54. Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Giải Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC Khi đó A thuộc đường trung trực của BC (1) Tam giác DBC cân tại D nên DB = DC Khi đó D thuộc đường trung trực của BC (2) Tam giác EBC cân tại E nên EB = EC Khi đó E thuộc đường trung trực của BC Từ (1), (2) và (3) suy ra: A, D, E thẳng hàng. – 55. Cho hai điểm D, E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng ABDE = ACDE.

Giải Vì D thuộc đường trung trực của BC nên DB = DC (tính chất đường trung trực)

Vì E thuộc đường trung trực của BC nên EB = EC (tính chất đường trung trực) Xét ABDE và ACDE, ta có:

DB = DC (chứng minh trên) | DE cạnh chung

EB = EC (chứng minh trên) Suy ra: ABDE = ACDE (c.c.c).

56. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ d. Tìm một điểm C nằm trên d sao cho C cách đều A và B.

D

**

*

Giải

Ad

* Nếu AB không vuông góc với d

– Vì điểm C cách đều hai điểm A và B nên C nằm trên đường trung trực của AB.

– Điểm C c d

Vậy C là giao điểm của đường trung trực của AB và đường

m

Cần dựng đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d tại C.

Vậy C là điểm cần tìm. * Nếu AB vuông góc với da

Khi đó đường trung trực của AB song song với đường thẳng d nên không tồn tại điểm C.

57. Đường trung trực d của đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần I và II như hình dưới. Cho điểm M thuộc phần I và điểm N thuộc phần II. Chứng minh rằng:
58. MA < MB b. NA > NB

>

Giải

.

MB.

.

1. Nối MA, MB. Gọi C là giao điểm của MB với đường thẳng d, nối CA. Ta có: MB = MC + CB Mà CA = CB (tính chất đường trung trực) Suy ra: MB = MC + CA

(1) Trong AMAC, ta có:

MA < MC + CA (bất đẳng thức tam giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: MA = MB.

1. Nối NA, NB. Gọi D là giao điểm của NA với đường thẳng d, nối DB.

Ta có: NA = ND + DA Mà DA = DB (tính chất đường trung trực) Suy ra: NA = ND + DB (3) Trong ANDB, ta có: NB < ND + DB

| (bất đẳng thức tam giác (4) Từ (3) và (4) suy ra: NA > NB.

58. Cho hình bên. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD.

Giải Vì AC = AD (gt) nên A thuộc đường trung trực của CD

Vì BC = BD (gt) nên B thuộc đường trung trực của CD

Vì A + B nên AB là đường trung trực của CD. . Vậy AB 1 CD.

59. Cho hai điểm A, B và một đường thẳng d. Vẽ đường tròn tâm 0 đi qua hai điểm A, B sao cho O nằm trên đường thẳng d.

Giải – Vì A và B là hai điểm nằm trên đường tròn tâm O nên OA = OB.

– Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn AB.

Vì tâm O nằm trên đường thẳng d nên O là giao điểm của đường trung trực của AB và đường thẳng d.

– Dựng đường thẳng m là đường trung trực của AB cắt d tại 0. – Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA (hoặc OB) * Lưu ý: – Nếu m // d thì không dựng được tâm O

– Nếu m trùng với d thì có vô số điểm chung o do đó có vô số đường tròn thỏa mãn bài toán.

| 60. Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác cân có đáy là AB.

Giải * Chứng minh thuận Vì ACAB cân tại C nên CA = CB Suy ra C thuộc đường trung trực của AB

Vì điểm C thay đổi mà ACAB luôn cân tại C nên C nằm trên đường trung trực của đường thẳng AB.

B

* Chứng minh đảo Trên đường thẳng d lấy điểm C bất kỳ (C khác trung điểm M của AB). Nối CA, CB. Ta có: CA = CB (tính chất đường trung trực) Suy ra tam giác CAB cân tại C.

Tập hợp các điểm C có tính chất CA = CB và ba điểm A, B, C . không thẳng hàng là đường trung trực của AB.

61. Cho góc xOy bằng 60°, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm B sao cho Ox là đường trung trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC. | a. Chứng minh rằng OB = OC. b. Tính số đo góc BOC.

Giải a. Vì Ox là đường trung trực của AB nên:

OB = OA (t/chất đường trung trực) (1) Vì Oy là đường trung trực của AC nên:

OA = OC (tíchất đường trung trực) (2) Từ (1) và (2) suy ra: OB = OC.

1. Vì AOAB cân tại O và Ox là đường trung trực của AB nên Ox là đường phân giác của AOB (tính chất tam giác cân)

Suy ra: ô, = ô,

Vì tam giác OAC cân tại O và Oy là đường trung trực của AC nên | Oy là đường phân giác của AOC (tính chất tam giác cân) Suy ra: Ô = 0.

(4) Từ (3) và (4) suy ra: Ô + Ô = ô+ ô, Ta có: BỌC = + + + ô,

2( Ô + Ô,) = 2. xOy = 2.60° = 120°. 62. Cho hình bên, M là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng a. Vẽ điểm C sao cho a là đường trung trực của AC. a. Hãy so sánh MA + MB với BC.

ма b. Tìm vị trí của điểm M trên đường | thẳng a để MA + MB là nhỏ nhất.

Giải a. Gọi N là giao điểm của BC với đường thẳng a. * Nếu M + N Nối MC. Vì a là đường trung trực của AC nên M + a Suy ra: MA = MC (tính chất đường trung trực) (1 Trong AMBC, ta có:

| BC < MB + MC (bất đẳng thức tam giác) (2) Thay (1) vào (2) ta có: BC < MA + MB * Nếu M trùng với N Nối NA. Ta có:

NM a | NA = NC (tính chất đường trung trực) Mà: MA + MB = NA + NB = NC + NB = BC Vậy: MA + MB > BC.

1. Theo chứng minh trên, khi M trùng với N thì MA + MB = BC bé nhất. Vậy khi M là giao điểm của BC với đường thẳng a thì MA + MB bé nhất.