I Khái niệm về phân thức đại số và tính chất của phân thức đại số 1) Phân thức đại số là biểu thức có dạng 3 với A, B là những đa

thức và B khác đa thức 0. 2) Hai phân thức bằng nhau nếu AD = BC

A A.M 3) Tính chất cơ bản của phân thức : Nếu M + ) t

в В. М II Các phép toán trên tập hợp các phân thức đại số 1) Phép cộng a) Cộng hai phân thức cùng mẫu thức A

A B A + B

м мм b) Cộng hai phân thức khác nẫu thức

– Quy đồng mẫu thức (MTC).

– Cộng hai phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. 2) Phép trừ a) Phân thức đối của A ký hiệu bởi – A

A A A

BB – В А с A 1 C) B DB

A C.A.C

B

—

=

–

3) Phép nhân

BD B.D

4) Phép chia

1. a) Phân thức nghịch đảo của khác 0 là : h AC A D (Col B.DB.CD

CÂU HỎI 1) Định nghĩa phân thức đại số. Một đa thức có phải là phân thức đại số không ? Một số thực bất kỳ có phải là một phân thức đại số không ?

TRẢ LỜI Định nghĩa Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng 1 trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0. A được gọi là tử thức, B được gọi là mẫu thức. * Một đa thức cũng được coi là một phân thức đại số với nhẫu thức là 1. * Một số thực a bất kỳ cũng được coi là một phân thức đại số.\

2) Định nghĩa hai phân thức đại số bằng nhau.

TRẢ LỜI Hai phân thức đại số nếu AD = B.C 3) Phát biểu tính chất cơ bản của phân thức đại số.

TRẢ LỜI * Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho : . A A.M

= (M là một đa thức khác đa thức 0)

в В. м – * Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho : Α Α: Ν

(N là một nhân tử chung của A và B) BB:N 4) Nêu qui tắc rút gọn một phân thức đại số

8x – 4 Hãy rút gọn phân thức –

8x* – 1

| TRẢ LỜI * Qui tắc Muốn rút gọn một phân thức, ta có thể :

– Phân tích từ và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung. – Chia tử và mẫu cho nhân tư chung.

8x -4 4(2x-1) 4(2x – 1) * Rút gọn

8x” – 1 (2x) – 13 (2x – 1)(4×2 + 2x + 1) 4×2 + 2x + 1 5) Muốn quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức có mẫu thức khác nhau

ta làm như thế nào ? Hãy quy đồng mẫu thức của hai phân thức –

x + 2x + 1 5×2 – 5

TRẢ LỜI * Muốn quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức ta làm như sau :

– Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung. – Tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức.

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng. Quy đồng mẫu thức của 3 : 3

4

х

3

Ta có –

Net

x2 + 2x +1 (x + 1125×2 – 5

5(x + 1)(x – 1) MTC 5(x + 1) (x – 1) Nhân tử phụ của phân thức thứ nhất là 5(x – 1) Suy ra x – 5x(x – 1)

(x + 1)2 (x + 1)*(x – 1) Nhận tư phụ của phân thức thứ hai là (x + 1)

—-

3(x + 1) ^ 5(x + 1)(x – 1) 5(x + 1)(x – 1) 6) Phát biểu quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức, cộng hai phân

3x X-1 thức khác mẫu thức. Làm tính cộng *, +^ .

x-1 x2 + x + 1

TRẢ LỜI Quy tắc a) Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các từ thức với

nhau và giữ nguyên mẫu thức. b) Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta qui đồng

mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tình được. Cộng hai phân thức 3x x -1

3x

X-1 33-1×2 + x +1 (x-1)(x + x + 1) x + x + 1

*

3x + (x – 1)(x-1) MTC = (x – 1)(x? + x + 1) = x – 1 = =

3x + x – 1

(x – 1)(x2 + x + 1) x – 1 7) Hai phân thức như thế nào được gọi là hai phân thức đối nhau ? Tìm phân thức đối của phân thức :

5 – 2x

TRẢ LỜI * Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng (0. * Phân thức đối của *-* là – X-

5 – 2x 5 – 2x 8) Phát biểu qui tắc trừ hai phân thức đại số

TRẢ LỜI

Quy tắc: Muốn trừ phân thức , cho phân thức

, ta cộng 3 với phân

thức đối của

А с A ( (

BD BD 9) Phát biểu quy tắc nhân hai phân thức đại số.

TRẢ LỜI Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau và nhân các mẫu thức với nhau.

AC A.C BDB.D

10) Cho phân thức – khác 0, viết phân thức nghịch đảo của nó.

TRẢ LỜI 2 là phân thức nghịch đảo của phân thức :

11) Phát biểu quy tắc chia hai phân thức đại số.

TRẢ LỜI

Quy tắc: Muốn chia phân thức đ cho phân thức S khác 0, ta nhân

CA.C_AD – CÁC D BD B C “

với phân thức nghịch đảo của

=

#0)

12) Giả sử ^^! là một phân thức của biến x. Hãy nêu điều kiện của biến

B(x) để giá trị của phân thức được xác định.

TRẢ LỜI Giá trị của phân thức

thite A(x)

được xác định » B(x) + 0.

B(x)

2

1 M

X + 4

B =

Vậy để giá trị của một phân thức được xác định khi và chỉ khi mẫu thức của phân thức đó khác 0.

BÀI TẬP Bài 57. Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau 13 3x + 6

2×2 + 6x a) A = -_ – và B = –

1. b) M = – – và N = — 2x – 3 2×2 + x – 6

x3 + 7×2 + 12x

GIẢI a) * Cách 1: Theo định nghĩa phân thức bằng nhau, ta có :

• 3(2×2 + x – 6) = 6×2 + 3x – 18 • (3x + 6)(2x – 3) = 6×2 – 9x + 12x – 18 = 6×2 + 3x – 18 (2) (1) và (2) = 3(2x^ + x – 6) = (3x + 6)(2x – 3). Vậy A = B. * Cách 2: Ta rút gọn phân thức B rồi so sánh với phân thức A

3x +

6 3 (x+2) 3

2x^ + x – 6 (2x – 3)(x-2) 2,9 = A. Vậy A = B b) + Cách 1: Theo định nghĩa phân thức bằng nhau, ta có :

• 2(x + 7x + 12x) = 2x + 14x? + 24x (1) • (x + 4)(2×2 + 6x) = 2x + 14×2 + 24x (2) Từ (1) và (2)= 2(x^ + 7x^ + 12x) = (x + 4)(2x + 6x). Vậy M = N. * Cách 2: Ta rút gọn phân thức N rồi so sánh với phân thức M

2×2 +6x 2x(x + 3) 2x(x + 3) 2

x + 7×2 + 12x x(x2 + 7x +12) x(x + 4)(x+3) X+4

Vậy M = N Lưu ý khi sử dụng phép biến đổi phân thức thì nên biến đổi phân thức có

tử và mẫu phức tạp hơn, rút gọn đưa về phân thức đơn giản. Bài 58. Thực hiện các phép tính sau (2x +1 2x – 1) 4x

1 2-x) (1 al A = (2x – 1 2x + 1) : 10x – 5

(x + X X+1} (x 1 x – x 1 X-1 x? +1°x2 – 2x + 1 ‘ 1-x

–

=

–

–

M

b)

B

= 1 –

—

——–

1:1

+

X

–

2

GIẢI

w a “?“

(2x +1 2x-1). 4x (2x + 1)” – (2x – 1)”. 18 (2x – 1 2x + 1) 10x – 5 (2x – 1)(2x +1) 95(2x — 1) 4×2 + 4x + 1 – 4×2 + 4x – 1 5(2x – 1) 40x (2x – 1) (2x – 1)(2x + 1)

4x(2x – 1)(2x + 1)

10 2x + 1

4x

10

29 4 –

2x + 1

hB=12X X t

» B=(

2.) * x-2)-[atki: 1) ***] (******

+

x

–

2

–

–.

1:

–

—

……—–

—

—

—

–

–

x-1

x2 +1

‘(x – 1)” (x +1) X

C

= –

1 2 – X) (1

2-X (1+x2 2x — : – (x2 + x + 1) (x

x(x + 1) X+1 1-(2-x).x X 1-2x + x2 X

5 = * ,Vậy B – – – x(x + 1) 1 – 2x + x x(x + 1) 1-2x + x* x + 1 * 1 X3 — X1 1

1 c) C – ——–

x-1 x2 +1 (x2 – 2x +1 1-x2) 1 x(x2-1) 1

1 1 x(x – 1) (x + 1) – (x – 1) x-1 X2 +1 (x – 1)2 (x-1(x+1) X-1 x + 1 (x-1)-(x + 1) 1 x(x + 1)(x – 1)

1 2x

x-1 (x2 + 1)(x – 1) x2 + 1 – 2x (x – 1)2 x 1

(x2 + 1)(x-1) (x2 + 1)(x – 1) x2 +1 Bài 59.

xPyP a) Cho biểu thức A = 4

– Thay P = ^, rồi rút gọn biểu thức. X+ P y-p’

2xy – 2xy b) Cho biểu thức B =**P? – Q2 • Thay PN-yil x + y2 ot

5 , rồi rút gọn biểu thức.

GIẢI a) Thay P = ^_ vào biểu thức đã cho, ta có: X-Y

xạy X. A = –

X-y

X-y ху х* – xy + xу ху x-y X-y X-y X-y Vậy A = x + y. . b) Thay P =

5 vào biểu thức đã cho, ta có:

XY

P202

XV

X-

Yix-

Xy Xy

= 2

ta

12 – Y+x

X

+

–

2xy

2xy

x2 – y2

xo + v2 vào biểu

//

PP-Q? ( 2xy

_| 2xy

((x2 – y2)(x + y)) 4x?y? (x2 + y2)2 – 4x?y? (x2 – y2)2

(x2 – y2)*(x + y/

4x’y

2,2

(x+ – y^) 4x’y|(x2 + y2)* — (x2 – y2)] 4x’y

4X Y 55 –

= 1.Vậy B = 1

–

–

—

P

=

x+1 3 X +3 4×2 – 4 Bài 60. Cho biểu thức P = |

(2x – 2′ x – 1 2x + 2) 5 a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định. b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

GIẢI a) Từ thừa số thứ nhất của P, ta có:

2x – 2 = 2(x – 1) x – 1 = (x + 1)(x-1) >MTC = 2(x + 1)(x – 1) 2x + 2 = 2(x + 1) Vậy điều kiện của x để giá trị của biểu thức P được xác định

2(x – 1) + x +11 b) Rút gọn P .

(x+1 3 X+3) 4×2 – 4

( 2x — 2 x2 -1 2x + 2) 5 ( x+1 3 x + 3 ) 4(x2 – 1)

2(x – 1) (x + 1)(x – 1) 2(x + 1)) 5 (x + 1)(x + 1) + 6 -(x+3)(x – 1) 4(x2 – 1) 2(x – 1)

5 x2 + 2x + 1 + 6 – x2 + x – 3x +3 4(x2 – 1) 10 4(x2 – 1) 2(x2 – 1)

5 26×2 – 1) 5 Vậy P = 4 không phụ thuộc vào giá trị của đ. Bài 61. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức | 5x + 2 5x – 2) x2 – 100

2 được xác định. x- 10x x + 10x) x2 + 4 Tính giá trị của biểu thức với x = 20040.

GIẢI Điều kiện để giá trị của biểu thức Q được xác định : e x – 10x + 0 = x(x – 10) + 0 = X = 0 và x + 10 e x2 + 10x + 0 = x(x +10) + 0 = x + 0 và x + – 10

x + 4 = 0 với mọi x < R. * Ta biến đổi để rút gọn phân thức Q

( 5x + 2 5x – 2 ) x2 – 100 KMTC của thừa thứ nhất là : (x2 – 10x x2 + 10x) x2 + 4 x(x – 10)(x + 10)

(5x + 2)(x + 10) + (5x – 2)(x – 10) x? – 100 x(x2 – 100)

x2 +4 5×2 + 2x + 50x + 20+ 5×2 – 2x — 50x + 20 x2 – 100

x(x2 – 100) 10x+40 10(x2+4) 10

x(x2 + 4) x(x + 4) X Vì x = 20040 thỏa mãn điều kiện xác định giá trị của biểu thức nên ta có thể thế giá trị của x vào phân thức Q đã thu gọn.

10 10 Ta có Q = 0 =

x 20040 2004 Bài 62. Tìm giá trị của x để

*} – 3×2 + 2x – 6 a) Giá trị của phân thức A = 1

2 bằng 1. ** 2×3 + x2 + 4x + 2

x2 – 10x + 25 bằng 0.

1. b) Giá trị của phân thức B = 2

x? – 5x

GIẢI a) Điều kiện để giá trị của phân thức A được xác định

2×3 + x2 + 4x + 2 + 0 x2(2x + 1) + 2(2x + 1) + 0

2x + 1 + 0 X# – (2x + 1)(x + 2) + 0

(x2 + 2 > 0 VX Vậy A được xác định < x + 4 Rút gọn phân thức A. w x3 – 3×2 + 2x -6_x? (x – 3) + 2(x – 3) (x2 + 2)(x-3) * 2×3 + x2 + 4x + 2 (2x + 1)(x2 + 2) (x + 2)(2x + 1)

– X -3 Với A = 1, ta có “ = 1 + x – 3 = 2x + 1 + x = 4

2x + 1

A

=

X-3 2x +1

Vậy với x = 4 4 -4 thì giá trị của phân thức A được xác định và giá

2

trị của nó bằng 1. b) Điều kiện để giá trị của phân thức B được xác định

x=0 E x? – 5x + x(x – 5) = 0 {“

*

x2 – 10x + 25 Rút gọn phân thức B: B –^.

x? – 5x

(x – 5) X(X – 5)

x-5

x

Với B = 0, ta có ^

= 0

=

x = 5

Giá trị x = 5 làm cho giá trị của phân thức B không xác định. ‘ậy không có gia trị nào của x để cho phân thức B có giá trị tung 3.

1. a) 3x – 4x + 1

X-3

Bài 63. Viết mỗi phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức có bậc thấp hơn bậc của mẫu thức

h 2x® + 3×2 — x + 2 x2 + x + 2

GIẢI a) Ta thực hiện phép chia tử cho mẫu 3x – 4x + 1

x + x + 2 3x + 3×2 + 6x

3 x – 3 – 3x? – 10x + 1 – 3×2 – 3x – 6

– 7x + 7 thương là 3x – 3 và dư là – 7x + 7. VA. 3x – 4x +1

= 3x – 3+

2 – 7x + 7 *2 + x + 2 2×3 + 3x – x + 2

X – 3 2×2 – 6×2

2x + 9x + 26 9x – x 9x” – 27x

26x + 2 26x – 78

b)

80

80

thương là 2x + 9x + 2 và dư là 80 2×3 + 3x? – x + 2 – 2×2 + 9x + 26 + X-3

X-3 Bài 64. a) Tính giá trị của phân thức a) trong bài tập 62 với x = 0,15 và lấy

kết quả chính xác đến 0,01. b) Tính giá trị của phân thức b) trong bài tập 62 với x = 1,12 và lấy kết quả chính xác đến 0,001.

GIẢI a) x = 0,15 + – 0,5 (thích hợp, tức là giá trị của A được xác định), từ kết quả thu gọn của A trong bài tập 62, ta có X-3 0,15 – 3

!= -2, 19230… 2 – 2,19 2x +1 0,3+1 | b) x = 1,12 + 0 và 5 (thích hợp, tức là giá trị của B được xác định), từ kết quả thu gọn của B trong bài tập 62, ta có X -5 1,12-5

– = -3,46428.., 2 -3,464 x 1.12