45. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác, gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Chứng minh rằng ba điểm A, G, I thẳng hàng.

.

Giải

Kẻ các đường phân giác của BAC và ACB, chúng cắt nhau tại I.

Gọi M là giao điểm của AI và BC.

Ta có tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác AM cũng là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc AM. Vậy A, I, G thẳng hàng.

46. Cho tam giác ABC. Hãy tìm một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đường thẳng AB, BC, CA là bằng nhau, đồng thời khoảng cách này là ngắn nhất.

Giải

DA

* Nếu O là điểm nằm trong AABC Kě OH | AB, OK I BC, OI I AC

Vì điểm 0 cách đều các đường thẳng AB, BC, CA nên: OH = OA = OI | Suy ra 0 nằm trên tia phân giác của ACB

Vậy O là giao điểm các đường phân.. giác trong của AABC

O’

. * Nếu O nằm ngoài AABC Ké OD I AB, ᎤE I BC, 0F I AC Vì ở cách đều ba đường thẳng AB, BC, AC nền: KD = OE = OF Vì OD = OF nên nằm trên tia phân giác của BAC Vì AD = AE nên 2 nằm trên tia phân giác của DBC

Suy ra ở là giao điểm phân giác trong của BAC và phân giác ngoài tại đỉnh D.

Khi đó A, 0, 0 thẳng hàng và A, H, D thẳng hàng. Ta có: OH < OD

Vậy O là giao điểm các đường phân giác trong của AABC cách đều ba đường thẳng AB, BC, CÁ và ngắn nhất. | 47. Tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác cân.

Giải Ké MH | AB, MK 1 AC | Vì AM là tia phân giác của BAC nên

/ 12 MH = MK (tính chất tia phân giác) Xét hai tam giác MHB và MKC, ta có: H .

MHB = MKC = 90° MH = MK (chứng minh trên)

MB = MC (gt) Suy ra: AMHB = AMKC (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Suy ra: B = C (hai góc tương ứng) Vậy tam giác ABC cân tại A.

48. Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng AK đi qua trung điểm của BC.

Giải | Các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại K nên AK là đường phân giác . . của góc A.

Gọi H là trung điểm của BC | Trong tam giác cân đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường 4 trung tuyến ứng với cạnh đáy.

Vậy AK đi qua trung điểm H của BC.

49. Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của BC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ 2 đến AB và AC. Chứng minh rằng DE = DF.

R

|

Gjái

Vì AABC cân tại A và DB = DC (gt) nên đường trung tuyến AD cũng là đường phân giác của BAC. Ta có: DE I AB (gt) DF 1 AC (gt)

B Suy ra: DE = DF (tính chất đường phân giác của góc).

| 50. Cho tam giác ABC có A = 70°, các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính BIC.

Giải Trong AABC, ta có:

A + B + C = 180° (tổng ba góc trong tam giác) Suy ra: ß + Ĉ = 180° – Â = 180° – 70° = 110° Ta có:

B = B (vì BD là tia phân giác)

CE là tia phân giác)

2

Trong ABIC, ta có:

BIC + B + C = 180° (tổng 3 góc trong tam giác) Suy ra: BIC = 180o – (Ấn + Ĉ) = 180o – 1 (B + Ĉ)

= 180° – 1.110o = 125°. 51. Tính góc A của tam giác ABC biết rằng các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I trong đó góc BIC bằng 120°.

|

Giải Trong ABIC có: BIC + B + C = 180° (tổng 3 góc trong tam giác) Suy ra: B1 + Ĉ = 180° – 120° = 60° Ta có:

(vì BD là tia phân giác)

NI

wiác)

: le

B

C = AC (vì CE là tia phân giác) N1 Suy ra: Ê + Ĉ = 2( + Ĉi) = 2.60° = 120° Trong AABC có: A + B + C = 180° (tổng ba góc trong tam giác) Suy ra: A = 180° – (B + C) = 180° – 120° = 60°.

52. Cho tam giác ABC. Các tia phân giác các góc A và C cắt nhau .. I. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh rằng ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Giải

B

Kě IH 1 AB, IJ I BC, IG 1 AC, KD 1 AB, KE I AC, KF 1 BC

Vì I nằm trên tia phân giác của BAC nên IH = IG (tính chất tia phân giác)

Vì I nằm trên tia phân giác của BCA nên IG = IJ (tính chất tia phân giác)

Suy ra: IH = IJ Do đó I nằm trên tia phân giác của ABC (1)

Vì K nằm trên tia phân giác của DAC nên KD = KE (tính chất tia phân giác)

Vì K nằm trên tia phân giác của ACF nên KE = KF (tính chất tia . phân giác)

Suy ra: KD = KF . Do đó K nằm trên tia phân giác của ABC (2) . . Từ (1) và (2) suy ra: B, I, K thẳng hàng.

53. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC.
54. Chứng minh rằng AD = AE b. Tính các độ dài AD, AE biết rằng AB = 6cm, AC = 8cm

—

Giải a. Vì I là giao điểm các đường phân giác trong của B và C nên AI là tia phân giác của A Suy ra: ID = IE (tính chất tia phân giác)

(1) Vì AADI vuông tại D có DAI = 45° nên AADI vuông cân tại D Suy ra: ID = DA

(2) Vì AAEI vuông tại E có EAI = 45° nên AEI vuông cân tại E Suy ra: IE = AE

(3) • Từ (1), (2) và (3) suy ra: AD = AE.

1. Tam giác vuông ABC có A = 90° Áp dụng định lý Pitago, ta có:

BC2 = AB? + ACP = 62 +82 = 36 + 64 = 100 + BC = 10 (cm) Kệ IF I BC. Xét hai tam giác vuông IDB và IFB, ta có:

IDB = IFB = 90° DBI = FBI (gt)

Cạnh huyền BH chung Suy ra: AIDB = AIFB (cạnh huyền, góc nhọn) Suy ra: DB = FB (hai cạnh tương ứng) Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có:

IEC = IFC = 90° ECI = FCI (gt)

Cạnh huyền CI chung Suy ra: AIỆC = AIFC (cạnh huyền, góc nhọn) Suy ra: CE = CF (hai cạnh tương ứng) Mà: AD + AE = AB – DB + AC – CE Suy ra: AD + AE = AB + AC – (DB + CF) Từ (4), (5) và (6) suy ra: AD + AE = AB + AC – (FB + FC)

= AB + AC – BC = 6 + 8 – 10 = 4 (cm) Mà AD = AE (chứng minh trên) Nên AD = AE = 4 : 2 = 2 (cm).

2

(cm).

.