Khi nào hai phương trình được gọi là tương đương ? Cho ví dụ

Giải Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có chung tập nghiệm Ví du: 1) x^ – 1 = 0 và (x + 1)(x – 1) = 0 là hai phương trình tương đương

2) sinx = 2 và x^ + 1 = 0 là hai phương trình tương đương (vì sao ?) 2. Thế nào là phương trình hệ quả ? Cho ví dụ.

Giải Cho hai phương trình f(x) = g(x) và f (x) = g(x). Nếu mọi nghiệm của | f(x) = g(x) đều là nghiệm của f(x) = g(x) thì phương trình f(x) = g(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x)

Ví dụ Cho :x2 – 2x – 3 = 0 và (x + 1)(x – 3)x = 0 . thì (x + 1)(x – 3)x = 0 là phương trình hệ quả của phương trình:

XP + 2x – 3 = 0 Thật vậy, gọi T là tập nghiệm của xo – 2x – 3 = 0 thì T = {-1 ; 3}; T là tập nghiệm của (x + 1)(x – 3)x = 0 thì T = (-1; 3 ; 0} . Ta thấy, TCT 3. Giải các phương trình

1. a) Vx – 5 + x = (x – 5+6; . b) V1 – x + x = (x-1 +2; :

I

|

;

3

:

1. d) 3+

2 – X = 4×2-x+

x – 3.

.

–

Giải a) Tập xác định : x – 5 2 06 x 2 5

x – 5 + x = 4x -5 + 6 + x = 6 (nhận). Vậy , T = {6} b) Tập xác định: Khi ( x21 và x < 1). Vậy , D = {1}

Mi – x + x = x 1 + 2 + x = 2 (loại). Vậy, T = 8 © /x = 2 x – 2 1

Tập xác định: x – 2 > 0 e x > 2 (1) 6 x^ = 8 + x = 2/2 v x = -2/2 (loại)

Vậy , T = {2/2} d) Tập xác định * 2 – x > 0 e x < 2 1

x 6 Ø * x-320×23

Vậy , D = 8

Tập nghiệm : T = ? 4. Giải các phương trình 3x + 4 1 4

3×2 – 2x + 3 3x – 5

+3; X-2 x + 2 X2-4 .. 2x – 1

2x c) Vx2 – 4 = x -1.

Giải – 3x + 4 1 4 13 (1)

X-2 X + 2 x? -4 Tập xác định : x2 – 4 + 02 x + +2 , . Quy đồng và bỏ mẫu chung: (1) & (3x + 4)(x + 2) – (x – 2) = 4 + 3(x2 – 4) e x = -2 (loại)

Vậy, T = 8 h3x– 2x + 3 = 3x – 5 (1)

2x – 1 Tập xác định : x + Quy đồng và bỏ mẫu chung : 2(2x – 1) . (1) 2(3×2 – 2x + 3) = (2x – 1)(3x – 5) x = (nhận)

–

X

+

Vậy T=(-)

1. c) Vx2 – 4 = 8-1

Bình phương hai vết x” – 4 = (x – 1) = x^

= x2 – 2x +1

X =

Thử lại: • vế trái: Vợ -4 = 25 4 3

• vế phải: x – 1 =

–

NI

Vậy, T = {5} 5. Giải các hệ phương trình:

1-2x + 5y = 9 14x + 2y = 11

(3x + 4y = 12 5x – 2y = 7.

2x – 3y – 5 (3x + 2y = 8

(5x + 3y = 15 4x – 5y = 6

Giải

.

.

.

s

29

i

.

1-2x + 5y = 9 5-4x+10y = 18 a 14x + 2y = 114x + 2y = 11

a)

(12y = 29 4x + 2y = 11

Vậy, T-( 37 )

L3

(3x + 4y = 12. (3x + 4y = 12 (5x – 2y = 7 9 10x – 4y = 14

(3x + 4y = 12 (13x = 26

. Jy = o

x = 2

Vậy , T-( )

: * = 13

12x – 3y = 5 : 14x – 6y = 10 13x + 2y = 8 * 9x + 6y = 24

(13x = 34 12x – 3y = 5

Vậy , T-34

)

5x + 3y = 15

m /93 30

. Tương tự, T = “4x – 5y = 6 6. Hai công nhân được giao việc sơn một bức tường. Sau khi người thứ ..

nhất làm được 7 giờ và người thứ hai làm được 4 giờ thì họ sơn được 2 bức tường. Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờ nữa thì chỉ

Tm X

còn lại , bức tường chưa sơn. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sau . bao nhiêu giờ mỗi người mới sơn xong bức tường?

Giải – Gọi x, y là thời gian người thứ I và người II lần lượt sơn xong bức tường một mình.

Trong 1 giờ, người thứ I sơn được ! (bức tường) nên trong 7 giờ, người thứ I sơn được 3 (bức tường)

– Tương tự, trong 4 giờ, người thứ II sơn được: 3 (bức tường)

(1)

7 4 5 – Theo đề bài ta có phương trình: – + ==

X y 9 – Sau 4 giờ làm chung , phân số biểu thị số bức tường phải sơn là :

|

4

1

1 (bức tường)

: : 9 18 18 – Ta có phương trình : 42

–

(bức tường

:

N

N

1 1 7

(2) X y 72 . – Giải hệ (1) và (2), ta được x = 18 (giờ); y = 24 (giờ)

Vậy, công nhân thứ nhất sơn xong bức tường mất 18 giờ; … công nhân thứ hai sơn xong bức tường mất 24 giờ 7. Giải các hệ phương trình 2x – 3y + z = -7

1 x + 4y – 2z = 1.

1. b) {-2x + 3y + z = -6 – 1 x + 2y – 2z = 5 :

| 3x.+ 8y – z = 12

Giải • (2x – 3y + z = -7 (1) a) {-4x + 5y + 32 = 6 (2)

x + 2y – 2z = 5 (3) Khử z giữa (1) và (2), ta được 10x – 14y = -27

Khử z giữa (1) và (3), ta được 5x – 4y = -9 | Từ (4) và (5) ta đen. x = -0,6

y = 1,5 Thay x = -0,6 ; y = 1,5 vào (1) , ta được: z = -1,3 Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y; 2) = (-0,6; 1,5; -1,3)

x + 4y – 2z = 1 (1) b) {-2x + 3y + z = -6 (2)

(3x + 8y – 2 = 12 (3) Khử z giữa (1) và (2) , ta được –3x + 10y = -11 (4) Khử z giữa (1) và (3) , ta được -5x – 12y = -23 (5)

x = 4,2 Từ (4) và (5), ta được :{^^

ly = 0, 16 Thay x = 4,2 ; y = 0,16 vào (1) , ta được : z = 1,92 Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x, y, z) = (4,2; 0,16; 1,92)

| 8. Ba phân số đều có tử số là 1 và tổng của ba phân số đó bằng 1. Hiệu

của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba, còn tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng 5 lần phân số thứ ba. Tìm các phân số đó.

Giải Gọi 2 là phân số thứ nhất cần tìm (a > 0) .

1 là phân số thứ hai cần tìm (b > 0)

là phân số thứ ba cần tìm (c > 0).

11+ 2+ a b c

1 1 1 Theo đề bài, ta có hệ phương trình :

1

la 1

b 1

c 5

+

=

.

|- [a

+-

b

c

Đặt x, y, z – Khi đó, hệ (I) trở thành

N

а

(x + y + z = 1 {x – y = 2 (x + y = 52

(x + y +z = x – y – z=0.0 x + y – 5z = 0

N

N NL

o pod WANA

y =

26

Vậy ba phân số cần tìm là 3; 5; .

9. Một phân xưởng được giao sản xuất 360 sản phẩm trong một số ngày

nhất định. Vì phân xưởng tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được 9 sản phẩm so với định mức, nên trước khi hết thời hạn một ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là 5%. Hỏi nếu vẫn tiếp tục làm việc với năng suất đó thì khi đến hạn phân xưởng làm được tất cả bao nhiêu sản phẩm ?

|

Giải – Gọi x là số ngày dự định làm xong kế hoạch (x > 0) . – Khi đó, số sản phẩm dự định làm trong một ngày là 99 (sản phẩm)

360

X

– Số sản phẩm thực tế làm được trong một ngày là 9 + 9 (sản phẩm)

– Số ngày thực tế làm xong kế hoạch 😡 – 1 (ngày) 56.

Theo đề bài, ta có phương trình:

P

(360 +9)(x – 1) = 360 + 360.5% – (380 +9)(x + 1) = 378 <> 9x – 360 = 27

X

X

360

[x = 8 (thỏa x > 0) 9×2 – 360 – 27x = 0 0

°°° x = -5 (không thỏa x > 0) Vậy số ngày dự định làm xong theo kế hoạch là 8 ngày. Do đó nếu vẫn tiếp tục làm với năng suất thực tế thì trong 8 ngày, phân xưởng đó làm được tất cả: (= 432 (sản phẩm). 10. Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi a) 5×2 – 3x – 7 = 0;

1. b) 3×2 + 4x + 1 = 0; c) 0,2×2 + 1, 2x – 1 = 0; d) V2x2 + 5x + V8 = 0.

Giải

1. a) 5×2 – 3x – 7 = 0

Ấn liên tiếp dãy các phím MODE MODE) 1 02561039076 ta thấy hiện ra trên màn hình x = 1,520 Ấn tiếp = ta thấy X = -0,920

Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là x = 1,520; x = -0, 920 b) 3×2 + 4x + 1 = 0 Ấn liên tiếp dãy các phím

MODE MODE 102324216 ta thấy hiện ra trên màn hình x = -0, 33 Ấn tiếp (=1 ta thấy x2 = -1 . .

Nếu muốn viết nghiệm xdưới dạng phân số thì khi xuất hiện x = -0,33 ta ấn, SHIFT ., sẽ có giá trị x1 = . Vậy nghiệm của phương trình là x = -; X = -1 c) 0,2 x? + 1,2x – 1= 0 Ấn liên tiếp dãy các phím

MODE MODE 10200201026 12 ta thấy hiện ra trên màn hình x = 0, 7416 Ấn tiếp = ta thấy x2 = -6,7416

Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là x = 0, 74; X = -6, 74 d) V2x2 + 5x + 18 = 0

Ấn liên tiếp dãy các phím . | MODE MODE 1 02020 66780 ta thấy hiện ra trên màn hình x = -0,7071 Ấn tiếp [E] ta thấy xa = -2,8284

Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là x = -0,71; X = -2, 83 11. Giải các phương trình a) |4x – 91 = 3 – 2x; wie b) (2x + 11 = |3x + 5). |

Giải a) (4x – 91 = 3 – 2x

| | 4x – 9 = 3 – 2x khi x>> | |-4x + 9 = 3 – 2x khi x < 6x – 12 = 0 khi

2 khi

(loại) 2x = 6 2x = 6 khi

khi x R x = 3 khi x 2 loại) Vậy, T = 8

[2x + 1 = 3x + 5 b) |2x + 1= \3x + 5| 2x+1 =-3x – 5 = x= -6

O

11

:

IV

3

khi

1

Vậy, T={4}

12. Tìm hai cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật trong hai trường hợp
13. a) Chu vi là 94,4m và diện tích là 494,55m”. b) Hiệu của hai cạnh là 12,1m và diện tích là 1089m”.

Giải a) Gọi x và y là hai kích thước của hình chữ nhật, ta có :

12(x + y) = 94,

4 x + y = 47,2 xy = 494,55 xy = 494,55 Suy ra, x; y là hai nghiệm của: Xo – 47,2X + 494,55 =0 | |x = 31,5m (chiều dài) ly = 15,7m (chiều rộng)

x – y = 12,1 (x > y) |xy = 1089

(S = x + y’ = 12,1 | Đặt y = -y , ta có từ (I) e

P = xy’ = -1084 Suy ra, xo – 12x – 1084 = 0.

x – 39,5 ; y’ = -27,5 x = 39, 5(m); y = 27,5(m) 13. Hai người quét sân. Cả hai người cùng quét sân hết 1 giờ 20 phút, | trong khi nếu chỉ quét một mình thì người thứ nhất quét hết nhiều

hơn 2 giờ so với người thứ hai. Hỏi mỗi người quét sân một mình thì hết mấy giờ ?

Giải – Gọi x (giờ) là thời gian người thứ nhất quét sân một mình (x > 2)

Khi đó, x – 2 (giờ) là thời gian người thứ hai quét sân một mình – Trong 1 giờ, người thứ nhất quét được: 1 (sân); người thứ hai quét

được: 5 (sân)

– Vì cả hai người cùng quét sân hết 1 giờ 20 phút = 3 giờ, nên trong

X-2

1 giờ làm được :” (sân)

|

– Ta có phương trình: 1 1 3 2x – 2 3

3 – 3×2 – 14x + 8 = 0 – 2 4 x(x – 2) [ x = 4 (thỏa x > 2)

(không thỏa x > 2)

| Vậy thời gian người thứ nhất quét sân một mình là 4 giờ, do đó người thứ hai quét một mình hết 2 giờ.

ÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Chọn phương án đúng trong các bài tập sau

1 14 – 3x 14. Điều kiện của phương trình x + 2 –

Vx+ 2 x + 1 (A) => -2 và x = -1; (B) x > -2 và x 3. (C) xy-2, x = -1 và x < : (D) x = -2 và x = -1.

Giải Câu chọn: (C) . Điều kiện: • 4 – 3x có nghĩa 8 x <3

X

+

+

x + 2 có nghĩa

= x > -2; +

x +1+ 0

=

x + -1

Vậy, D={ /><3 <>-2;x –

!

1

15. Tập nghiệm T của phương trình (m^ + 2)x + 2m –

– = 2 trong trường hợp | m = 0 là

(A) T = -2; (B) T = Ø; (C) T=R; (D) T = R1{0}

Giải

–

x

Câu chọn: (A). (mo + 2x + 2m = 2 (m + 0)

* mox + 2m = 0 e nx=-20x=-2. Vây, T = {-2

x

IX

m

(3x

16. Nghiệm của hệ phương trình

– 5y = 2 x + 2y = 7

A

(a(3:13):

(139) : 0(): (-3).

N

Giải Câu chọn: (C )

(3x – 2y – z = 7 17. Nghiệm của hệ phương trình -4x + 3y – 2z = 15 là:

|-x – 2y + 32 = -5

(A) (-10 ; 7; 9); (B) (9:-2:9) (0 ( 12); (D)(-5;–7;-8)

Giải

Câu chọn: (D)