1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Khái niệm mở đầu

– Điểm, đường thẳng, mặt phẳng là các khái niệm không định nghĩa. – Điểm thuộc mặt phẳng: A + (a); điểm không thuộc mặt phẳng: Bé (0).

– Điểm A thuộc mặt phẳng (a) hay mặt phẳng (a) chứa điểm A, hay mặt phẳng (a) đi qua A.

– Điểm B nằm ngoài mặt phẳng (a), hay mặt phẳng (a) không chứa B. 2. Hình biểu diễn của một hình không gian

—

—-

—

–

—

–

–

–

–

–

–

–

–

–

Hình biểu diễn của hình lập phương và hình tứ diện Quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình không gian:

– Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bằng hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau).

– – Nét liền – biểu diễn cho những đường nhìn thấy, nét đứt – – – | biểu diễn cho những đường bị che khuất.

– Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

– Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.

3. Các tính chất thừa nhận

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Tinh chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Tinh chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phăng đó.

Tinh chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Tinh chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

Tinh chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. 4. Cách xác định một mặt phẳng . . | Ba cách xác định một mặt phẳng là:

– Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng. Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C được kích hiệu là mặt phẳng (ABC) hoặc mp (ABC) hoặc (ABC).

– Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó. Mặt phẳng đi qua đường thẳng d và điểm A không thuộc d được kí hiệu là mp (A; d).

– Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau. Mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt nhau a, b được kí hiệu là mp (a; b).

5. Hình chóp và hình tứ diện

Hình chóp

Trong mp (1) cho đa giác lồi AA3… An và điểm S nằm ngoài mặt – phăng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh A1, A2,…, An để được n tam giác SA,A2, SA2A3,…, SA,A).

Hình gồm n tam giác đó và đa giác A , A2,.. An được gọi là hình chóp và kí hiệu là S.AA… An.

S

:

A21

A4

Hình tứ viện

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ABD, ACD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện) và được kí hiệu là ABCD. Thiết diện (hay mặt cắt) cua hình H khi cắt bơi mp (1) là phần chung của mp (a) và hình H.

Hình chóp có tất cả các mặt đều là tam giác thì là hình tứ diện. . .

1. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK) Bài 1 (Trang 53, SGK) a) Ta có: E AB nên E < (ABC)

Fc AC nên F C (ABC) Suy ra EFC (ABC). b) Ta có: Is BC nên 16 (BCD)

Le BF nên 1 c (DEF). Vậy là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF). Bài 2 (Trang 53, SGK)

Μετα

Gọi (8) là mặt phẳng bất kì chứa đường thẳng d, ta có: SMed

Me (B). Id c (B) Vậy M là điểm chung của mp (a) và mọi mp (3) chứa đường thẳng d, Bài 3 (Trang 53, SGK)

Tìm cách chứng minh Ic da. Cách 1: Thật vậy: le d, I c (8) với (B) = (d, dg) . le d =le (Y) với (Y) = (da, dy) Do đó 16 d.

(B) Vậy ba đường thẳng d, da và du đông quy. .

Cách 2: Giả sử d, không đi qua I.

Khi đó dị cắt dị, d, lần lượt tại J và K. I, J, K là ba điểm phân biệt không thẳng hàng nên tạo thành mp (1JK). Khi đó di, da, d, đều thuộc mp (IJK). Điều này trái với giá thiết. Suy ra d, đi qua I hay ba đường thẳng d, , và d, đồng quy. . Bài 4 (Trang 53, SGK)

Lấy 1 là trung điểm của CD. Ta có: GA < BỊ, GB © AI. | Gọi G là giao điểm của AGA với

BGB:

1. Lại có: IG

IGB 1 nên

V

A-

—-

= 3.

.

IBIA – 3 nen

B . GAGB song song AB.. Áp dụng định lí Ta-lét, suy ra

GAY AGA – AB GGG G. | Tương tự, ta có CGc, DGp cũng cắt AG,, tại G và G và GA 3 GA = 3.

“G’G, GG, Như vậy G = G = G”. Flay AGA, BGB, CGc và DGp đồng quy..

Ghi chú: AGA, BGH, CGC và DGp chính là bốn đường trung tuyến và G chính là trọng tâm của tứ diện ABCD. Bài 5 (Trang 53, SGK) .

Hướng dẫn:

– Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (a) thì ta tìm đường thẳng d’ nằm trong (a) đồng thời cắt đường thẳng d tại I.

B

– Từ đó suy ra I là giao điểm của d và (a). Giải: a) Gọi E là giao điểm của AB và CD. Ta có: (MAB) (SCD)=ME. Gọi N là giao điểm của ME và SD. Khi đó N = SD (MAB).

1. b) Vì 0 là giao điểm của AC và | BD nên O thuộc AC và BD.

Mà AC C(SAC)=0 € (SAC).

BD C(SBD)=0 € (SBD). | Hay 0 là một điểm chung của hai

mặt phẳng (SAC) và (SBD). Lại có S Bà cũng là điểm chung của (SAC) và (SBD).

SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD). Xét mặt phẳng (AEN) gọi I là giao điểm của AM và BN. Ta có: AM c(SAC)=((SAC); BN c(SBD) (SBD).

Suy ra 1 là một điểm chung của (SAC) và (SBD). Do đó I thuộc giao | tuyến của (SAC) và (SBD) hay là 1 6 SO.

Vậy AM, BN và SO đồng quy tại I. Bài 6 (Trang 54, SGK)

1. a) NP không phải là đường . . . | trung bình của ABCD nên NP cắt CD tại I.

Ta có: Is CD và 1 c (MNP).

Suy ra là giao điểm của CD / và (MNP).

… B4 – b) Ta có:

M và I là hai điểm chung phân | biệt của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).

Suy ra MI chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).

KY..7

Bài 7 (Trang 54, SGK).

1. a) Ta có: TEAD TE (KAD). Mà l E (IBC).

ME 1 € (KAD) N (IBC). Ke BC = K 6 (IBC). Mà Ke (KAD). Be-1

=KE (IBC) O (KAD). | Vậy nên KH là giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD).

1. b) Trong mp (ACD) gọi E là giao điểm của CI và DN.

Trong mp (ABD) gọi F là giao điểm của B và DM. | E và F là hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).

Vậy EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN). Bài 8 (Trang 54, SGK)

1. a) E là giao điểm của PM và DB nên E 6 (BCD).

Đồng thời E E (MNP).

Suy ra E là 1 điểm chung giữa mp (BCD) và mp (MNP). | N là giao điểm của PN và DC nên Ne (BCD). . Đồng thời E < (MNP).

Suy ra N lại là 1 điểm chung khác giữa mp (BCD) và mp (MNP). . .

Vậy EN chính là giao tuyến giữa hai mặt phẳng (BCD) và (MNP). | b) Gọi Q là giao điểm giữa EN và BC. QG EN nên 2 c (MNP).

Vậy Q là giao điểm giữa BC và mp (MNP). | Bài 9 (Trang 54, SGK) | a) Gọi M là giao điểm của DC và AE.

T

ME AE, AE (C’AE) .

= M (C’AE). • Lại có M & DC.”

Nên M là giao điểm của DC và mp (C’AE). | b) Gọi F là giao điểm của MC E… và SD.

Thiết diện cần tìm là tứ giác AEC’F. Bài 10 (Trang 54, SGK)

1. a) Lấy N là giao điểm của SM và CD. N 6 SM, SM c (SBM) nên M 6 (SEM) Vậy M là giao điểm của CD và mp (SBM).
2. b) Lấy O là giao điểm của AC và BN. AC thuộc mp (SAC) còn BN thuộc mp (SBM). Do đó 0 là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBM).

| Mặt khác S là một điểm chung khác của mp (SAC) và mp (SBM).

Suy ra (SBMin (SAC) = so. c) Lấy I là giao điểm của So và BM. B\ IE SO, SO c (SAC) nên IE (SAC).

Suy ra I là giao điểm của BM với mp (SAC).

1. d) Lấy R là giao điểm của AB và CD. Có P là giao điểm của MR và SC.

Khi đó P là giao điểm của SC và mp (ABM) còn PM là giao tuyến giữa mp (SCD) và mp (ABM).