1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa | Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm 0 cố định một khoảng không đổi r (r> 0) được gọi là một mặt cầu tâm O bán kính r.

S(O; r) ={MIOM=r}. – Đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên mặt cầu được gọi là dây cung của

mặt cầu.

– Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính. – Cho mặt cầu S(O; ) và điểm A trong không gian: + Nếu OA = r thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu. + Nếu OA <r thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu. + Nếu OA >r thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu.

Tập hợp các điểm nằm trên mặt cầu S(O; r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính r.

2. Tính chất

– Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) thì:

– Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu. – Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.

– Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặí cầu. 3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng

| Cho mặt cầu S(O; r) tâm O bán kính r và mặt phẳng (P). H là hình chiếu vuông góc của 0 lên mặt phẳng (P). Khi đó h = 0H là khoảng cách từ 0 đến mặt phẳng (P).

– Nếu h = r thì (P) tiếp xúc với mặt cầu. – Nếu hồr thì (P) không có điểm chung với mặt cầu.

– Nếu h <r thì (P) giao với mặt cầu S(O; r) theo một đường tròn tâm H, bán kính r = Vr – h” nằm trong mặt phẳng (P).

– Nếu h = 0 thì H = 0, (P) giao với mặt cầu SC; ) là đường tròn tâm 0 bán kính r. Đường tròn này gọi là đường tròn lớn.

Chu ý:

Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính của mặt cầu tại H. 4. Giao của mặt cầu và đường thẳng .

Cho mặt cầu S(O; r) và đường thẳng d. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ 0 lên d. Đặt h = OH thì khi đó:

– Nếu h = thì đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu tại H. H được gọi là tiếp điểm còn đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.

– Nếu hồr thì đường thẳng d không cắt mặt cầu. – Nếu h<r thì đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm A, B mà độ dài

AB = 2Vr? – h. Chú ý: | Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu S(O; I) tại điểm H là d vuông góc với bán kính OH tại điểm H. 5. Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

– Diện tích của mặt cầu bán kính r là: S= 4 (đvdt)

– Thể tích của khối cầu bán kính r là: V =. =ar (đvtt)

1. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK) Bài 1 (Trang 49, SGK)

| Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vì tâm giác AMB vuông tại M nên trung tuyến MO bằng nửa cạnh huyền. MO= AB =r.

2

2

Vậy tập hợp các điểm M nhìn AB dưới một góc vuông nằm trên mặt cầu đường kính AB. Ngược lại, lấy M thuộc mặt cầu đường kính AB. Khi đó thì MO = AB. Do đó nếu M khác A và B thì tam giác AMB vuông tại M, còn khi M = A hoặc M=B thì cũng coi như M nhìn AB dưới một góc vuông.

Kết luận: Tập hợp các điểm M trong không gian nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính AB. Bài 2 (Trang 49, SGK)

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông và chân đường cao của S.ABCD trùng với tâm I của ABCD. Do đó SII (ABCD).

Xét tam giác vuông SAI, ta có: A1 = LAC = ay SI = VSA?- AP = av? → IS = IA = 1B = IC = ID=av2 → IS = IA = IB = IC =

E Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I là tâm hình vuông đáy ABCD

và bán kính r =

Bài 3 (Trang 49, SGK)

Phần thuận:

Gọi đường tròn (C), tâm I là đường tròn cố định cho trước. Trên (C) ta lấy ba điểm A, B, C. Mặt cầu tâm O bán kính r qua (C) khi và chỉ khi OA = OB = OC hay tâm O của mặt cầu nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

M

Trục này là đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (C) tại tâm I của đường tròn (C).

Phần đảo:

Ngược lại, nếu ta lấy một điểm 0 bất kì trên trục d thì với mọi điểm M bất kì trên đường tròn (C) tâm I bán kính r cho trước, ta đều có A = độ dài của đoạn thẳng OM = NoI + IM? =ƯT + (r) luôn không đổi. Như vậy đường tròn (C) luôn luôn thuộc mặt cầu có tâm 0′ nằm trên trục d.

Kết luận:

Tập hợp tấm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn cho trước trên tại tâm của đường tròn đó. Bài 4 (Trang 49, SGK).

Giả sử mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lần lượt tại A, B, C. Gọi I là hình chiếu của tâm 0 trên mặt phẳng (ABC).

Vì BC l OA’ nên BC l (DIA). Do đó A – BC 1 IA’.

| Chứng minh tương tự ta có: IB 1 AC, IC’1 AB.

Vì OA^ = OB = OC = r nên IA’ = IB = IC = r không đổi (vì r’ = Vr? -01?). . Từ đó suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Vậy tâm 0 của mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC luôn luôn thuộc trục d của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng d này vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm I của đường tròn nội tiếp nói trên.

Ngược lại, lấy điểm O thuộc trục d của đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì ta có IA’ = IB = AC. Từ đó suy ra OA^ = OB = OC = r không đổi. Do đó mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC. .

Vậy tập hợp tâm những mặt cầu cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước là trục của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.

Bài 5 (Trang 49, SGK)

1. a) Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đã cho. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu S(O; r) theo một đường tròn tâm I, là hình chiếu vuông góc M của 0 lên mặt phẳng (P).

Xét hai tam giác MAD và MCB có B = D, M chung nên hai tam giác trên đồng dạng với nhau.

.

MÀ _MD = MA.MB = MC.MD.

MC MB b) Đặt MO = d. Ta có OI ! (P). MO? = MI? +01?; OA = Al +012. Hạ IHI AB. Khi đó thì H là trung điểm của AB. Ta có: MA = MH – HA; MB = MH + HB = MH+HA.

MA.MB = (MH – HA).( MH+HA)= MH – HA? =(MH2 + IH”) – (HA’ + IH2) = MI? – IA’ =(MI’ +01°)-(IA’+O1″) = MO? – OA’ = d –r?. Vậy MA.MB =do-r. Chú ý:

Có thể áp dụng kiến thức về phương tích của một điểm đối với một đường tròn. Ta có thể áp dụng để tìm ra kết quả ngắn gọn hơn theo cách sau:

Xét mặt phẳng (P) qua A, B và tâm O của mặt cầu; (P) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn (C) bán kính r. Khi đó:

MA.MB = PMmc) = MO? – r’ = d? – r. Bài 6 (Trang 49, SGK)

| Mặt phẳng (IAM) cắt mặt cầu cho trước theo một đường nhận AM và AI làm hai tiếp tuyến.

Ta có: AM = AI. Chứng minh tương tự ta có BM = BI. Xét hai tam giác AMB và AIB ta có: AM = AI; BM = BI; AB là cạnh chung. Do đó AAMB bằng nhau AAIB (ccc) Vậy AMB = AIB.

Bài 7 (Trang 49, SGK)

1. a) Trong hình hộp chữ nhật, bốn đường chéo AC, BD, CA và DB cắt nhau tại điểm I là trung điểm của mỗi đường.

Vì bốn đường chéo trong hình hộp chữ nhật bằng nhau nên điểm I cách đều tám đỉnh của hình hộp chữ nhật.

| Suy ra 1 là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật.

AA’ = a, AB = b, AD = c, nên bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp là:

R=LAC=5Va+bP+c?.

1. b) Giao tuyến của (ABCD) với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D là đường tròn ngoại tiếp chữ nhật ABCD.

Bán kính của đường tròn giao tuyến là: r =

Bài 8 (Trang 49, SGK)

Giả sử ta có mặt cầu (C) tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA, AC, BD của tứ diện ABCD theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q, R, S. Ta có:

AM = AR = AQ; BM = BN = BS; CN = CP = CR; DP = DQ = DS; – AM+MB+CP+PD= AQ+BN+CN+DO B = AR + BS + CR + SD = AB + CD = AD + CB = AC + BD

Khi đó tổng các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau (đpcm). Bài 9 (Trang 49, SGK)

| Gọi (c) là mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng a tại I.

Khi đó mặt cầu tâm O bán kính OA cắt mặt phẳng (d) theo một đường tròn tâm I bán kính IA không thay đổi.

Vậy các mặt cầu tâm O bán kính r = OA luôn luôn đi qua đường tròn cố định tâm I bán kính r = IA không đổi.

Bài 10 (Trang 49, SGK)

Gọi I là tâm cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S.ABC. Hạ IJI (SAB), vì I cách đều ba điểm S, A, B nên J cũng cách đều ba điểm S, A, B. Mà tam giác SAB vuông tại đỉnh S nên J là trung điểm của đoạn AB. Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.

su=– AB=_va? +B?.

2

Vì SC 1 (SAB) nên IJ || SC. Gọi trung điểm của SC là H.

S

Khi đó ta có SH =IJ =

c.

2

3

Do đó, IS = IJ +SJ = (a +b^ +c). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC là:

r = IS == V(a? +62 +c?). Diện tích mặt cầu là: S= 4Tr = (a* +bo+c^) (đvdt). Thể tích khối cầu là: V = r = (a + b + c ) = (a + b + c a + b^ + (đvt). Chú ý:

Ta có thể nhận xét rằng, hình cầu ngoại tiếp chóp tam giác S.ABC cũng là hình cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật dựng trên các cạnh SA = a, SB = b, SC = c. Do đó đường kính của hình cầu là d= (a +b+c, bán kính sakva? + b +c?. Từ đó dễ dàng tính được diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.