A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Mặt nón tròn xoay

– Định nghĩa

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và A cắt nhau tại O và tạo thành góc β không đổi với 0° ≤ β ≤ 90°. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh 4 thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (gọi tắt là mặt nón).

Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó.

– Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay

Cho mặt nón tròn xoay đỉnh O, trục A. (P) là mặt phẳng vuông góc với A và cắt A tại I; (B) là hình tròn tâm I nằm trong (P) giới hạn bởi mặt nón. Khi đó phần mặt nón giới hạn bởi điểm O và mặt phẳng (P), kể cả hình tròn (B) được gọi là hình nón tròn xoay, đỉnh O, đáy (B) và chiều cao OI.

Nói cách khác, nếu ta lấy điểm M nằm trên đường tròn đáy thì tam giác IOM vuông tại I. Ta quay đường gấp khúc IMO quanh đường thẳng OI, ta có mặt tròn xoay được gọi là hình nón tròn xoay. Điểm 0 gọi là đỉnh, OI là đường cao, OM là đường sinh. Mặt tròn xoay do đoạn thẳng OM khi quay tạo nên được gọi là mặt xung quanh của hình nón. Hình nón tròn xoay chia không gian thành hai phần. Phần chứa được cả một đường thẳng gọi là miền ngoài của hình nón.

Phần còn lại được gọi là miền trong. Miền trong cùng với hình nón tròn xoay được gọi là khối nón tròn xoay.

– Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay

Gọi Sxq, Stp là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng r và độ dài đường sinh bằng l.

Khi đó, ta có công thức tính diện tích xung quanh như sau:

Sxq = πrl (đơn vị diện tích – dvdt)

Diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy của hình nón đó:

Sφ = Sxq +Sđáy = πr(1 +r) (đvdt)

– Thể tích khối nón tròn xoay

Khối nón tròn xoay có chiều cao h và có diện tích đáy là Sđáy thì thể tích là:

v=1/3 h.Sđáy = 1/3πr²h (đơn vị thể tích – đvtt)

2. Mặt trụ tròn xoay

– Định nghĩa

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng Δ và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. Người ta thường gọi ngắn gọn mặt trụ tròn xoay là mặt trụ. Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng l gọi là đường sinh còn r là bán kính của mặt trụ đó.

– Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay

Cho hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình chữ nhật đó xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, ví dụ cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay (còn được gọi ngắn gọn là hình trụ).

Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ tạo ra hai hình tròn bằng nhau được gọi là hai đáy của hình trụ, còn cạnh CD gọi là độ dài đường sinh tạo ra mặt xung quanh của hình trụ. Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ.

Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó. Khối trụ tròn xoay còn được gọi ngắn gọn là khối trụ. Ta gọi mặt đáy, chiều cao, đường sinh của khối trụ lần lượt là mặt đáy, chiều cao, đường sinh của hình trụ tương ứng làm giới hạn cho khối trụ đó.

– Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay

Gọi Sxq là diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là r và có đường sinh là l. Khi đó ta có công thức sau:

Sxq = 2πrl (đvdt)

Diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay bằng diện tích xung quanh của hình trụ đó cộng với diện tích hai đáy của hình trụ:

Stp = Sxq + 2Sđ = 2πr(1+r) (đvdt)

– Thể tích khối trụ tròn xoay

Thể tích khối trụ tròn xoay có chiều cao h và có diện tích đáy Sđ là:

V=Sđ.h = πr²h  (đvtt)

Nguồn website giaibai5s.com

  1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Mặt nón tròn xoay

– Định nghĩa | Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và A cắt nhau tại O và tạo thành góc B không đổi với 09 < B < 90°. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh 4 thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh 0 (gọi tắt là mặt nón).

Đường thẳng A gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh và góc 28 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó.

– Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay | Cho mặt nón tròn xoay đỉnh 0, trục A. (P) là mặt phẳng vuông góc với A và cắt A tại I; (B) là hình tròn tâm I năm tro ong (P) giới hạn bởi mặt nón. Khi đó phần mặt nón giới hạn bởi điểm 0 và mặt phẳng (P), kể cả hình tròn (B) được gọi là hình nón tròn xoay, đỉnh O, đáy (B) và chiều cao OI.

| Nói cách khác, nếu ta lấy điểm M nằm trên đường tròn đáy thì tam giác IOM vuông tại I. Ta quay đường gấp khúc IMO quanh đường thẳng OI, ta có mặt tròn xoay được gọi là hình nón tròn xoay. Điểm 0 gọi là đỉnh, OI là đường cao, OM là đường sinh. Mặt tròn xoay do đoạn thẳng OM khi quay tạo nên được gọi là mặt xung quanh của hình nón. Hình nón tròn xoay chia không gian thành hai phần. Phần chứa được cả một đường thẳng gọi là miền ngoài của hình nón.

Phần còn lại được gọi là miền trong. Miền trong cùng với hình nón tròn xoay được gọi là khối nón tròn xoay. – – Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay

Gọi Sxq, Sp là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng r và độ dài đường sinh bằng 1.

Khi đó, ta có công thức tính diện tích xung quanh như sau:

Sxq = TErl. (đơn vị diện tích – dvdt) Diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy của hình nón đó:

| Sp = S +S4y = (1 +r) (4vdt) – Thể tích khối nón tròn xoay Khối nón tròn xoay có chiều cao h và có diện tích đáy là Sđáy thì thể tích là:

v=h. Sa, T rh (đơn vị thể tích – đvt).

3

  1. Mặt trụ tròn xoay

– Định nghĩa

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng A và 1 song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh 4 thì đường thẳng 1 sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. Người ta thường gọi ngắn gọn mặt trụ tròn xoay là mặt trụ. Đường thẳng A gọi là trục, đường thẳng 1 gọi là đường sinh còn r là bán kính của mặt trụ đó.

– Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay | Cho hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình chữ nhật đó xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, ví dụ cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay (còn được gọi ngắn gọn là hình trụ).

  1. Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ tạo ra hai hình tròn bằng nhau được gọi là hai đáy của hình trụ, còn cạnh CD gọi là độ dài đường sinh tạo ra mặt xung quanh của hình trụ. Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ.

| Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó. Khối trụ tròn xoay còn được gọi ngắn gọn là khối trụ. Ta gọi mặt đáy, chiều cao, đường sinh của khối trụ lần lượt là mặt đáy, chiều cao, đường sinh của hình trụ tương ứng làm giới hạn cho khối trụ đó.

– Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay

Gọi Sxq là diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là r và có đường sinh là 1. Khi đó ta có công thức sau:

S = 2ml (đvdt) Diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay bằng diện tích xung quanh của hình trụ đó cộng với diện tích hai đáy của hình trụ:

Sop = Sxg+25, = 2r(1+r) (dvdt) – Thể tích khối trụ tròn xoay Thể tích khối trụ tròn xoay có chiều cao h và có diện tích đáy Sa là:

V=Sg.h = ar’h (đvtt), B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK) Bài 1 (Trang 39, SGK)

Qua tâm O của đường tròn kẻ đường thẳng A sao cho A vuông góc với mặt phẳng (P). Qua M kẻ đường thẳng d sao cho d vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó ta có:

4 || d và khoảng cách giữa A và d luôn bằng bán kính r.

Vậy, các đường thẳng d luôn luôn nằm trên mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng A và có bán kính bằng r. Bài 2 (Trang 39, SGK)

  1. a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường chứa cạnh thứ tư thì ta sẽ được một hình trụ tròn xoay.
  2. b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của nó ta được một hình nón tròn xoay. (Đường cao xuất phát từ đỉnh tam giác).
  3. c) Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của nó khi quay xung quanh một đường thẳng chứa một cạnh góc vuông thì tạo ra một khối nón tròn xoay.
  4. d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của nó khi quay quanh một đường thẳng chứa một cạnh thì tạo ra một khối trụ tròn xoay. Bài 3 (Trang 39, SGK)
  5. a) Đường sinh của hình nón là: 1 = Vh? +r? = V202 +252 = 5/41 (cm) Diện tích xung quanh của hình nón là:

Sxq = trl = 1257/41 (cm2). b) Thể tích của khối nón là: v=rh=125.20=12500% (cm).

  1. c) Giả sử thiết diện cắt hình tròn đáy theo đoạn thẳng AB.

Gọi I là trung điểm đoạn AB, O là đỉnh của hình nón thì thiết diện cần tìm chính là tam giác cân OAB. Hạ HK IOI với H là tâm của đáy.

(AB IH

/ —

-KHB HI

Ta có: AB

TABLOH → AB I (OIH).

OH

> AB I HK. Mà HK 1 OI.

HKI (OAB) và theo giả thiết thì HK = 12 (cm).

Xét tam giác vuông OIH, có HK là đường cao hạ từ đỉnh góc vuông H xuống OI nên ta có:

HKHI? +HO? — 144 Hr? + 400

1 1 1 1 HI – 144 400 – 225

HI = 15 (cm). Xét tam giác vuông AIH, áp dụng định lí Pi-ta-go ta có: AH? = AI? + HI

AI = AH? – HI= 252 -152 = 400 = AI = 20 (cm). Khi đó, ta có thể tích tứ diện OHAB là:

OHAB

AHAB

AOAB

VOHAB = {Sat-OH = Saap. HK. Ma Satae = – HIAB = HI.AI = 300 (cm?).

.

.

AHAB

300.20 Vậy diện tích thiết diện OAB là: SOAP =

AOAB

B =

1

=500 (cm2).

Chú ý: Ta cũng có thể tính OI rồi từ đó tính diện tích tam giác OAB.

Bài 4 (Trang 39, SGK

Xét một vị trí của đường thẳng d, hạ BC | d. Theo gia thiết ta có tàiii Giác ABC vuông tại C và BC = 10 (cm); AB = 20 (cm). Do đó theo định lí Pi-ta-go ta suy ra được AC = 10/3 (cm). Hạ CH 1 AB. Ta có CH là đại lượng cố định không đổi 53 (cm). Do đó khi d thay đổi, đường thẳng d vạch nên mặt

H —- nón tròn xoay đỉnh A, trục AB do đường thẳng AC quay quanh A. Ta có: BC = AB.sinBAC

– BC 1 –>> sinBAC=- =-= = EAC = 30″

AB 2 Vậy góc ở định của hình nón bằng 60°. Bài 5 (Trang 39, SGK)

  1. a) Khoảng cách giữa hai đáy là 7cm. Seiy ra d ng sinh 1 và đường cao h bằng 7cm. • Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S == ? “trl = 21.5.7 = 701 (cm”). Thể tích của khối trụ là:

V = rr’h = 1.52.7 =1751 (On | 6: Mặt phẳng (AA’, BB’) cong song với trục 00 và cách trục 3cm cắt khối trụ theo thiết diện là một hình chữ nhật ABB’A’.

G: 1 là trung điểm của dây cung AB. Khi đó ta có OI = 3 (cm). Tam giác OAI vuông tại I. Áp dụng định lí Pi-ta-go ta có: AI? +OP = OA #Al=OA? -O1= 5° -3° = 16 > AI = 4 5 AB = 8 (cm). Vì thiết diện ABB’A’ là một hình chữ nhật nên diện tích của thiết diện là:

S= AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm’). Bài 6 (Trang 39, SGK)

Giả sử thiết diện là tam giác đều SAB cạnh 2a.

Theo đề bài, tam giác SAB chứa trục của hình nón nên AB là đường kính của hình tròn đáy. Mà AB = 2a. Suy rụ bán kính đáy bằng a.

Chiều cao h của hình nón bằng chiều cao của tam giác đều SAB.

=> h = SA.sin 60o = a V3 Diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq = url = 2a’r (dvdt). Thể tích khối nón là:

v=gar?n=- na_a73 – vi ma” (dvit).

3

3

3

Bài 7 (Trang 39, SGK).

  1. a) Ta có: h =1 =r/3. Diện tích xung quanh của hình trụ là: S =2trl =23Tr” (đvdt). Diện tích toàn phần của hình trụ là: Sup = Sx4 +2S= 2 nro (1+13} (cvde) b) Thể tích khối trụ là: V = S, .n = štr’. V3r = 731r (dvtt). c) Kẻ đường sinh BB || 00. Ta có: ABB’ = 30°,BB = 3r. Lại có: AB = BB tan30° = 3r. s = y.

Gọi H là trung điểm của AB. Tam giác OAB cân tại O nên CH! 3. ! | BB là đường cao nên BB1 (03). Do đó BB . Từ (1) và (2) suy ra OH (ABB’)

Mặt phẳng (ABB) là mặt phẳng chứa AB và song song với ôn khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục 02 bằng khoảng cách giữa mp(ABB ) và 00. Mà 00 / (ABB’) nên khoảng cách đó cũng bằng khoảng cách từ điển 0 đến mp(ABB’) và đúng bằng độ dài đoạn OH.

Vì (0) = OB = AB = liên tam giác 0. B là tam giác đều cạnh r.

Bài 8 (Trang 40, SGK)

  1. a) Độ dài đường sinh của hình nón là: 1 = Vr? +h? = 2r.

s = 2Trh=23cr; S, = 2Tr (với S, S, lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ, hình nón).

Vậy tỉ số giữa S, và Sa là: si_213_

S,

2

  1. b) Gọi V1 là thể tích của khối nón, V, là thể tích phần còn lại của khối trụ.

3

Ta có: v = h =ư (đvt); Vu = = 3m; V> = Very – Vi = 23.7

Bài 9 (Trang 40, SGK)

  1. a) Tam giác SAA vuông cân tại S. AA’ = a/2. Từ đó suy ra:

av2

Bán kính đường tròn đáy r = OA =–

2

Độ dài đường sinh l = SA = AA’.sin45° = a. Diện tích xung quanh của hình nón là:

  1. A 445–0h

A

Suq = Turl = ma” v2 (dvdt) Diện tích đáy hình nón là: Say= ur? = ma? (dvdt)

Thể tích của khối chóp là:

v=şa’h (dvdt).

Cac

Vì tam giác SAA là tam giác vuông cân nên chiều cao của khối chóp là SO, SO = LAA. => b=30=av2 = v=*h = – =( atzo a/2 _ VZna”.

3° 3°4 21:2-12

(OI LBC b) Gọi trung điểm của dây cung BC là I. Ta có: {

SI IBC Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng chứa đường tròn đáy là SIO = 60° Xét tam giác vuông SIO ta có:

1 a/2

tan (STO) – S. =-01-.mw manso – Auto $1= 480 +or () (1962ay

AB

Mặt khác thì BC = 2BI = 2/OB? – OI =2a3. Suy ra diện tích tam giác SBC là: S=-BC.SI = 1 2av3 aV6 a’ J2

S=2BC.ST=2 3.3= 3 | Bài 10 (Trang 40, SGK) Hạ đường sinh AA vuông góc với mặt phẳng đáy

“g đáy chứa cạnh CD. Khi đó thì ADA là góc giữa mặt phẳng chúa hình vuông ABCD và mặt phẳng đáy.

AD là hình chiếu của AD trên mặt phẳng đáy chứa CD. ABCD là hình vuông nên ADI CD.

=> CD L AD (vuông góc với đường xiên thì vuông góc với hình chiếu).

= ADC = 90°. Do đó AC là đường kính đáy hay A A, C = 2r.

Xét tam giác vuông AAD, theo định lí Pi-ta-go ta có:

AD’ = AA,? + A,D? =r? +A,D2 (1) Xét tam giác vuông ADC, theo định lí Pi-ta-go ta có: A, C = CD? + A,D? => A,D2 = 4ro – CD? (2) Mà AD = CD. Thế (2) vào (1) ta có: AD? = r2 + 4ro – CD? 4 2AD? = 5r? ADP =>

ABCD là hình vuông nên diện tích ABCD bằng AD = 5

Gọi x = ADA là góc tạo bởi mặt phẳng chứa hình vuông ABCD và mặt

AA, phẳng đáy. Ta có: sinx =

AD

Giải bài tập Hình học 12 (Chương trình cơ bản) – Chương 2, Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay
Đánh giá bài viết