Bài 1 (Trang 107, SGK)

Ta có: un+1 – un = d, (Vn 6 N) nên nếu công sai d> 0 thì khi đó dãy u, là dãy số cộng tăng. Nếu công sai d < 0 thì khi đó dãy u, là dãy số cộng giảm. .

Bài 2 (Trang 107, SGK) a) Ta có: un =uq…-‘, vì u 50 nên với q> 0 thì up < 0, (Vn • N*). b) Nếu q< 0 thì up > 0 nếu n chẵn và un < 0 nếu n lẻ. Bài 3 (Trang 107, SGK)

Giả sử ta có hai cấp số cộng un và vn, có công sai lần lượt là dị và da, gồm cùng n số hạng.

u1, u2,…, un với công sại d và Vi, V2,…, Vn với công sai da. Ta cộng tương ứng các số hạng theo thứ tự:

(u, + v,), (uz + v2),…, (un +vn) Với 2 < x < n thì uk = uk-1 + d và Vk = VL-1 + d. Do vậy: uk + vk =(up-+ Vk-1)+(d+d), với 2<< <n

Do vậy theo định nghĩa, dãy un + v là cấp số cộng với số hạng đầu là u1 + Vị và công sai d = d + da.

Bài 4 (Trang 107, SGK)

Giả sử hai cấp số nhân un và vn gồm n số hạng và có công bội tương ứng là 1 và q2.

u1, u2,…, un với công bội qi và Vi, V2,…, Vn với công bội q2.

Ta có dãy số ui.Vì, up.V2,…, un.vn cũng là cấp số nhân với công bội q=91.22.

| Với 2 < x < n thì uk = uk-1-q và VR = Vk-1.02. Do vậy, ta có: uk.Vk = (uk-1.q1)(VK-1.q2) = (uk-1.Vk-1)(q1:42) với 25 ký n. .

. | Đặt uM.Vk = W và q.q2 = q thì wk = w-1.q với 2 <k Sn.

Do vậy theo định nghĩa, dãy up.vn là cấp số nhân với số hạng đầu là u.Vị và công bội q = (1 + q2.

Bài 5 (Trang 107, SGK) a) Đặt An = 13″ – 1. Với n = 1 ta có AB = 13′ – 1 = 12. Vậy A = 12:6

. Giả sử với n=k21 ta có: Ak =(13 -1):6 . . . . . .

+1

Ta phải chứng minh rằng: Ak+ :6 Thật vậy, ta có: Ak+1 = 13**’ – 1 = 13.13* – 13 + 12

= 13.(13* – 1) +12 =13.A+12 Theo giả thiết quy nạp thì Ag: 6 và 12 :6 nên Ak+ :6 . Vậy An 6 với mọi nc N”. b) Đặt B = 3no + 15n Với n = 1 ta cứ Ba = 3.1 + 15.1 = 18. Vậy B = 18 : 9 Giả sử với n = kx 1 ta có: B =(3k+15k):9 Ta phải chứng minh rằng: BLH:9 Thật vậy, ta có: B = 3(k + 1) +15(k+1)=(3k? +15k)+9(ko +k + 2)

= Bx +9(k+k+2) Theo giả thiết quy nạp thì B:9, mặt khác 9k + k + 2) : 9 nên B : 9 Vậy B. : 9 với mọi ne N”. Bài 6 (Trang 107, SGK) a) u, = 2; u, = 2u, – 1 = 3; u, = 2u, – 1 = 5; un = 2u, -1 =9;..

us = 204-1=17. b) Với n= 1 ta có: u1 = 2′-‘+ 1 = 2 (đúng với bài ra)

Giả sử hệ thức đúng với n = k > 1, tức là uk = 2*-‘+ 1. Ta cần chứng minh hệ thức cũng đúng với n = k + 1, tức là uk+1 – 2*+1.

Ta có uk+1 = 2.uk – 1 = 2* + 2 – 1 = 2* +1. Hệ thức đúng với n = k + 1. Vậy hệ thức đúng với mọi n = N”. Bài 7 (Trang 107, SGK)

1. a) Ta xét use-un =n+

ta

n+1

1

n+1

n

n

+

n+1

n+1

Mà l> 1 nên u, Cu, =1-1>0 với mọi nẸ N”. Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Mặt khác n + S > 2, (Vn 6 N) và nếu n càng lớn thì u, càng lớn nên dãy số u, bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên, do đó u, không bị chặn.

n

 

-1

| b) Ta xét u. -u, =(-1)* sin 1 -(-)-sin=1+

1

nul

n+1

n n+1 n Dãy số un đan dấu vì có nhân tử (-1)^-‘ nên dãy số không tăng và cũng không giảm.

Hay ta có: -1< un < 1 ne N. Vậy dãy số đã cho là dãy số bị chặn.

.

Ta có: 1. = (-)- sin-sin 11 c) U = vn +1 – Vo=”voti for >O, (VEN) Ta xét u -u, P.

ne N)

:

(5u, +10(u, +4d)=0 a) Ta có, u, =u, +4d, suy ra: 4.4.3=14

1

.1

.

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

“. Vn+ 2 + Vn+1 Vn+it to <0, (Vn e N*) Mặt khác, do (n+1+ n > M1+1+ Mi e n+1+ Mn2/2+1

1 nên u =

x 1 , Vn +1+vn 12+1 Vậy dãy số un giảm và bị chặn. Bài 8 (Trang 107, SGK) Ta sử dụng công thức u, =u, +(n-1)d và S =”idit”:”2″]

2 su, = 8

d = -3 Vậy số hạng đầu: u1 = 8 và công sai d = -3.. b) Vậy, u, =u, +6d, us =u +14d, u, =u, +3d, u =u, +1ld.

fu, +6d+u, +14d = 60 Suy ra: “

(u, +10d = 30 ra: {(1, +3d)* +(u, +11d)° = 1170 {u} +14du, +65&* = 585 Vậy số hạng đầu: u1 = 0 và công sai d = 3 hoặc số hạng đầu: u = -12 và công sai d = 2 | Bài 9 (Trang 107, SGK) Ta áp dụng un =uq—

suo = 192 Su,qʻ = 192 su, = 6 au, = 384u,qo = 384 19=2

GK

b} {uu, = 72 / u,g-u,9 = 72 Su,q(9?-1) = 72 (1)

> Luz – U; = 144 ]u,q*-u,q’ = 144]u,g?(q? –1) = 144 (2) Chia (2) cho (1), ta có q = 2 và thay q= 2 vào (1) ta được u1 = 12.

u, +u-u=10 u ;q+u,q* +u,q’ =10 nu, +46-,-= 20 – 4,92 +u,q’ – u,q* = 20

fu,q(1+q?-q?)=10 (1) “Tu,q? (1+q? -q”)= 20 (2) Chia (2) cho (1), ta có q = 2 và thay q = 2 vào (1) ta được u = 1. Bài 10 (Trang 108, SGK)

Ta có cấp số cộng A, B, C, D có công sai d. Ta tính các góc B, C, D theo góc A.

Vì ta có C = 5A nên A + 2d = 5A = d = 2A Do A+B+C+D=A+A+2A +A+4A +A+6A = 16A = 360° Nên A = 22°30′ suy ra B=67°30, C=112030, D=157°30. Bài 11 (Trang 108, SGK)

Ta có ba số x, y, z tạo thành một cấp số nhân, giả sử cấp số nhân x, y, z có công bội q. Ta có các giá trị: y=xq, z=qx. Vậy ta thay các giá trị này vào cấp số cộng x, 2y, 3z ta được cấp số cộng 1, 2x 3xq”. Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

[q=1 x+ 3(x = 4(x + 3qJ4q+1=0 (vìx # 0)= 1

.

M

Bài 12 (Trang 108, SGK). Gọi diện tích của mặt trên của tầng thứ i là u, (i = 1, 2, …, 11). u, tạo thành cấp số nhân với u =6144 và công bội q=.

.

110

Vậy u, =u, q = 61444) = 6

(2) Suy ra, diện tích mặt trên cùng là 6m?. . . Bài 13 (Trang 108, SGK) Với điều kiện a, b, c+0 thì các số , , , lập thành cấp số

b+ccta a +b cộng khi và chỉ khi: 74

1

nu

1-1 – 1-1 c+a b+c a+b c+a

b-a : c-b in b-a-c-bab-a2 = c? – 62 : (c+a)(b+c) (a+b)(c+a) (b+c) (a+b) Vậy a, bo, co lập thành một cấp số cộng. Suy ra ba số đã cho lập thành một cấp số cộng.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bài 14 (Trang 108, SGK) a) un+1 = 3″+1 = 3.3″ Chọn phương án C.

Chọn phương án B. b) uzn = 321 = 9″

1. d) U20-1 = 321-1 = 3″.3n-1 Chọn phương án B.

Chọn phương án B. Bài 15 (Trang 108, SGK). Chọn phương án B. Ta xét hiệu u, Cu, ta nhận thấy dãy số B tăng vì: Un = (-1)21(5″ + 1) = 5″ + 1 < 51+1 + 1 = Unt1 | Dãy số A không tăng vì các số hạng đan dấu, còn dãy số C và D giảm.

Bài 16 (Trang 109, SGK) Chọn phương án D.

1-2+6 = 2x lx=2 Ta xét cấp số cộng -2, x, 6, y. Vậy ta có: {

: (x+y=12 > (y=10 Bài 17 (Trang 109, SGK) , , Chọn phương án C. Ta xét cấp số nhân 4, x, -9. Vậy ta có: x = 363x=+6. Bài 18 (Trang 109, SGK) Chọn phương án B. (un) là cấp số cộng, số hạng đầu là uy, công sai d thì ta có: 4,0 +4210 = 4, +89d+u, +209d = 2(u, +149d) = 24,50 Bài 19 (Trang 109, SGK) Chọn phương án B.

fu, =-1 4n+1=3, (Une N*) . Tunti = 3u, un

-1

. Ta có: 19