Nguồn website giaibai5s.com
- KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số a) Định nghĩa
– Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu lun. có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim u. = 0 hay u, $0 khi n ++%.
Như vậy, (un) có giới hạn là 0 khi n++o nếu u, có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n dủ lớn.
– Định nghĩa 2: Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a) khi n + +ó, nếu lim (vn – a) = 0.
Kí hiệu: lim v. = a hay về →a khi n++ b) Một vài giới hạn đặc biệt Từ định nghĩa suy ra các kết quả sau: – lim =0; lim = 0 với k nguyên dương; – lim x” =0 nếu q|<1; – Nếu u, sc (c là hằng số) thì lim u, = lim c= c. 2. Định lí về giới hạn hữu hạn – Định lí 1: + Nếu limu, sa và limv, sb thì: • lim(u, + v)=a+b • lim(ur.vn)=a.b • lim(u, – v,)=a-b. • lim , 4 (nếu b=0)
ntos
..^+70 n
. nston
11-too
n
+00
. no
V
b
+ Nếu u, 20 với mọi n và limu, sa thì a > 0 và lim u = a.
- Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
– Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với lại < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn… – Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un):
S= (gl<1)
- Giới hạn vô cực a) Định nghĩa
– Ta nói dãy số (un) có giới hạn +o khi no +ó, nếu (un) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: limun = + hay un + +o khi n > Foo. – Dã
gọi là có giới hạn – khi nếu lim(-un) = +, Kí hiệu: lim un = hay un – khi no+, .
- b) Một vài giới hạn đặc biệt . | limn* = +o với k nguyên dương; lim(“+ao nếu q> 1. c) Định lí 2 Nếu limu, sa và limv. =to thì lim4a =0.
Nếu limu, sa>0, limv, =0 và v, >0 với mọi n thì limon = +o. Nếu limu, =+o và limv, sa>0 thì limu.vn =+o.
KE
- HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK) Bài 1 (Trang 121, SGK) a) Sau chu kì bán rã thứ nhất, ta có khối lượng chất phóng xạ độc hại là:
u, = + (kg) Sau chu kì bán rã thứ hai ta có khối lượng chất phóng xạ độc hại là:
1 1 1 u, –.-=
2 2 2
kg)
:
Sau chu kì bán rã thứ n ta có khối lượng chất phóng xạ độc hại là:
- = + (kg) (Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.)
- b) Ta áp dụng tính chất limq” = 0 nếu lq| < 1
- c) Ta đổi: 10°g ở (kg) = 2 (kg).
Muốn u = 4 , ta cần chọn no sao cho 2 >10” chẳng hạn, với n =36, ta có 26 =(2+)? =16° >10°. Nói cách khác, sau chu kì thứ 36 (nghĩa là sau 36.24000 = 864000 (năm), khối lượng chất phóng xạ không còn độc hại đối với con người. | Bài 2 (Trang 121, SGK)
vì lim = nên có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác, ta có u, -1< = với mọi n.
Từ đó ta suy ra u, -1 có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim (u, -1)= 0. Do vậy, limu, =1.
Bài 3 (Trang 121, SGK)
in
n16-1)
ha
no-L.. lim
<= lim
6
- a) lim on-1
-= 3n+2
3
n3+ –
l n
n
Vilim(6-1) – limo
Vì lim| 6––|= lim 6-lim-= 6 và lim| 3+=
= lim3+ lim
n
6n-1 ấy, lim –= lim
3n+2
3+
blin 3n? +n-5
3+1_5
) lim
-=limn
2n2+1
2+
+
Vì lim 3+
– lim 3+lim –
3 và lim 2+
.
no
Vi lim( 3 4 4 3 im 3 + lim- -. S = 3 valim( 20 )
= lim2+limf=2
3″ +5.4″
- c) lim
line
4
+2
on
- Hum() +5 —(3) + lims=5 va bim(*(!)
= lim 1 + lim
1
= 1
1.9–+–
9–
+
n
V
in 2
In? – n+1
4n-2
n
-=lim
n
.
4
1.4 –
.
Vi lim po 45 – kim5-lim b=lim = 5 vit
Bài 4 (Trang 122, SGK) a) Theo bài ra ta có:
.
Hình vuông thứ nhất có
lên u=
Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng nên u =(1- Hình vuông thứ hai có cạnh bằng nên u =)) Hình vuông thứ ba có cạnh bằng nên u =() –
Hình vuông thứ hai có cạnh bằng
– nen u,=
—
Tương tự vậy ta có u,
b)
..
Dãy số u, là một cấp số nhân lùi vô hạn với u => và côn
Do vậy: limS, =.
=
1-4
1
| Bài 5 (Trang 122, SGK)
Các số hạng của tổng đã cho lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là -1 và công bội =- : Vậy tổng của cấp số nhân sẽ là:
-1
:
:
:
S=-1+
10
102
1on
9
1-1
Bài 6 (Trang 122, SGK). Viết a dưới dạng một phân số:
vô hạn.
a=1,020202 = 1 + ião + 10 + – +10° +
Ta có dãy số: 1, đo ở đồ… Đây là một cấp số nhân lùi ỖVậy ta có u, hồi và công bội gram
=>1=1+.100-
100 Bài 7 (Trang 122, SGK)
- a) lim(a? +2no-n+1)= linn (1 + 2 *=+ b) lim (-n? +2) = limno(-1+ 3)–
.
n
+n
V
ovakvo ==).colors to
n’-n-n?
= lim
vn
-n
+n
= lim
lim
+1
.
.
ay lim( vn?– +)=tim[47 – *. ]-ima[ 3-7-)=+
V1
Bài 8 (Trang 122, SGK)
3u, -1 lim(3u, -1) a) lime
1)
lim3u, -liml limu, + liml
3.3-1 ,
= 2. 3+1 :
172
- b) lim 1 +2 -1
- b) lim”,”? = lim LY, Y = lim V
Y =0 (vì lim