Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n > 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Định lí: Số các hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho (n > 1) được kí

hiệu là Pn.

Pn=n(n-1)… 2.1 Chú ý: Kí hiệu n(n – 1)… 2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có: P1 = n! 2. Chỉnh hợp Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n > 1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và

ếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. .

Định lí: Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là Aý và bằng A =n(n-1)…(n-k+1) Chú ý: – Với quy ước 0! = 1, ta có: A =, ..

. n! 7ới quy ước 0 – 1 + … Ak

, 1 <ksn . – Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy: P, =A.

3. Tổ hợp . Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử (n > 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

| Số k trong định nghĩa cần thoả mãn điều kiện 1 < k < n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

Định lí: Số các tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí | hiệu là C’.

A

C = *k!(n—k)!

n!_

(Osksn)

-k

Tính chất của các số C

ck=CH-* (0 <ksn) Ch-I+C-1 = C (15k<n).

0-1

1. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK) | Bài 1 (Trang 54, SGK)
2. a) Mỗi số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là một hoán vị của 6 số. Ta có P6 = 6} = 6.5.4.3.2.1 = 720 (số).
3. b) Để tạo nên một số chẵn, ta cần chọn chữ số hàng đơn vị là số chẵn. Vậy có 3 cách chọn là: 2, 4, 6.

Sau đó, chọn một hoán vị của 5 chữ số còn lại (khác với chữ số hàng | đơn vị đã chọn). Vậy có 5! cách chọn.

Theo quy tắc nhân, ta có các cách để lập nên số tự nhiên là các số chẵn | là: 3.5! = 360 (cách).

Vậy có 360 số tự nhiên chẵn trong các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau đã được lập từ các chữ số đã cho.

Tương tự ta tìm được 360 số tự nhiên lẻ trong các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau đã được lập từ các chữ số đã cho

1. c) Các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau bé hơn 432 000. | Ta phải thực hiện một hành động trong ba hành động loại trừ nhau đôi một như sau:

Hành động 1: Lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, với chữ số hàng | trăm nghìn nhỏ hơn 4: có 3 cách. Với 5 chữ số còn lại có 5 cách. Theo quy tắc nhân ta có: 3.5! = 360 (cách).

Hành động 2: Lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, với chữ số hàng trăm nghìn là chữ số 4 và chữ số hàng chục nghìn nhỏ hơn 3 có hai cách và 4 số còn lại là 4! cách. Theo quy tắc nhân ta có: 1.2.4! = 48 (cách).

Hành động 3: Lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, với chữ số hàng trăm nghìn là chữ số 4 và chữ số hàng chục nghìn là 3 và chữ số hàng nghìn nhỏ hơn 2. Theo quy tắc nhân ta có: 1.1.1.3! = 6 (cách).

Theo quy tắc cộng, ta có: 360 + 48 + 6 = 414 (cách)

Vậy có 414 số bé hơn 432 000 trong các số tự nhiên có 6 chữ số khác . nhau được lập ra từ các chữ 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Bài 2 (Trang 54, SGK)

Mỗi cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào 10 ghế kê thành 1 dãy là một cách xếp thứ tự cho 10 người khách theo thứ tự của 10 ghế. Mỗi cách xếp là một hoán vị của 10 người khách:

P0 = 10! = 3 628 800 (cách). Vậy có 3 628 800 cách xếp. Bài 3 (Trang 54; SGK)

Ta có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau nên mỗi lần lấy 3 bông hoa trong 7 bông hoa cắm vào 3 lọ hoa theo thứ tự của 3 lọ là một chỉnh hợp chập 3 của 7 bông hoa:

A == 210 (cách) Vậy, ta có 210 cách cắm hoa. Bài 4 (Trang 55, SGK)

Mỗi cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 6 bóng đèn đã cho: A = =6.5.4.3= 360 (cách).

2! | Vậy, ta có 360 cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn đã cho. | Bài 5 (Trang 55, SGK)

3. a) Đánh số thứ tự cho 3 bông hoa là 1, 2, 3. Mỗi cách cắm hoa là một cách chọn ra 3 lọ và sắp thứ tự theo 3 bông hoa. Mỗi cách cắm là một chỉnh hợp chập 3 của 5 lọ đã cho: A = =5.4.3= 60 (cách).

2! b) Vì 3 bông hoa là như nhau nên mỗi cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau là một tổ hợp chập 3 của 5 lệ

10(cách).

6!

5!

6!

– Bài 6 (Trang 55, SGK)

Mỗi tam giác có 3 đỉnh trong 6 điểm đã cho. Vậy số tam giác là số tổ hợp chập 3 của 6 điểm đã cho: C =, = 20 (tam giác).

3!3! Bài 7 (Trang 55, SGK)

Để tạo được một hình chữ nhật từ các đường thẳng đã cho, ta phải thực hiện liên tiếp hai hành động sau đây:

Hành động 1: Chọn 2 đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm 4 đường thẳng song song với nhau, ta có C = 2 cách.

Hành động 2: Chọn 2 đường thẳng (không phân biệt thứ tự từ nhóm 5 đường | thẳng đã cho, vuông góc với 4 đường thẳng song song, ta có C = 10 cách.

Theo quy tắc nhân, ta có C. C = 6.10 = 60 (cách). Vậy, ta có thể lập được 60 hình chữ nhật từ các đường thẳng đã cho.