|1| Biểu thức hữu tỉ • Một biểu thức chỉ chứa các phép cộng, trừ, nhân, chia và chưa biết ở |

mẫu được gọi là biểu thức phân. • Một đa thức còn gọi là biểu thức nguyên.

• Biểu thức phân và biểu thức nguyên được gọi chung là biểu thức hữu tỉ |2| Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức

Sử dụng các phép cộng, trừ, nhân, chia các phân thức, ta có thể biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành phân thức.

| Giá trị của biểu thức phân Khi là tính trên các phân thức ta chỉ việc thực hiện theo các qui tắc của các phép toán, không cần quan tâm đến giá trị của biển. Nhưng khi làm những bài toán liên quan đến giá trị của phân thức thì trước hết phải tìm ĐIỀU KIỆN của biến để giá trị tương ứng của MẪU THỨC KHÁC 0. Đó chính là điều kiện để giá trị của phân thức được xác định. Vì vậy, đối với các biểu thức phân thì biến chỉ được nhân các giá trị sao cho giá trị tương ứng của mẫu khác (0.

BÀI TẬP Bài 46. Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số

a)

A = –

b)

B = —

X+1 x2 – 2

GIẢI

1+1

X+1

a)

A = —

X

–

=

–

x+1

X

—

—

X X-1

—

–

——

X + 1 X-1

–

Vậy A = ^-^

X-1

x-1

X

+

i 2 x + 1-2 1

X-1 b) B- ___X + 1 = __ X+1 __ a _ X+1_

x” – 2 x? – 1 – x2 + 2 1 xo-1

(x + 1)(x – 1) X-1 (x + 1)(x – 1)

Vậy B = (x – 1) X+1 1 Bài 47. Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi phân thức sau được xác định ?

5x 2x + 4

GIẢI 5x — xác định <= 2x + 4 + 0 + x + – 2 2x + 4

b)

X-1

— – xác định x − 1 + 0 = (x + 1)(x – 1) + 0 x?-1

x + 1 + 0 x = -1

x-170 X1 Bài 48. Cho phân thức A = *

x” + 4x + 4

X + 2 a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức A được xác định. b) Rút gọn phân thức A. c) Tìm giá trị của x để phân thức A = 1. d) Có giá trị nào của x để giá trị của phân thức A = 0 hay không ?

GIẢI a) Giá trị của phân thức A xác định + x + 2 + 2 + x – 2 b) Rút gọn A, A X + 4x + 4 (x + 2)

– = x + 2 (với x = – 2)

X+ 2 X+2 c) Tìm x khi A = 1. Từ kết quả câu b, ta có x + 2 = 1 + x = -1

Vậy khi x = – 1 thì A = 1 thỏa mãn x – 2. d) Khi A = 0, từ kết quả câu b, ta có x + 2 = 0 = x = – 2 (không thỏa

nàn điều kiện x + – 2). Vậy không có giá trị nào của x để giá trị của A bằng 0.

Bài 49. Đố. Đố em tìm được một phân thức (một biến x) mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của x khác các ước của 2.

GIAI Ta biết rằng ước của 2 gồm các số – 2 ; – 1; 1; 2. Giá trị xác định của các phân thức cần tìm là với mọi giá trị của x khác – 2 ;-1;1; 2 hay x + – 2 ; x = -1;x+1; X = 2.

k Vậy ta có thể chọn phân thức …

(x – 2)(x – 1)(x + 1)(x + 2) (trong đó k là một hằng số) Bài 50. Thực hiện các phép tính ( x )

3×2) a) A = — +1 : 1 – –

1. b) B = 1-x2)

X – 1 x + 1 GIẢI

3x? ) ( x + x + 1 (1-x2 – 3x a) A = – – +11:11 (x+1 1 – x? 1 X+1

1 — X? 2x +1 (1+x)(1-x) 1- x *x+1(+ 2x)(1 – 2x) 1-2x: 1 – 2x 1 1

1 1 b) B = (x X-1 X+1

(X-1 X+1 X+ 1 – X+1-x +1)

+ = 3 – x^. Vậy B = 3 – x^

x2-1 Bài 51. Làm các phép tính sau

x

+

1

–

–

–

2

1. b) B=(x2-1)(3+1 x +1 -1)=(x2 – 1)(x + 1 x 1) | = (x – 1) * 1 x = 3 x . Vậy B = 3 –

B

=

(x

+ 4x + 4

x2 – 4x + 4 ) ( x + 2

x – 2)

GIÁL

(x3 + y3 ) (x2 – xy + y2

a)

A=1

— = x + y

Vậy A = x + y

_(x + y)(x2 – xy + y). xy2

xy? (x2 – xy + y?) b) B-

61 –

(x2 + 4x +4 x2 – 4x + 4) (x + 2 X-2)

1 1 x-2+x+2)-[(x – 2)? – (x + 2)”| [(x + 2)(x – 2) “Tx + 2)2 (x – 2) [(x+2)(x – 2) (x + 2) + (x 2) 1 2x x2 – 4x + 4 – x – 4x – 4 – 8x

Vậy B – – (x + 2)(x – 2). 2x x2 – 4).2x x? – 4

x2 – 4

Bài 52. Chứng tỏ rằng với x = 0 và x + + a (a là một số nguyên), giá trị của

x? + a2 / 2a 4a ) biểu thức A = a — —

– là một số chẵn. X + a x X-a

GIẢI Với x = 0 và x + f a, ta có :

1 x2 +a? 2a 4a ) ax + a? – x- a2ax – 2a- 4ax A = a – X + a IX X – a)

x(x – a)

х

+

а

fax–2ax – 2a”) -2ax (a – x)(a + x) 2ax(x — a)(x + a) = 2a

x(x + a)(x -a) x(x + a)(x -a) x(x + a)(x – a) Vậy A = 2a là số chẵn vì a là số nguyên (đpcm) Bài 53. a) Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số

1+

1

+

– m

i

1 + ——–

X

1. b) Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức sau đây

thành phân thức đại số và kiểm tra lại dự đoán dó.

1+

1

GIẢI

a)

1 1 + –

x + 1 = — —

X+1 + x

2x + 1

r == 1 +

1

— x +1

=

1+

X —- X + 1

X + 1

X +1

1+

1 . X

X+1 2x + 1

2x + 1 + x +1

2x + 1

—

–

–

–

–

=l+

–

3x + 2 2x + 1

2x + 1

1+

: 1+..

X + 1

1. b) • Dự đoán: Từ kết quả của ba phép biến đổi ở câu a, ta thấy

Mỗi kết quả tiếp theo sau là một phân thức có : – Từ thức bằng tổng của tử và mẫu thức của phân thức trước có.

– Mẫu thức là từ thức của phân thức trước nó. Như vậy biểu thức đã cho sẽ có kết quả là

8x + 5

5x + 3′ • Thật vậy, ta biến đổi biểu thức đã cho từ dưới lên.

3x + 2 2x + 1

Ta đã có 1 +–

1 + —

(cmt)

1+1

1

=l+–

1

8x + 5 5x + 3

1

17

Do đó 1+——–

1 + —— 1+ …

| 1

1+

+

5x + 3 3x + 2

3x + 2

(câu a) (2x + 1

N

1 +

X Vậy kết quả này đúng như dự đoán nêu trên. Bài 54. Tìm các giá trị của x để giá trị của các phân thức sau được xác định.

3x + 2 2×2 – 6x

1. b) 2

GIẢI

3x + 2 a) Giá trị của co – được xác định 2×2 – 6x

(2x + 0 2×2 – 6x + ( 2x(x – 3) 600

x – 3+0

–

1x

F S

2 –

3

X

+

1. b) Giá trị của x được xác định

1x – 13+ 0 (x+ 13 x2 – 370

70. X + -13 Bài 55. Cho phân thức A = 1

* x2 + 2x + 1

82-1 a) Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức A được xác định. b) Chứng tỏ phân thức rút gọn của A là :

X-1 c) Để tính giá trị của phân thức A tại x = 2 và tại x = – 1.

Bạn Thắng đã làm như sau : – Với x = 2 phân thức A có giá trị là ý

T

2 2-1

=3;

– Với x = – 1 phân thức A có giá trị là 1 = 0 Em có đồng ý không ? Nếu không, em hãy chỉ ra chỗ mà em cho là sai. Theo em, với những giá trị nào của biến thì có thể tính được giá trị của phân thức A bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn ?

GIẢI a) Giá trị của A = x ^**’ được xác định

x-1+0

x +1

2×2-1+0 = (x – 1)(x+1)+0 –

*

O

X

1

(X+1 +

x2 + 2x +1 (x + 1) x+1 b) Rút gọn A = * *

(với x 4 + 1) x2 – 1 (x + 1)(x – 1) X-1 c) – Với x = 2 thỏa mãn điều kiện x + + 1 thì phân thức A được xác

định, nên bạn Thắng thay x = 2 vào biểu thức thu gọn của A để

tính và kết quả bằng 3 là đúng. – Với x = – 1 không thỏa mãn điều kiện xác định x + + 1 thì phân

thức A không được xác định, do đó không thể tính được giá trị của A tại x = – 1. Như vậy bạn Thắng vẫn tính được giá trị của A = 0

tại x = – 1 là sai. – Tóm lại, ta chỉ có thể tính được giá trị của phân thức A với mọi giá | trị của x < R khác + 1 bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọil.

3×2 + 6x + 12 Bài 56. Cho phân thức P = =

X3-8 a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của P được xác định ? b) Rút gọn P.

GIẢI

3×2 + 6x + 12 a) Giá trị của P ==

= được xác định

,

x3 – 8 => x = 8 + 0 = x3 – 2 + 0 = (x – 2)(x2 – 2x + 4) + 0 +(x – 2)(x2 – 2x +1 + 3) + 0 =>(x – 2)[(x – 1)2 + 3] + 0 6x-270 X + 2 Do (x – 1)^ +323. Vậy P được xác định + x + 2.

3x+ + 6x+12 3(x+ + 2x + 4) 3 b) Rút gọn P = 2

. Vậy P = – 73 -8 (x – 2)(x2 + 2x + 4) X-2***

X – 2