1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
2. Công thức công

• sin (a + b) = sina.cosb + sinb.cosa • sin (a – b) = sina.cosb – sinb.cosa • cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb

tan a + tan b • tan (a + b) =

1 – tan a .tan b

tan a – tan b • tan (a -b) =

1 + tan a tan b Cách nhớ: • sin thì sin cos , cos sin

• cos thì cos cos, sin sin + ;

Chú ý rằng: |a trước, b sau

* Đối với sin thì vế trái dấu +; vế phải dấu +; vế trái dấu ; vế phải dấu -.

* Đối với cos thì vế trái dấu +; vế phải dấu -; vế trái dấu -; vế phải dấu +.

* Đối với tan thì vế trái dấu +, vế phải dấu + ở tử, dấu – ở mẫu; vế trái dấu -, vế phải dấu – ở tử, dấu + ở mẫu. 2. Công thức biến đổi tổng thành tích

• cosu + cosv = 2cos 47.V.cosur

2

.

SU

OSV

2

• cosu – cosv = -2sin 4 XV. sin “=0 • sinu + sinv = 2sin 4 . V. cos

U

—

COS

U

.

+

v

.

U

–

V

• sinu – sinv = 2cos

. Sin

2

Cách nhớ: 1. Bên trái dấu “-”, u đứng trước, v đứng sau.

u-V 2. Bên phải dấu “=”, “L” đứng trước ^^

– đứng sau.

3. Cần nhập tâm:

• cos + cos = 2cos.cos\ • cos – cos = -2sin.sin • sin + sin = 2sin . cos

sin – sin = 2cos . sin 3. Công thức biến đổi tích thành tổng

cos a.cos b

=

(a + b) + cos (a – b)]

:.

sin a.sin b

– b) – cos (a + b)]

ܟܬ ܢ| ܟܬ ܝܕ | ܟܬ ܢܙܙ

sin a.cos b

=

(a + b) + sin (a – b)]

• cos a.sin b = [sin (a + b) – sin (a – b)] 4. Công thức nhận đôi
• sin 2a = 2sina . cosa • cos 2a = 2cos’a – 1 = 1 – 2sin’a = cos’a – sina.

2 tan a . tan 2a = –

* 1- tana Cách nhớ: Thay b bởi a vào cả hai vế của công thức ở mục 3. Ví dụ: Ta đã có: cos a.cos b = [cos (a + b) + cos (a – b)

.

→ cos a.cos

(a + a) + cos

(cos 2a + 1)

.

.

= cos 2a = 2cos’a – 1 5. Công thức hạ bậc

• cos’a = 1+ cos2a
• sin’a = 1- cos 2a

2

2

• tan’a = 1- cos 2a

1 + cos 2a Lời dặn quan trọng:

Cả 5 loại công thức này đều hết sức quan trọng. Để nhớ ta cần rèn luyện thật nhiều thông qua bài tập. Cũng nên học kỹ cách biến đổi từ loại công thức này qua loại công thức kia.

1. BÀI TẬP 1. Tính
2. a) cos225°, sin240°, cot(–15°), tan 75°;
3. b) sin ,, cos(-i), tan

Giải

1. a) Phương pháp • Chuyển các số đo cung sang số đo thuộc khoảng (0; 90°) • Sử dụng các công thức cung bù, đối, phụ..

+

COS

T

.

• 255o = 180° + 45o = 1 + 1 = cos 225o = cos(+ x) = -cos * = 2 • 240° = 180° +60° = 4 + = sin 240° = sin(x + ) — sin = 53

.

.

. 240° = 18

VAU

3 sin 240° = sin it

=

1

+ cola

+

1+

.

• tan 75o = tan(45o i 309. tan 45o + tan 300

1-tan 45o tan 300

193691939

6

-1

cot(-15°) = -cot 15°

cot 15o = tan 750 *} = cote-15o = – 3+1

1

71 12

31 +41

12

=

—

13 IT

T

(4 ) – 7 11+ v)

= cos()=sin 2 – 3 1 + v3), • 13 – 1,222 = x + i = tan 18x = tan Mà -18° nên tang tan 16 lại có cot15 1 8 (cm) Vậy, tan 1-3

131 12

1 + 121

12

=

+

n

12

12

1-13

1 + 13

O

OY

<

Os a =

<

a

<

T

1. a) cos( a + ). biết sin a = ts va Ozae b) tan(x-3), biết cos x = 3 và 5 a <1. c) cos(a + b), sin(a – b), | biết sin a , < a < 90° và sin b = 2, 90° < b < 180°. a con ) – coau.com – vina sin công thức cộng)

Giải

COSO

ina.s.

Cosa

COS 0 – –

2

COS O

>

Vậy, (1) e cos (

OSO

T

.

tan a – tan

4

.

tan a -1 1+tana

1 + tan a

a

<

NY

Mà 0 <a nên cos x > 0 Và coạoa + sin^4 = 13 con’ =

1 33 cos x – Vas, C) es con la « 1 » – Jeova tb – 5 1 * b) tansa – 1) and taste the card (1)

Mà <a <a => tan a < 0 Và cos – 52 tang 2/ Tư (1) ta có, ta( ) 2 = -.,

Vay, tan (a –+3)=(262, e và sina= = cosa = 3 – 5

COS a

• vio” <a<80o = cose,

COS &

cos a =

US

+

* Vi 90o < b < 180° → cosb < 0

*

và sinh= = cos b = 145

/ cosb = 3

3

Mà cos(a + b) = cosacosb – sinasinb; sin(a-b)= sinacosb – sinbcosa

Suy ra, cos(a + b) :

15

.

Suy ra, costa + b 3 – 5) — 18)

sin(a – b) = = -14 18*

3. Rút gọn các biểu thức

OS

CU

9

-a

+

sin?a

1. a) sin(a + b) + sin(, – a sinc-b) b) cos(+a).cos(5-a) – zsin?a. c) cos(3-4).sin(3 -b) – sinta -b). a) sin(a + b)+sin (3 – a ).sint-b

Giải

= sina . cosb + sinb. cosa – cosa . sinb = sina cosb

+

O

2

S

Sa

CUS

…….

= (cos. x sin a – sin..cosa)(co cos a + sin .sina) + zsin?a – 2 (sin a – cos a). 2 (cos a + sin a) + sin’a = (sinoa-cos” a) zsina

– cos? a + sin’a -cosoa +1-cos” a = 1 – cos? a c) cos(z – a ).sin(x – b) = sin(a – b)

2

=

cosa a +1-cosa a = 1 –

cos2 a

NIC

OS

.

40

– sin(a – b)..

. cosb – (sina . cosb – sinb. cosa) = cosa . sinb

4. Chứng minh các đẳng thức

cos(a – b) cot a.cot b +1

cos(a + b) cota.cot b-1 b) sin(a + b). sin(a – b) = sin’a – sinob = cosb – cosa. c) cos(a + b). cos(a – b) = cosa – sinob = cos ́b – sin’a

Giải cos(a – b) cota.cot b +1 cos(a + b) cota.cot b-1 cos(a – b) cos a.cos b + sin a.sin b cos(a + b) cos a.cos b – sin a.sin b

cos a.cos b sin a. sin b sin a. sin b. sin a. sin b cot a.cot b + 1 cos a.cos b sin a.sin b cota.cot b-1

sin a.sin b sin a.sin b Chú ý: Có thể biến vế phải thành vế trái. b) sin(a + b). sin(a – b) = sin’a – sin’b = cos’b – cos’a . . = sin(a + b). sin(a – b) = (sina.cosb + sinb.cosa) (sina.cosb – sinb.cosa) = sin’a.cos’b – sin’b.cosła = sin’a (1 – sin’b) – sin’ (1 – sinʼa) = sin’a – sin’b (dpcm) = 1 – cos’a – (1 – cosob)

= cos’b – cos’a (dpcm) c) cos(a + b). cos(a – b) = cos’a – sin’b = cos’ – sin’a .

= cos(a + b) – cos(a – b) = (cosa . cosb – sina . sinb)(cosa . cosb + sina . sinb) = cos’a . cos’b – sin’a . sinob = cosła (1 – sin’b) – (1 – cos ́a)sin?b = cos’a – sinob (dpcm)

cosob – sinoa (đpcm) 5. Tính sin2a, cos2a, tan2a, biết

37 a) sina = – 0,6 và 1

1. b) cosa – –

–

1. b) cosa = sa va «a«.

Coor

<a

<n

.

2

31

;

1. c) sina + cosa = =

<a

<n

Giải

1. a) sina = – 0,6 và T < a <=

cosa =

cos2a =

tan 2a =

=

• sin2a = 2sina cosa (1) (công thức)

Manca< 3x = cos a < 0 và sina = – 0,6 = cosa = 3

(1) –> sin2a = 2. (-0,6.(-4– sin2a = 24 • cos2a = 1 – 2sin?a=1-2 (13)* = 1 – 2 cos2a =

sin 2a 24 25 24

cos 2a 257ī b) Vì < a < m nên sin a > 0 ; tg a < 0

và có a = 3 nên sina – 13 Do đó, sin2x = 3( %) 18% cos2a = 2 . cos’a – 1 = 2. 25,- 1 = 109 tanza – sin 2a – (-120).(-169) 120

anza cos 2a – ( 169 )·( 119 ) 119 c) Vì n < a < 1 nên sin a > 0 ; cos a < 0

cos’a + sin’a = 1 ) cosa = 1-17

<

JO

a

na =

169

3116

<

a

<

TO

=

4

sin a + cos

sina = 1+ v7

Suy ra • sin 2a = 2.

со:

II

– cos 2a = 1 – 2sinoa = 1 – 2 (147) • tan2a = 3,47

–

.

..

..

| 6. Cho sin2a = –

2010

< a < 1. Tính sina và cosa.

.

wat in

<

a

<

T

a

>

Sa

(+)

Giải Vì < a < 1 nên sin a > 0 và cos a < 0 Ta có : + sin2a = 2sina.cosa = 5 = 2P

• cos’a + sin’a = 1 = (sina + cosa)? = 1 – 2sina.

sa =

>> sin a + cos a

=

/

/

Ta có hệ phương trình:

2 + V14

1

sin a = . Giải (1) ta được !

6

(do *)

cos a = 2- vī4

COS a =

sina

V14 – 2

sin a

=

3. Giải (2) ta được ,

6

(do *)

4-2

(P =

/co.

cos a = – vī4-2

10

7. Biến đổi thành tích các biểu thức sau
8. a) 1 – sinx ; b) 1 + sinx c) 1 + 2cosx ;
9. d) 1 – 2sinx .

Giải

2. a) 1 – sinx = 1 – 2.sin cos

= sino q + cos? -2sin.com.t(sin -com

Cách khác:

X

+

Cách khác:

2. c) 1 + 2cosx = 1 + 2.co

1 + 2

cos2x

–

–

.

12

2

—

1- Pin 1- cos(3 – 1-1-2 in 1 – 2sin^(5) b) 1+ sinx = (sin + cor

1 + sinx = 1 – cos (8 + x) = 1-1 (1-2sino (8 + 3) = 2sin? (8 5) 9) 1+ 200sx = 1 + 2.062.(E)= 1 + 2 (200°)-1)

2-1 + 4 cog* = (20 – 2)(201) 1+ 2eosx = 2 (3 + cos x) = 2 cos 60° + cos x)

=-(60.60.*.*.com or 4) — cos(306 – ) cos(30 – ) ) 1 – 2sinx = 2 (7-sinx) = 2(sin 30° – sin x) = 2.2.00 300 }.x.sin 309 *= 4.005 (15o ) sin(15° – )

Cách khác:

C0SX =

X

1

COS

+

X

X

sin x + sin 3x + sin 5x 8. Rút gọn biểu thức: A =

COS X + cos 3x + cos 5x

Giải Ta có: + sinx + six3x + sin5x = sinx + sin5x + sin3x .

. X + 5x x – 5x = 2sin .cos + sin 3x = 2sin3x + cos2x + sin3x

.

= sin3x (2cos2x + 1)

. . cosx + cos3x + cos5x = cosx + cos5x + cos3x = 2cos3x. cos2x + cos3x = cos3x (2cos2x + 1)

sin 3x Từ (1) và (2), ta có: A = 2^ = tan 3x

cos 3x

(1)

– (2)