1. KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số a) Định nghĩa

– Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu lun. có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim u. = 0 hay u, $0 khi n ++%.

Như vậy, (un) có giới hạn là 0 khi n++o nếu u, có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n dủ lớn.

– Định nghĩa 2: Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a) khi n + +ó, nếu lim (vn – a) = 0.

Kí hiệu: lim v. = a hay về →a khi n++ b) Một vài giới hạn đặc biệt Từ định nghĩa suy ra các kết quả sau: – lim =0; lim = 0 với k nguyên dương; – lim x” =0 nếu q|<1; – Nếu u, sc (c là hằng số) thì lim u, = lim c= c. 2. Định lí về giới hạn hữu hạn – Định lí 1: + Nếu limu, sa và limv, sb thì: • lim(u, + v)=a+b • lim(ur.vn)=a.b • lim(u, – v,)=a-b. • lim , 4 (nếu b=0)

ntos

..^+70 n

. nston

11-too

n

+00

. no

V

b

+ Nếu u, 20 với mọi n và limu, sa thì a > 0 và lim u = a.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

– Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với lại < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn… – Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un):

S= (gl<1)

4. Giới hạn vô cực a) Định nghĩa

– Ta nói dãy số (un) có giới hạn +o khi no +ó, nếu (un) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limun = + hay un + +o khi n > Foo. – Dã

gọi là có giới hạn – khi nếu lim(-un) = +, Kí hiệu: lim un = hay un – khi no+, .

1. b) Một vài giới hạn đặc biệt . | limn* = +o với k nguyên dương; lim(“+ao nếu q> 1. c) Định lí 2 Nếu limu, sa và limv. =to thì lim4a =0.

Nếu limu, sa>0, limv, =0 và v, >0 với mọi n thì limon = +o. Nếu limu, =+o và limv, sa>0 thì limu.vn =+o.

KE

1. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK) Bài 1 (Trang 121, SGK) a) Sau chu kì bán rã thứ nhất, ta có khối lượng chất phóng xạ độc hại là:

u, = + (kg) Sau chu kì bán rã thứ hai ta có khối lượng chất phóng xạ độc hại là:

1 1 1 u, –.-=

2 2 2

kg)

:

Sau chu kì bán rã thứ n ta có khối lượng chất phóng xạ độc hại là:

1. = + (kg) (Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.)

1. b) Ta áp dụng tính chất limq” = 0 nếu lq| < 1
2. c) Ta đổi: 10°g ở (kg) = 2 (kg).

Muốn u = 4 , ta cần chọn no sao cho 2 >10” chẳng hạn, với n =36, ta có 26 =(2+)? =16° >10°. Nói cách khác, sau chu kì thứ 36 (nghĩa là sau 36.24000 = 864000 (năm), khối lượng chất phóng xạ không còn độc hại đối với con người. | Bài 2 (Trang 121, SGK)

vì lim = nên có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Mặt khác, ta có u, -1< = với mọi n.

Từ đó ta suy ra u, -1 có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim (u, -1)= 0. Do vậy, limu, =1.

Bài 3 (Trang 121, SGK)

in

n16-1)

ha

no-L.. lim

<= lim

6

1. a) lim on-1

-= 3n+2

3

n3+ –

l n

n

Vilim(6-1) – limo

Vì lim| 6––|= lim 6-lim-= 6 và lim| 3+=

= lim3+ lim

n

6n-1 ấy, lim –= lim

3n+2

3+

blin 3n? +n-5

3+1_5

) lim

-=limn

2n2+1

2+

+

Vì lim 3+

– lim 3+lim –

3 và lim 2+

.

no

Vi lim( 3 4 4 3 im 3 + lim- -. S = 3 valim( 20 )

= lim2+limf=2

3″ +5.4″

1. c) lim

line

4

+2

on

1. Hum() +5 —(3) + lims=5 va bim(*(!)

= lim 1 + lim

1

= 1

1.9–+–

9–

+

n

V

in 2

In? – n+1

4n-2

n

-=lim

n

.

4

1.4 –

.

Vi lim po 45 – kim5-lim b=lim = 5 vit

Bài 4 (Trang 122, SGK) a) Theo bài ra ta có:

.

Hình vuông thứ nhất có

lên u=

Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng nên u =(1- Hình vuông thứ hai có cạnh bằng nên u =)) Hình vuông thứ ba có cạnh bằng nên u =() –

Hình vuông thứ hai có cạnh bằng

– nen u,=

—

Tương tự vậy ta có u,

b)

..

Dãy số u, là một cấp số nhân lùi vô hạn với u => và côn

Do vậy: limS, =.

=

1-4

1

| Bài 5 (Trang 122, SGK)

Các số hạng của tổng đã cho lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là -1 và công bội =- : Vậy tổng của cấp số nhân sẽ là:

-1

:

:

:

S=-1+

10

102

1on

9

1-1

Bài 6 (Trang 122, SGK). Viết a dưới dạng một phân số:

vô hạn.

a=1,020202 = 1 + ião + 10 + – +10° +

Ta có dãy số: 1, đo ở đồ… Đây là một cấp số nhân lùi ỖVậy ta có u, hồi và công bội gram

=>1=1+.100-

100 Bài 7 (Trang 122, SGK)

1. a) lim(a? +2no-n+1)= linn (1 + 2 *=+ b) lim (-n? +2) = limno(-1+ 3)–

.

n

+n

V

ovakvo ==).colors to

n’-n-n?

= lim

vn

-n

+n

= lim

lim

+1

.

.

ay lim( vn?– +)=tim[47 – *. ]-ima[ 3-7-)=+

V1

Bài 8 (Trang 122, SGK)

3u, -1 lim(3u, -1) a) lime

1)

lim3u, -liml limu, + liml

3.3-1 ,

= 2. 3+1 :

172

1. b) lim 1 +2 -1
2. b) lim”,”? = lim LY, Y = lim V

Y =0 (vì lim