luôn cả phần chứa A và A’)
slal
miền nghiện
…….
.
- BÀI TẬP 1. Cho hàm số f(x) = x2 + 3x + 4 – -x2 + 8x – 15
- a) Tìm tập xác định A của hàm số f(x). b) Giả sử B = {x 6 x 4 < x < 5} . Hãy xác định các tập A\B và R \(A\B).
Giai a) Tập xác định: x) được xác định x + 3x + 4 20 – xe
7-x2 + 8x – 1520 x € [3 ; 5] Vậy , A = [3 ; 50 134
X
- b) B = {x€ /4< X 5} = (4;5]
Do đó, A\B = x/x + A A A & B = {3 ; 1] . Vậy, A\B = {3 ; 4]
R\A\B) = f \[3;4] . Vậy, \(A\B) = {x + x 7 x < 3v x > 4} 2. Cho phương trình: mx – 2x – 4m – 1 = 0.
- a) Chứng minh rằng với mọi giá trị m + 0, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt .. | b) Tìm giá trị của m để – 1 là một nghiệm của phương trình. Sau đó tìm nghiên còn lại.
Giải a) m 0
A’=1 – m(-4m – 1) = 4m2 + m +1>0
Vậy, mx – 2x – 4m – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi m = 0 b) Khi x = – 1 thì m + 2 – 4m – 1 = 0
..-.
.-
.
–
– 3m
+ 1 = 0
m
=
=
- 4m +1 | Lúc đó, X2 = – 5 = “” “” = 7.
a m 3. Cho phương trình: x^ – 4x + 3(m – 1)^ = 0.
- a) Xét xem với giá trị nào của m, phương trình trên có nghiệm.
- b) Giả sử X1, Xy là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức giữa X1 và X2 độc lập đối với m c) Xác định m để hiệu các nghiệm của phương trình bằng 4.
Giai a) x” – 4mx + 9 (m – 1)^ = 0 có nghiệm .. => A’20 4mo – 96m2 – 2m + 1)20 .. -5m2 +18m – 9
<m <3 b) Tổng và tích hai nghiệm x1 , X2
3
20
IV
STICO
Ta có:
- x1 + x) = = =
= x1 + x) = 4m
- X1 X2 = = = X1X2 = 9(m – 1,2
а
- Hệ thức giữa X1, X2 độc lập với m Khử m giữa S = 4n (1)
và P = 9(m – 1) (2) • (1) m =
(2) • P= 9(-1) =P = 946 + 1 = P = 90
16
.2
952 – 725 + 144 – 16P = 0
09( X1 + x2) – 72(X1 + X) + 144 – 16 X1X2 = 0 Đây là hệ thức giữa X , X độc lập đối với m c) Ta có : |x – x2 = 4 (gt) (1)
Mà xị – x= VA (1) và (2) cho A = 8
13m2 – 18m + 5 = 0 m=1v m
(2)
.
Om
m
13
13
Vậy, khi m = 1 và m = 2 thì hiệu hai nghiệm bằng 4 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau a) 5(x – 1) < x – 1 < 5x (x – 1), nếu x – 1 > 0;
.. b) x + y – xy – xy > 0, biết rằng x + y = 0 ; “c) /4a +1+ 4b +1+ 4x +1 < 5, biết rằng a, b, co và a + b + c = 1.
Giải a) Vì x >1 nên xo > x >x>x>1. Do đó, 5x^ > x^ + x + x + x +1>5
Suy ra, 5x^(x – 1) > (x – 1)(x^ + x^ + x^ + x + 1) = x – 1 (1) Mặt khác x – 1 = (x – 1)(x^ + x + x2 + x + 1) > 5(x – 1) (2) .
(1) và (2) cho 5(x – 1) < x – 1 < 5x^ (x – 1) (đpcm). b) x® + y5 – x^y – xy2 = (x +yXx4 – xoy + x?y2 – xy3 – y4) – xy(xo + y ) ::
= (x + y)[(x* + 2x’y2 + y^) – 2xy(x2 + y^)]
= (x + y)(x – y) (x + y^) > 0 và x + y > 0 (đpcm) c) Ta có: (84a +1 + 4b +1 + 4b + 1)^ = (4a + 1) +(4b + 1) + (40 + 1) + 2/4a + 1.14b +1 +2V4b + 1.54c +1
.+ 2/4c + 1.140 + 1 < 4(a + b + c) + 3 + [(4a + 1) + (4b + 1) + (4c + 1)].2 (Bất đẳng thức Côsi) 54 +3 + 7×2 < 25
Vậy, 4a +1 + V4b +1+ 4c +1 < 5 (đpcm) 5. Giải hệ phương trình sau bằng cách đưa về hệ phương trình dạng tam giác
(3x + 5y – z = 9
x + 3y + 2z = 1 (5x – 2y – 3z = -3.
Giải (3x + 5y – 2 = 9 x + 3y + 2z = 1 . 5x – 2y – 3z = -3
(3) | Khử x ở phương trình (1) và (2) , rồi ở (1) và (3): (3x + 5y – 2 = 9
(1) (I) {-4y – 72 = 6 . . (4) 31y + 4z = 54 – (5)
(3x + 5y – 2 = 9 Khử y ở phương trình (4) và (5): (I) e-4y – 7z = 6.
1–2012 = 402
.
–
—-
:
–
2 2 = -2
i
Giải hệ này ta được :{. 2 . 2 =
x = -1 Vậy, nghiệm của hệ phương trình là y = 2
2 = -2 6. a) Xét dấu biểu thức: f(x) = 2x(x + 2) – (x + 2)(x + 1).
- b) Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ toạ độ vuông góc các đồ thị của các hàm số sau y = 2x(x + 2) (C)
y = (x + 2)(x + 1) (C2).. Tính toạ độ các giao điểm A và B của (C) và (C2). c) Tính các hệ số a, b, c để hàm số y = ax + bx + c có giá trị lớn nhất bằng 8 và đồ thị của nó đi qua A và B.
Giai a) f(x) = (x + 2) (x – 1) Bảng xét dấu:
6 B -2 1 +
+ 0 – 0 + Vậy, f(x) > 0 e x < – 2 v x > 1
f(x) = 0 A X = – 2 v X = 1
f(x) <0 – 2<x< 1 – b) y = 2x(x + 2) = 2×2 + 4x
Đỉnh: S(-1; -2) Giao điểm: A (-2; 0) ; 0 (0 : 0) . y = (x + 2) (x + 1) = x? + 3x + 2 (C2)
у
f(x)
21
…A-114
Đỉnh: S, 3, 1
4
Giao điểm: A) (–2 ; 0); B (-1; 0); C(0; 2)
Giäi hê. Jy = 2x(x + 2)
1
* Ly = (x + 2)( x + 1) Ta được (x = – 2 ; y = 0) và (x = 1 ; y = 6) Tọa độ giao điểm của (C) và (C):
A(-2 ; 0) và B (1 ; 6) . c) Gọi (P) là đồ thị của y = ax^ + bx + c (a + 0). • (P) qua A(-2;0) = 0 = 4a – 2b + c … (1) • (P) qua B(1 ; 6) 6 = a + b + c
(2) • Giá trị lớn nhất của hàm số là -> nên
–
4a
(3)
: T = 8. b’ – 4ac = – 32a Từ (1) và (2) ta có: b = a + 2 ; c = 4 – 2a Thay b và c vào (3) ta có: Sao + 20a + 4 = 0
a = –2 => b=); C = 8
. . .
1
-2
: 16 40 b = 16;c =
a
au .
; d)
= cos’
tan 2x tan x
2(1 – cos a)
Vậy (P1) y = -2x + 8; (P) y = 2x + 16x + 40 7. Chứng minh các hệ thức sau 1-2 sina a 1-tan a
sin a + sin 3a + sin 5a
” = tan 3a ; 1+ sin 2a 1 + tan a’ .
cos a + cos 3a + cos 5a sino a – cos* a + cos’a 2
a t an 2x tan x
cm = sin 2x. . . tan 2x – tan x
Giải a) 1 – 2 sin’a = cos’a + sin’a – 2 sin’a
= cos’a – sin’a = (cosa + sina) (cosa – sina) 1 + sin2a = cos’a+ sin’a + 2sina.cosa
= (cosa + sina) 1 – 2sin^ a cos a – sin a (chia tử và mẫu cho cosa) ‘ 1 + sin 2a cos a + sin a
1 – tan a
1 + tan a b) sina + sin3a + sin5a = sina + sin5a + sinza
= 2.sin3a.cos2a + singa = sin3a (2.cos2a + 1)
(1) 138 . .
–
Do đó, 1-4 Sino a _ cos a – sina
P
cosa + cos3a + cos5a = cosa + cos5a + cos3a
= 2.cos3a.cos2a + cos3a = cos3a (2.cos2a + 1)
4 = tan 3a cos a + cos 3a + cos 5a c) • sinta – cos’a + cos’a= sin’a – cos’a + cos’a = sin’a
. sin a + sin 3a + sin 5a
- 2(1 – cosa) = 4si
n
.
4 sin? 4 cos2 4
(1) và (2) – sin^a – cosa + cos2,
2(1 – cosa)
Cocos?
4 sin2 a
sin x
tan? o- cos?a; i
sin 2x sin x • tan2x.tanx =
. (1) cos 2x COS X
sin 2x sin x • tan2x – tanx =
COS 2x COS X sin 2x. cos x — cos 2x. sinx sin x . cos 2x.cos x
cos 2x. COS X tan 2x. tan x (1) và (2) =
— = sin 2x
tan 2x – tan x 8. Rút gọn các biểu thức sau 1 + sin 4a – cos 4a
1 + cos a +1+cos 4a + sin 4a
1 – cosa cos 2x – sin 4x – cos 6x cos 2x + sin 4x – cos 6x
Giải a) 1 + sin 4a – cos 4a = 1- cos4a + sinda
= 2.sin-2a + 2.sin2a.cos2a
.. = 2.sin2alcos2a + sin2a) (1) 1 + cos4a + sin4a = 2.cos-2a + 2.sin2a.cos2a
= 2.cos2atsin2a + cos2a)
1 + sin 4a – cos a (1) và (2) =
– = tan 2a : 1 + cos 4a + sin 4a 1 + cos a = 2 cos?
1 + cosa
N/a N/a
1 – cos a = cot
COs a
cos a = 2 sin? a
Do do, 1-cosa tan 2-cos Do đó, :*Sa tan 4-cosa
=
02 a
(
tan – caso a = 1-cos- a=sinʼa
(1)
- c) cos2x – sin4x – cos6x = cos2x – cos6x – sin4x
= 2.sin4x.sin2x – sin4x
= sin4x (2sin2x – 1) . (1) cos2x + sin4x – cosbx = cos2x – cos6x + sin4x = 2.sin4x.sin2x + sin4x = sin4x (2.sin2x + 1) (2)
cos 2x – sin 4x – cos 6x 2 sin 2x – 1 (1) và (2) =
E cos 2x + sin 4x – cos 6x 2 sin 2x + 1 Mà: 2sin2x – 1 = 2(sin2x – 1) = 2sin2x – sin30°)
2 = 4 tos (x + 15°) sin (x – 15°) 2sin2x + 1 = 2(sin2x + 1) = 2(sin2x + sin30°)
= 4 cos(x – 15′).sin (x + 150) cos 2x – sin 4x – cos 6x
0 = tanix — 15′) cot(x + 15′) cos 2x + sin 4x — cos 6x 9. Tính
- a) 4(cos24° + cos48o – cos84o – cos12″).
+
2
Va
Vây,
–
cos –
cos – COSCOS 48 24 12
48
= 8 cos 360
- c) tango – tan63° + tan81° – tan27o .
Giải a) 4 (cos 24″ + cos 48° – cos 84o – cos 12o).
= 4(2 cos 36o.cos 12o – (2 cos 48′ cos 36°)) = 4 (2 cos 36″ (cos 12° — cos 48°)) = 4. (2 cos 36° (2 sin 30″ sin 18°))
= 8 cos 36° sin 180 cos:36o. sin 180 + 3) = 2 b) 963 sin a cos pocos acos i cosa
= 96/3. sin cos cos picos = 96/3.-sin cos picos = 96/3.sin cosmo = 96/3..in = 6/3.sin = 9
| c) 9° + 81° = 90o = tan81° = cot9o
63° + 27° = 90o = tan63o = cot27° Do đó, tan9° – tan63° + tan819 – tan279 = tango + cot9o – (cot27° + tan270) tan’ 9° +1 tano 27° +1
tan 90
tan 270
2
cos 90 cos? 27o. tan 270
2 sin 54o – sin 18° sin 18° sin 54 sin 54′. sin 18°
– 4 cos 36°.sin 18″ – 4 cos 36″ = 4 (vì 36° + 54° = 90°). . = 4
sin 54o.sin 180 sin 54° 10. Rút gọn
+
wai
- a) cos cos a cos com b) sin + sin + sin 5
Giải a) Đặt a = k, ta có:
P = cos cos 24 cos 4x cos ex = cos a cos 2a. cos 4a. cos 8a
8x
CU
= cos a. cos 2a.cos 4a.cos 8a
5
(2 sin a. cosa).cos 2a.cos 4a. cos 8a 2 sin a
2 sin a
a – cos 2a). cos 4a. cos 8a = — (sin 4a cos 4a). cos 8a
4 sina
(sin 8a.cos 8a) =
sin 16a
8 sin a
16 sin a
sin 16x
Vậy, P = – 5
16 sin b) Đặt a = , ta có: P = sin a + sin 3a + sin 5a = sin a + sin 5a + sin 3a
= 2 sin 3a.cos 2a + sin 3a = sin 3a(2 cos 2a + 1) = sin 3a| 2 (2 cos a – 1) +1) = sin 3a (4 cos 2-1)
=
Vậy, P = sin(4 cos -1)
- Chứng minh rằng trong một tam giác ABC ta có
- a) tanA + tanB + tanc = tant tanB tanC; b) sin2A + sin2B + sin2 = 4 sina sinB sinC.
Giai a) Ta có: A = T – ( B + C > tanA = -tan(B + C) . .
tan B + tan C tanA = –
1-tan Btan C tan Ali – tan B. tan C) = -tan B – tanc = tan A + tan B + tan C = tan A. tan B.tan C (dpcm) b) Ta có: A + B + C = TT
T* sin(A + B) = sin(nt – C) = sin c
* cos(A + B) = cos(nt – C) = -cos C . Do đó, 2 sin(A + B).cos(A – B) + 2 sin C cos C = 2 sin C.cos(A – B) + 2 sin C[-cost A + B)] = 2 sin C(cos(A – B) – cos(A + B)) = 2 sin C(-2 sin A.sin(-B))
= 4 sin A sin B sin C … 12. Không sử dụng máy tính, hãy tính
p P. –
sin 40′ – sin 450 + sin 500 31 v3 + 3 tan 15°) cos 40′ – cos 45′ + sin 500 3 V3 tan 150 ;
Giải Ta có: + 40° + 500 – 800 – sin 50° = cos 40°
[cos 50o = sin 40° Do đó,
sin 40° – sin 45° + sin 50° sin 40° + cos 40° – sin 45°
‘cos 40o – cos 45o + sin 50’ cos 40″ + sin 40° – cos 45o : 3(13 + 3 tan 15°) 3.33+ tan 15″
15155 ton 0 = 3.73 tan 30″ + tan 15° 3- V3 tan 150
tan 60″ — tan 150.
o
=1
(1)
.
sin 450
= 3/2
—–
—–
cos 600.0
sin 450
cos 30″ cos 150
y, P = 1 – 3 = -2…
(Do (1) và (2)