Giải

2x 2X

+ —

–

4

2.2x + 2x – 1 = 4.6 – 2x

4x + 2x – 1 = 24 – 2x

6x + 2x = 24 + 1

8x = 25

x =

X

—

–

8

Phương trình có nghiệm x =

–

X-1 X-1

X-1 X-1

2x – 2 2 4

3

2 4 6(x – 1) + 3(x – 1) = 12 – 4(2x – 2) 6x – 6 + 3x – 3 = 12 – 8x + 8 6x + 3x + 8x = 12 + 8 + 6 + 3

29 17x = 29 x =

–

o

–

Phương trình có nghiệm x = –

–

2003 20011+2= 2002 +1 +1-2003

1-X – 2002

1+1

2-X 1-X X

2-X

C -1+2= 2001 2002 20 2001 2-X (1-X —- +1=1 +1 + 1- 2001 2002

2003) 2003 – X 2003-X 2003-X

2001 2002 2003 2003 – 2003 – X 2003 – Xa

2001 2002 2003

x = 2003.

(2003 – x)

-=0 © 2003 – x = 0 2001 2002 2003 Phương trình có nghiệm x = 2003.

| BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 26. Giải các phương trình sau: a. (4x – 10/24 + 5x) = 0 b. (3,5 – 7x)(0,1x + 2,3) = 0

6. (3x+2)/ (x +3) 69 23-0 d. 13.3–180) :32, 24153)-0

Giải a. (4x – 10)(24 + 5x) = 0 = 4x – 10 = 0 hoặc 24 + 5x = 0

• 4x – 10 = 0 4x = 10 x = 2,5
• 24 + 5x = 0 5x = 24 x = -4,8 Phương trình có nghiệm x = 2,5 và x = -4,8. b. (3,5 – 7x)(0,1x + 2,3) = 08 3,5 – 7x = 0 hoặc 0,1x + 2,3 = 0
• 3,5 – 7x = 0 3,5 = 7x x = 0,5
• 0,1x + 2,3 = 0 o 0,1x = -2,3 x = -23 Phương trình có nghiệm x = 0,5 hoặc x = -23. c. (3x – 2)2(x+3) 4x -3)=0

5

= 0

2

.

X-3

+ 3x – 2 = 0 hoặc

2

Y

• 3x – 2 = 0 ~ 3x = 2 = x= • 2(x+3) 4x=3 = 6 – 2×76 4x=3 = 0

7. 5. = 5(2x + 6) – 714x – 3) = 0 10x + 30 – 28x + 21 = 0

☆ -18x + 51 = 0 => x = 17 Phương trình có nghiệm x- hoặc x 7

.

.

17.

X

X

=

4. (3.3-1) 1932, 2015)

= 3,3 – 11x = 0 hoặc

7x + 2 2(1 – 3

“ “+

• 3,3 – 11x = 0 – 3,3 = 11x + x = 0,3

7x+2 2(1 – 3x)

7x + 2

2-6x

+

317x + 2) + 5(2 – 6x) = 0

21x + 6 + 10 – 30x = 0

.

–

16

☆

-9x.= -16 > x=0

Phương trình có nghiệm x = 0,3 hoặc x =

.

27. Dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng các nghiệm của . mỗi phương trình sau, làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba.

1. (V3 -XV5)(2xV2 +1) = 0 . b. (2x-V7)(x/70+3) = 0 c. (2–3×15)(2,5x+12)=0 d. (V13 + 5x)(3,4-48/1,7)=0

Giải a. (15-1,5)(2xy +1)=0 = 15-x/5 =0 hoặc 2x 2 +1=0 . • 15-x55=0&x=y=0,175 • 2xV2 +1=0 6x=–

TT-0,354

3.2V2 Phương trình có nghiệm x = 0,775 hoặc x = -0,354. b. (2x – 5)(x 410 +3)=0 = 2x-7 =0 hoặc x/10 +3=0

• 2x-57=0->x=”7 <1,323

2

E

XV10 +3=0

x

=-

-0,949 -0,949

X

2

2,5

Phương trình có nghiệm x = 1,323 hoặc x = -0,949. c. (2 – 3×15 (2,5x + 2)=0 6 2–3×45 =0 hoặc 2,5x + 2 =0

• 2-3xV5 = 0 6x=20,298
• 2.5x+V2=0 < x= v=-0.566 Phương trình có nghiệm x = 0,298 hoặc x = -0,566. d. (V13 + 5x)(3,4 – 4xV17) = 0

M13+5x = 0 hoặc 3,4–4×1,7 =0 • V13+5x=0ex=-113 = -0,721 • 3,4 – 4xV1,7=00

5

3,4

. :~0,652

Phương trình có nghiệm x = -0,721 hoặc x = 0,652. 28. Giải các phương trình sau: a. (x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1) b. 3x(25x + 15) – 35(5x + 3) = 0

1. (2 – 3x)(x + 11) = (3x − 2)(2 – 5x) d. (2×2 + 1)(4x – 3) = (2×2 + 1)(x – 12) e. (2x – 1)2 + (2 – x)(2x – 1) = 0 f. (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4

| Giải a. (x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1)

(x – 1)(5x + 3) – (3x – 8)(x – 1) = 0 (x – 1)[(5x + 3) – (3x – 8)] = 0 (x – 1)(5x + 3 – 3x + 8) = 0

(x – 1)(2x + 11) = 0 = x – 1 = 0 hoặc 2x + 11 = 0 . .X-1=0 x = 1

• 2x + 11 = 0 x = -5,5 | Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = -5,5. b. 3x(25x + 15) – 35(5x + 3) = 0 Ø 15x(5x + 3) – 35(5x + 3) = 0 e (15x – 35)(5x + 3) = 0 8 15x – 35 = 0 hoặc 5x + 3 = 0

35 7 15x – 35 = 0 x= 153

X

=

5x + 3 = 0

o

x =

Vậy phương trình có nghiệm x = – hoặc x = –

1. (2 – 3x)(x + 11) = (3x — 2)(2 – 5x)

(2 – 3x)(x + 11) – (3x − 2)(2 – 5x) = 0 (2 – 3x)(x + 11) + (2 – 3x)(2 – 5x) = 0 (2 – 3x)[(x + 11) + (2 – 5x)] = 0

(2 – 3x)(x + 11 + 2 – 5x) = 0 e (2 – 3x)( 13 – 4x) = 0 = 2 – 3x = 0 hoặc 13 – 4x = 0

2 – 3x = 0)

X

• 13 – 4x = 0

xz13

Y

X

Vậy phương trình có nghiệm x? hoặc x = 1 d. (2x + 1)(4x – 3) = (2×2 + 1)(x – 12)

(2×2 + 1)(4x – 3) – (2×2 + 1)(x – 12) = 0.

(2x + 1)[(4x – 3) – (x – 12)] = 0

(2x + 1)(4x – 3 – x + 12) = 0 e (2x^ + 1)(3x + 2) = 0 = 2×2 + 1 = 0 hoặc 3x + 9 = 0

+ 2x + 1 = 0: vô nghiệm (vì 2x^ > 0 nên 2x^ + 1 > 0)

• 3x + 9 = 0 x = -3 Vậy phương trình có nghiệm x = -3. e. (2x – 1)2 + (2 – x)(2x – 1) = 0

(2x – 1)(2x – 1) + (2 – x)(2x – 1) = 0 (2x – 1)[(2x – 1) + (2 – x)] = 0

(2x – 1)(2x – 1 +2 – x) = 0 . e (2x – 1)(x + 1) = 0 = 2x – 1 = 0 hoặc x + 1 = 0

• 2x – 1 = 0 x = 0,5 . : . x + 1 =0 x = -1 Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5 hoặc x = -1. f. (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x +4

(x + 2)(3 – 4x) – (x + 2)2 = 0 (x + 2)(3 – 4x) – (x + 2)(x + 2) = 0 (x + 2)[(3 – 4x) – (x + 2)] = 0

(x + 2)(3 – 4x – x – 2) = 0 = (x + 2)(1 – 5x) = 0 = x + 2 = 0 hoặc 1 – 5x = 0

• x+ 2 = 0 ♡ X=-2
• 1 – 5x = 0 x = 0,2 Vậy phương trình có nghiệm x = -2 hoặc x = 0,2. 29. Giải các phương trình sau: a. (x – 1)(x2 + 5x – 2) – (x® – 1) = 0 b. x2 + (x + 2x11x – 7) = 4 C. x + 1 = x(x + 1) :

. d. x2 + x2 + x + 1 = 0

Giải a. (x – 1)(x2 + 5x – 2) – (x2 – 1) = 0)

(x – 1)(x? + 5x – 2) – (x – 1)(x2 + x + 1) = 0 (x – 1)[(x2 + 5x – 2) – (x2 + x + 1)] = 0

(x – 1)(x2 + 5x – 2-X2 – x – 1) = 0 + (x – 1)(4x – 3) = 0 x – 1 = 0 hoặc 4x – 3 = 0 . • x-1=

0 x =1 . • 4x – 3 = 0 x = 0,75 Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = 0,75.

] =0

4. x2 + (x + 2)(11x – 7) = 4. . = x? – 4 + (x + 2)(11x – 7) = 0 : :

(x + 2)(x – 2) + (x + 2)(11x – 7) = 0 : ♡ (x + 2)[(x – 2) + (11x – 7)] = 0

:: (x + 2)(x – 2 + 11x – 7) = 0 = (x + 2)( 12x – 2) = 0 = x + 2 = 0 hoặc 12x – 9 = 0 .. x + 2 = 0 x = -2

• 12x – 9 = 0 x = 0,75 | Vậy phương trình có nghiệm:x = -2 hoặc x = 0,75. C. x + 1 = x(x + 1)

(x + 1)(x2 – x + 1) = x(x + 1); (x + 1)(x2 – x + 1) – x(x + 1) = 0 (x + 1)(x2 – X + 1 – x) = 0

(x + 1)(x2 – 2x + 1) = 0 e (x + 1)(x – 1)^ = 0 = x + 1 = 0 hoặc (x – 1)^ = 0

x + 1 = 0 x=-1

(x – 1)2 = ( x- 1 = 0 x=1 Vậy phương trình có nghiệm x = -1 hoặc x = 1. d. x3 + x2 + x + 1 = 0)

x?(x + 1) + (x + 1) = 0 e (x + 1)(x + 1) = 0 + x + 1 = 0 hoặc x + 1 = 0

+ x + 1 = 0: vô nghiệm (vì x > 0 nên x2 + 1 > 0)

• x + 1 = 0 x = -1 Vậy phương trình có nghiệm x = -1.

30. Giải các phương trình bậc hai sau đây bằng cách đưa về dạng phương trình tích: a. x2 – 3x + 2 = 0 S

b . – x2 + 5x – 6 = 0 : c. 4×2 – 12x + 5 = 0 . . d. 2×2 + 5x + 3 = 0 .

Giải a. x2 – 3x + 2 = 0 = x2 – X – 2x + 2 = 0

x(x – 1) – 2(x – 1) = 0 = (x – 2)(x – 1) = 0

x – 2 = 0 hoặc x – 1 = 0 • X – 2 = 0 x = 2

• X- 1 = 0 x=1 . Vậy phương trình có nghiệm x = 2 hoặc x = 1.

1. -X2 + 5x – 6 = 0 -x2 + 2x + 3x – 6 = 0

-x(x – 2) + 3(x – 2) = 0). (x – 2)(3 – x) = 0 + x – 2 = 0 hoặc 3 – x = 0

x – 2 = 0 x = 2 .

• 3 – X = 0 x = 3 | Vậy phương trình có nghiệm x = 2 hoặc x = 3. C. 4×2 – 12x + 5 = 0 ~ 4×2 – 2x – 10x + 5 = 0

2x(2x – 1)- 5(2x – 1) = 0.6 (2x – 1)(2x – 5) = 0 e 2x – 1 = 0 hoặc 2x – 5 = 0

• 2x – 1 = 0 x = 0,5
• 2x – 5 = 0 x = 2,5 Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5 hoặc x = 2,5. d. 2×2 + 5x + 3 = 0 = 2×2 + 2x + 3x + 3 = 0

2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0 = (2x + 3)(x + 1) = 0 e 2x + 3 = 0 hoặc x + 1 = 0 • 2x + 3 = 0 x = -1,5

X + 1 = 0 x = -1 Vậy phương trình có nghiệm x = -1,5 hoặc x = -1. 31. Giải các phương trình bằng cách đưa về dạng phương trình tích: a. (x-V2)+3(x2-2)=0 .b. x°-5 = (2x – v5)(x+v5)

Giải a. (x-v2)+3(x-2)=0 = (x-12)+ 3(x +v7)(x-V2) = 0

(x-12)[1+3(x+ 2))=0 + (x-12)(1+3x+372) = 0 e x – 2 = 0 hoặc 1+ 3x + 3/2 = 0

• X-V2 = ( x = V2 • 1+3x+372 = 0 + x = 1+342

1

X

.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2 hoặc x b. XP-5=(2x – V5)(x+15). = (x+v5)(x-15)=(2x – 15)(x+15)

(x+V5)(x – 15)-(2x–55)(x+V5) = 0

(x+v5)[(x-V5)-(2x – V5)]= 0 = (x+45)(-x)=0 = x + 5 =0 hoặc -x = 0

• X+V5 = 0 x = -15

..-x = 0 x = 0 Vậy phương trình có nghiệm x = -45 hoặc x = 0. 32. Cho phương trình (3x + 2k – 5(x – 3k + 1) = 0, trong đó k là.

X

=

một số.

| a. Tìm các giá trị của k sao cho một trong các nghiệm của phương trình là x = 1.

1. Với mỗi giá trị của k tìm được trong câu a, hãy giải phương trình đã cho..

Giải .. a. Thay x = 1 vào phương trình (3x + 2x – 5)(x – 3k + 1) = 0, ta có:

(3.1 + 2k – 5)(1 – 3k + 1) = 0 A (2k – 2)(2 – 3k) = 0 2k – 2 = 0 hoặc 2 – 3k = 0

• 2k – 2 = 0 = k = 1 • 2 – 3k = 0) ok=2

11 Nim

Vậy với k = 1 hoặc thì phương trình đã cho có nghiệm x = 1. b. Với k = 1, ta có phương trình: | (3x – 3)(x – 2) = 0 + 3x – 3 = 0 hoặc x – 2 = 0

• 3x – 3 = 0 x = 1 :
• X- 2 = 0 x = 2 Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = 2.

11

11

Với k = 7, ta có phương trình:

(3x-1)(x-1)=0e 3x-1=0 hoặc x-1= • 3x=*=0 6 =

3X

3X

0 hoặc x – 1

= 0

)

.

.

x –

1 = 0.

X = 1

|

Vậy phương trình có nghiệm x =

hoặc x = 1.

33. Biết x = -2 là một trong các nghiệm của phương trình: ..

XP + ax2 – 4x – 4 = 0 a. Xác định giá trị của a.

1. Với a tìm được ở câu a, tìm các nghiệm còn lại của phương trình bằng cách đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích.

Giải a. Thay x = -2 vào phương trình x° + ax^2 – 4x – 4 = 0, ta có:

(-2)+ a(-2)2 – 4(-2) -4 = 0

-8 + 4a + 8 -4 = 0 4a – 4 = 0 a = 1 . Vậy a = 1. b. Với a = 1, ta có phương trình: x + x^ – 4x – 4 = 0 . © xo(x + 1) – 4(x + 1) = 0 (x2 – 4)(x + 1) = 0)

(x + 2)(x – 2)(x + 1) = 0 e x + 2 = 0 hoặc x – 2 = 0 hoặc x + 1 = 0

• x + 2 = 0 x = -2 • x – 2 = 0 = x = 2
• x + 1 = 0 = x=-1 . Vậy phương trình có nghiệm x = -2 hoặc x = 2 hoặc x = -1… 34. Cho biểu thức hai biến: f(x; y) = (2x – 3y + 7)(3x + 2y – 1)

1. Tìm các giá trị của y sao cho phương trình (ẩn x) f(x; y) = 0, nhận x = -3 làm nghiệm.
2. Tìm các giá trị của x sao cho phương trình (ẩn y) f(x; y) = 0, nhận y = 2 làm nghiệm.

–

Giải a. Phương trình f(x; y) = 0 8 (2x – 3y + 7)(3x + 2y – 1) = 0 nhận x = -3 làm nghiệm nên ta có: [2(–3) – 3y + 7][3(-3) + 2y – 1] = 0

(-6 – 3y + 7)(-9 + 2y – 1) = 0 (1 – 3y)(2y – 10) = 0 = 1 – 3y = 0 hoặc 2y – 10 = 0 • 1 – 3y = 0 =y=

1

• 2y – 10 = 0 y = 5 Vậy phương trình (2x – 3y + 7)(3x + 2y – 1) = 0 nhận x = -3 làm nghiệm thì y = ; hoặc y = 5.

1. Phương trình f(x; y) = 0 + (2x – 3y + 7)3x + 2y – 1) = 0 nhận y = 2 làm nghiệm nên ta có:

(2x – 3.2 + 7)(3x + 2.2 – 1) = 0 (2x – 6 + 7)(3x + 4 – 1) = 0 Ø (2x + 1)(3x + 3) = 0 2x + 1 = 0 hoặc 3x + 3 = 0

• 2x + 1 = 0 x=-

X

• 3x + 3 = 0

X =

| Vậy phương trình (2x – 3y + 7x3x + 2y – 1) = 0 nhận y = 2 làm nghiệm thì x = 1 hoặc y = -1.