A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Ôn tập

a) Bất đẳng thức 

• Các mệnh đề đúng dạng “a < b” hoặc “a > b” được gọi là bất đẳng thức.

Nếu mệnh đề “a < b = c < d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là hệ quả của bất đẳng thức a < b .

Ta viết : a < b + c = d .

• Tính chất : . 

* a < b và b < c = a < c (tính bắc cầu)

* a < b , a tùy ý = a + a < b + a . 

• Nếu a < b = c < d và ngược lại c < d = a < b thì a < b = c < 0

Nếu a > 0 thì: a < b = aa < ba Nếu a < 0 thì: a < b = aa > ba 

Nếu a < b và c < d thì : *a+ c < b + d. * ac < bd (a > 0 và c > 0) 

Nếu a < b và n nguyên dương thì : *a<b a2n+1 <b2n+1

* O<a < b = a 2n < b2n • Nếu 0 < a < b thì : a < be a < b • Nếu a và b bất kì thì : a < be a < 3/5 b) Bất đẳng thức Cô-si • Định lí Vab <3+b (a, b > 0)

hi:

:

:

:

Σ

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b • Hệ quả 1: Va > 0 : a +> 2

 Hệ quả 2: Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y

• Hệ quả 3: Nếu x, y cùng dương và tích xy không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y

c) Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối. Các điều kiện cần nhớ : i) •\x0 •\x2 x;[x -x . ..::. . .

1. ii) |x sa (a > 0) -asxsa iii) |x| = a(a > 0) = x < -a hoặc x 2 a iv)|a + bl slal + lbh
2. v) lal – |b| s|a + bl B. BÀI TẬP 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của x? a) 8x > 4x; b) 4x > 8x; c) 8×2 > 4×2; d) 8 + x> 4 + x.

. .. Giải Chọn d,

Vì 8 + x > 4 + x nên Ox > -4, đúng với mọi x 2. Với cùng một số x > 5, biểu thức nào trong các biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất ? A = 5; B = +1; c= -1; DER

Giải Chọn C, vì x >585 185-140 3. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. ..

1. Chứng minh (b – c)* < ao; b. Từ đó suy ra ao + b^ + c^ < 2 (ab + bc + ca).

Giải a) a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên 0 < b < c < a (b – c)* < ao b) Từ (b −c)? < ao , ta có b2 + c^ – 2bc < ao (1)

Tương tự, co + ao – 2ạc • bo Và a + b^ – 2ab < co

(3) Cộng vế (1), (2), (3), ta được: ao + b2 + c^ – 2(ab + bc + ca) < 0

e ao + b^ + c < 2 (ab + bc + ca) (đpcm) 4. Chứng minh rằng: x+ y^ 2 x°y + xyo , V x, y 0.

Giải Ta có: x + y = (x + y) (x + y – xy) (1) Mà x + y^ > 2xy (bất đẳng thức Cô-si) + x^ + y^ – xy > xy , nên (1) + x + y^ > (x + y)x

x+ y 2 x’y + xy’, vx, y20

X

X

5. Chứng minh rằng: x – 4x + x – 4x +1 > 0, vx 20.

Hướng dẫn. Đặt x = t, xét hai trường hợp 0<x<l; x21.

Giải

+

X

–

Đặt t = 4x (t > 0) 6 x > 0. Khi đó, x – 4×5 + x – 4x + 1 = to – to + to – t + 1

Xét hai trường hợp: x > 1 và 0 < x < 1 . | • Trường hợp 1: x > 1 e t > 1. Ta có: tỷ > t => to – tb > 0

t? t = t – t20 Vậy: to – t + to – t + 1 > 0. (đpcm) Trường hợp 2: 0 < x < 1 = 0 <t < 1 Ta có: to – to + to – t + 1 = f(tỷ – 1) + (t” – t + 1)

= t$(t – 1)(t? + t + 1) + (t? – t + 1) Vì t> 0 nên to + t + 1 tỷ – t + 1 Từ (1) và (2) ta có: t$(t – 1)(t? + t + 1) + (t? – t + 1) 2 t®(t – 1)(t? – t + 1) + (t? – t + 1) et – t5 + t2-t+1 2 (ta – t + 1)[t”(t-1) + 1]

t’ – t5 + ta – t + 1 2 (t? – t + 1)(t – t5 + 1) At8 – +5 + t – t + 12 (t? – t + 1)(t® + 1 – 15)

(2)

6t8 – +5 + – + +120

Vậy, x^ – x^ + x – 4x + 1 > 0, 1x > 0 (đpcm) . 6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các

điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định toạ độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Giải . . Gọi tiếp điểm của AB và đường tròn tâm 0, bán kính bằng 1 là M, ta có: OMI AB. | AOAB vuông tại 0, có OM là đường cao nên: MA.MB = MOo e MA.MB = 1 (hằng) Suy ra, tổng MA + MB nhỏ nhất

A x MA = MB Do đó, OA = 2/2 và OB = 2/2. Vậy A (2/2 ; 0) và B (0; 2/2 )