Nguồn website giaibai5s.com
KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm a) Định nghĩa 1
Cho khoảng K chứa điểm xa và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x}. Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới xo nếu với dãy số (xn) bất kì, x, 6 K\{x} và x, oxy, ta có f (x)+L. Kí hiệu: lim f(x)=L hay f(x)+L khi x» Xo.
- b) Định lí về giới hạn hữu hạn: Định lí 1: – Giả sử lim f(x)=Lvà lim g(x)=M. Khi đó: lim [ f (x)+g(x)]=L+M lim [f (x)-g(x)]=L-M
1X0
4
lim[F(x)=(x)] = L.M
x
in f(x) L nếu M70
lim
Xo
7.30
SIER
87,g(x) M – Nếu (x)>0 và lim f(x)=L thì L20 và lim f (x)= VL . (Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x+x.) . c) Giới hạn một bên
Định nghĩa 2: – Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (; b). – Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x» Xo nếu với dãy số (%) bất kì, xã < x <b và x, 9x , ta có f(x)+L. Kí hiệu lim f (x)=L.
– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x%).
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi xo, nếu với dãy số (x) bất kì, a < An < xo và x + xạ, ta có f(x)+L. Kí hiệu lim S(x) =L.
Định lí 2: lim f(x)=Lkhi và chỉ khi lim f(x) = lim f(x)=L. 2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực Định nghĩa 3: Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +oo).
Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x + +o nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và x + +o, ta có f (x) » L.
Kí hiệu: lim f(x)=L hay f(x) + L khi x + +. | b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-o; a).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x -ao nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và Ấn +-9, ta có f(xn) + L.
Kí hiệu: lim f(x)=L hay f(x) + L khi xo-so.
XXO
X-too
- Giới hạn vô cực của hàm số a) Định nghĩa 4: Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +).
Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là Jo khi x > + nếu với dãy số (xn) bất kì, x, > a và x ++ , ta có f(x))-,
Kí hiệu: lim f(x)=-x hay f(x)+-o khi x»¥o, b) Một vài giới hạn đặc biệt
lim x^ =+ với k nguyên dương. | lim x^ => nếu k là số lẻ. | lim x^ =ạo nếu k là số chẵn. c) Một vài quy tắc về giới hạn vô cực – Quy tắc tìm giới hạn của tích f (x).g(x). lim f(x) lim g(x)
lim f (x).g(.x)
*-*too
. 1
00
x
40
L>
too
L<0
too
A
rt.
too
– Quy tắc tìm giới hạn của thương
(4)
g(x)
lim
f(x)
lim g(x)
.
Dấu của g(x)
f (x) lim —
.8
.10
W g(x)
too
Tùy ý
LSO
too
+11+
–
L<0
.
too
Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, Vl X 7 Xo.
- HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK) Bài 1 (Trang 132, SGK) a) Hàm
* xác định trên IR
3x – Giả sử (xn) là dãy số bất kì với:
x+1
24
với x=4c
too.
- a) Hàm f(x), xác định trên R () với x=4 () 4 + 4 và x ( =) và x 24 khi n – .
.
1
Vậy, ta có: lim f(x) = lim on
X+1 3x, -2
4+1_1
– 3.4-2 2
>
x+1 lim 874 3x-2
- b) Hàm f(x) = 35, xác định trên R,
x2 + 3
bất kì với x
Giả sử (xn) là dã
> +
khi n
+ +x.
Ta có: lim f(x) = lim
= lim , -5
2-5×2 Vậy, lim – = -5.
***++ x2 + 3
Bài 2 (Trang 132, SGK) Ta có liu, = lim =0,
Kimv, = lim(-1)=0
Do u
và V, <–< 0, Vne NỐI
Vậy ta = +1 và f(x)=Ta tìm được lim (4= lim + = +; im f (x)= lim(-)-o
Vì u, 40 và v, 90 nhưng lim f(u)+ lim f(x). Do đó không tồn tại giới hạn của hàm số y = f(x) khi x» 0.
Bài 3 (Trang 132, SGK)
. x2-1 a) lima
17-3 x +1
4 – 72
-=-4. -3+1
(2-x)(2 + x) = lim
+-2 x + 2
= lim
lim = 8-2 x + 2
Vx+3-3
-9
- b) lim * = m 2 = 18X2+ x) = \im (2 + x) = 4
-3. (Vx+3–3)(Vx+3+3) x+3-9 * *-6 (7-6)(Vx+3+3) ***(x-6)(Vx+3+3): = F -6)/Jet 3 +59) Air (vet-3)
=limt
=lim
76
176
X-6
6
8-16
X-
6
r
2-0
- d) lim , 2x-6_
= lim – . {+00 4-X 1-*+60 4
10-1
.
17
17 1-7*** x2 +1
lim17 lim (x2 +
)
too
2
+
-2×2 + x-1
-= 3 + x
lim x++o
lim
x
*+0
(3 x] – +1
ادرا
–
+1
ملا
:.-2+1__ > (vì lim x= +o và lim – *
-=-2<0).
100
X–> +
o
mi
— +1
Bài 4 (Trang 132, SGK) a) lim (3x-5)=1>0, lim (x-2) =0 và (x-2) > 0, (Vx+ 2)
2
3x – 5
. X2
= 1.
- b) lim (2x-1)=-5<0, lim (x-1)=0 và x-l<0> lim 2 c) lim(2x-7)=-5<0, lim (x-1)=0 và x-l>0= lim
2x-7
.
.>*
x-1
Bài 5 (Trang 133, SGK) a) Quan sát đồ thị thì ta thấy f(x)>0 khi x
éo và f(x)+-o khi
X —> 3*,
1.2
X+
2
.
-ot
- b) lim f (x)= lim 5+2 = lim** < =0
i
X +2
1
:
5
x + 2
lim f (x) = lim **2 = lim
–
vil:
0
1-)
X-9
–73″ x+3
– =<a x-3
vì lim 2 2
173 X+3
— — >
6
= too
và lim – -=- –3° X-3 X + 2
1
X+2 lim f(x)= lim * — lim
+ –3x –9 —3* x-3 X+3
X+ 2 Ỗvì lim – == –>0 và Jin #Foo. —-3* x-3 6
17-3″ x-3
Bài 6 (Trang 133, SGK)
- a) lim
(x+
lim xt1– 1++ L x
x2
x
- a) lim (**-+2-1)= tim =( * * * )=–. b) lim (-2+ + 3x? – 5) = !im(-2+ v lim –2x+5 = lim lw,(-2-3)=+.
X-
-o0
+–
V x2 +1 + x
+
+.X
- d) lim
v
lim
**tco
— = 5-2.x
5-2 x
= lim
1776
5-2.x
to
+
= lim”512_=-1
too
fd.
:
Bài 7 (Trang 133, SGK)
1 1 1 a) Từ hệ thức + = suy ra
d d’ f
Afdi.. b) lim (d) – lim – =t00
d–f* d-f
d-f
GAR
DO
Kết quả này có ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn luôn lớn hơn f thì ảnh của nó dần tới +0.
AF
- lim old) = limfd J-1.914)
=
d->fd-f .. Kết quả này có ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn luôn nhỏ hơn f thì ảnh của nó dần tới âm vô cực.
- lim old) lim ay = –
Jim
lim
d-
+
doo
– lim – d-+d-fdstof
d Kết quả này có ý nghĩa: Nếu vật thật AB ở xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó ở ngay trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F và vuông góc với trục chính).
F