Nguồn website giaibai5s.com
- Hai nhà máy được xây dựng tại hai địa điểm A và B nằm về một phía của khúc sông thẳng. Tìm trên bờ sông một địa điểm C để xây một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A và đến B là nhỏ nhất.
| – Dựng điểm A’ sao cho bờ sông là trung trực của AA.
– Nối AB cắt bờ sông tại điểm C.
Theo kết quả của bài 62 thì C là điểm cần tìm có khoảng cách CA + CB ngắn nhất.
- Cho tam giác ABC. Tìm một điểm 0 cách đều ba điểm A, B, C.
Giải Vì điểm O cách đều hai điểm A và B nên O thuộc đường trung trực của AB..
Vì điểm O cách đều hai điểm A và C nên 0 thuộc đường trung trực của AC. – Vì điểm O cách đều hai điểm B và C nên O thuộc đường trung trực của BC.
Trong tam giác, ba đường trung trực đồng quy tại một điểm. Dựng đường trung trực AB và BC cắt nhau tại O.
Vậy O là điểm cần tìm.
- Cho hình dưới (hình 65a). Chứng minh rằng ba điểm B, K, C | thẳng hàng.
…
Giải
.
..
B.
в
3
먀
.
/ 24
A Etc
Hình 65b
Hình 65a
Nối KA, KB, KC (hình 65b). Vì KD là đường trung trực của AB nên: | KA = KB (tính chất đường trung trực) Suy ra: AKAB cân tại K Do đó KD là đường phân giác của AKB Suy ra: Ê= Êz = AKB = 2 Ê
.
(1)
ra.
Vì KE là đường trung trực của AC nên: – KA = KC (tính chất đường trung trực Suy ra: AKAC cân tại K Do đó KE là đường phân giác của AKC Suy ra: K = K = AKC = 2K,
(2) Ta có: KDLAB (gt) và ACLAB (gt)
Suy ra: KD || AC (hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau).
Lại có: KE I AC (gt) Suy ra: KEIKD (quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song) Hay: DKE = 90° = Ři i K2 = 90° Từ (1) và (2) suy ra: AKB + AKC = 2K + 2K,
= 2.7K +K) = 2.90° = 180°. Vậy B, K, C thẳng hàng. 66. Dựa vào kết quả của bài 65, hãy chứng minh rằng:
- Các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Giải a. Kẻ đường trung trực của AC cắt BC tại K B . Nối AK. Ta có: KA = KC (tính chất đường trung trực) | Suy ra: AKAC cân tại K. Suy ra: KAC = Ĉ
(1)
DE Lại có: C + B = 90° (tíchất tam giác vuông) (2) Mà: KAC + KAB = BAC = 90° (3)
Suy ra: AKAB cân tại K = KA = KB . Suy ra: K thuộc đường trung trực của AB
Do đó K là giao điểm ba đường trung trực của AABC. Suy ra: KB = AC = KA = K là trung điểm của BC
Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm cạnh huyền.
- Giả sử AABC có A = 90°. Gọi M trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA . Xét CAMC và ABMD, ta có:
BM = CM (gt) AMC = BMD (đối đỉnh)
MA = MD (theo cách vẽ) Suy ra: AAMC = ABMD (c.g.c) = MAC = 0 (hai góc tương ứng) Suy ra: BD // AC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau) Mà: AC I AB (gt) Suy ra: BD I AB hay ABD = 90° Xét AABC và ABAD, ta có:
BAC = ABD = 90° AB cạnh chung
BD = AC (vì A AMC = A BMD) .. Suy ra: AABC = A BAD (c.g.c) = AD = BC Mà AM = MD = AD nên AM = ABC
Vậy trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
- Có một chi tiết máy (mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy (hình bên). Hãy nêu cách xác định tâm của đường viền.
. . Giải | Lấy ba điểm A, B, C phân biệt trên đường viền.
| Dựng đường trung trực của AB và BC. AP Hai đường trung trực cắt nhau tại O.
Đoạn OA, OB, OC chính là bán kính của đường viền.
L.\
- Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Đường trung trực của AC cắt đường thẳng AM ở D. | Chứng minh rằng DA = DB. .
Giải Vì AABC cân tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC nên AM cũng là đường trung trực của BC.
Vì D là giao điểm của các đường trung trực AC và BC nên D thuộc trung trực của AB. Theo tính chất đường trung trực, ta có:
DA = DB. | 69. Cho tam giác ABC có A là góc tù. Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau ở O và cắt BC theo thứ tự ở D và E.
- Các tam giác ABD, ACE là tam giác gì? | b. Đường tròn tâm O bán kính OA đi qua những điểm nào trong hình vẽ?
Giải
- Vì D thuộc đường trung trực của AB nên:
DA = DB (tính chất đường trung trực) Suy ra: AADB cân tại D. Vì E thuộc đường trung trực của AC nên:
| EA = EC (tính chất đường trung trực) Suy ra: AAEC cân tại A. . b. Vì O là giao điểm ba đường trung trực của AABC nên: · OA = OB = OC | Vậy (O; OA) đi qua ba điểm A, B, C.