I. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là một số, kí | hiệu là a,b, được xác định bởi công thức sau: a,b = a.blcos(a, b). 

2. Các tính chất của tích vô hướng Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số k ta có:

4.6 = b.a (tính chất giao hoán) a.(b + c)=a.b+ac (tính chất phân phối) (ka).6=k(2.6)-a.(kb)

a 20, a? =D ea=o. 3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ (0,i, j), cho hai vectơ a=(a + a ), b=(b; b). Khi đó tích vô hướng a,b là : a b = ab +a,b, Nhận xét: Hai vectơ a=(a; a), b=(bộ; b) khác ô vuông góc với nhau khi

và chỉ khi ab + a,b = 0. 4. Ứng dụng a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vectơ a=(a); a) được tính theo công thức:

lal= Va + až b) Góc giữa hai vectơ: Nếu a=(a; a,) và b=(b; b) đều khác ở thì ta có:

Biol. a.b . a,b, + a2b2_

11

cos(a, b)=EHT

taž.Vb? + bŹ

1. c) Khoảng cách giữa hai điểm: khoảng cách giữa hai điểm A(XA; VA) và | B(xp; B) được tính theo công thức:

AB = (XB – Xa)? +(YB – ya)?

1. Câu hỏi A 1. Cho hai vectơ a và b đều khác 0. Khi nào tích vô hướng của hai vectơ

đó là số dương? Là số âm? Bằng 0? 4 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 4), B(1; 2), C(0; 2). Chứng

minh rằng ABL AC.

.

Giải

T

A 1. Ta có: a b = a.lb/cos(a, b) | Do vậy: • ab >0 khi cos(a, b) >0 hay góc giữa a và b là góc nhọn. • ab < 0 khi cos(a, b) < 0 hay góc giữa a và b là góc tù.

• ab = 0 khi cos(a, b) = 0 hay góc giữa a và b là góc vuông. A 2. AB = (-1;-2), AC (4; -2)

1. AC =(-1).4 +(-2)(-2) = 0

Vậy AB LAC III. Câu hỏi và bài tập 1. Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng

AB.AC, AC.CB. 2. Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng | OA.OB trong hai trường hợp:

1. a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB.
2. b) Điểm O nằm trong đoạn AB. 3. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm

thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I. a) Chứng minh AI.AM = AI.AB và B.BN = B.BA;

4. b) Hãy dùng kết quả câu a) để tính AI.AM + BIBN theo R. 4. Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2). . a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho OA = DB;
5. b) Tính chu vi tam giác OAB.
6. c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB. 5. Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ a và b trong các trường hợp sau:
7. a) a = 12; – 3), 6 = (6; 4); b) a = (3; 2), 5 = (5; – 1); c) a =(-2; – 273), 5 = (3; 13).

6. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(3; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0;

-2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông. . 7. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là điểm đối xứng với

điểm A qua gốc tọa độ 0. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ bằng 2 sao cho | tam giác ABC vuông ở C.

Giải 1. Cách 1: ABLĀC=AB.AC =Ő Cách 2: ABAC = AB JACcos(ABAC) = a.a.0 =0

Ta có: AB = BCsinC =BC= 4mm = V2a

Sin 40

~аг

Do đó: ACCB = ACBC= AC.BC cos(AC, BC)=2. a) OA.OB = oA).OB].cos(OA,OB)= a.bcos0o = a.b

b) OA.OB = A.JOB.cos(OA,OB)= a.bcos 180′ =-ab 3. a) A1.AM =|A1. AMl.cos(AI, AM) = AI. AMcos0o = AI.AM

AL.AB=\AT.AB.cos(ĀI, AB) = AI.AB.COSMAB = AI.AM Vậy AI.AM = AI.AB

Chứng minh tương tự ta cũng có BÌ.BN = BiBẢ. b) Từ ALAM = ALAB và BIGBN = BÌ BA (câu a) Ta có: AI.AM +BI.BN = ALAB + BI.BA – A1.AB+IB.AB

.. = AB(AI + IB) = AB” = (2R)2 = 4R2. 4. a) VìD trên trục Ox nên tọa độ của D có dạng D(x, 0)

Ta có DA^= (1 – x)^+ 3^, DB>= (4 – x)^ + 2^ . Mà DA = DB = DA? = DB2 = (1 – x)2 + 32 = (4 – x)2 + 2? : = 1 – 2x + x2 +32 = 16 – 8x + x2 +4 = 6x = 10 = x=

Vậy ( ) b) OA = V12 +32 = V10, OB = V42 +22 = 20, AB = V(4–1)2 + (2–3)2 = V10

Chu vi OAB = OA + OB + AB = V10 + V10+ V20 = (2+ 2)/10

1. c) AOAB có OA^ + AB? = OB? (vì 10 + 10 = 20) AOAB vuông tại A (định lí Py – ta – go đảo)

OA.OB V10.110 Soal – 2 = 2 5. a) ab = 2.6 +(-3).4 = 0. Vậy alb hay (a, b)= 90° b) 2.5 = 3.5 +2.(-1) = 13 **) .B . 13 . ij

Tal.61 V22 +32.152 +(-1)2 V13. = (a,b) = 45° c) a.5 = (-2).3 + (+253)./3 = -6–6=-12. ab

-12 cos(a, b) – A

cos(a, b) =

15* Va2+(-25) Na+ +(5VG-122

+

=(a, b) = 1500 6. AB = V(8–7)2 +(4+3)2 = 150 =512

BC= V1 –8)2 + (5 – 4)2 = 150 =512 CD= V(0 – 1)2 +(-2-5)2 = V50 = 572 DA= V(0-7)2 +1–2 + 3)2 = 150 =512 Tứ giác ABCD có AB = BC = CD = DA (=52) nên là hình thoi Mặt khác AB = (1; 7), A = (-7; 1). Nên AB.AD = 1.(-7) + 7.1 = 03 AB LAD =(AB, AD)=90° Hình thoi ABCD có BAD= 90°

. Do đó ABCD là hình vuông. 7. B là điểm đối xứng với A(-2; 1) qua gốc tọa độ nên B(2; -1).

Giả sử C(x; 2) AB = V(2+ 2)2 + (-1-1)2 = 120 BC = V(x-2) +(2+1)2 = V(x-2)2 +9 AC = V(x+2)2 +(2-1)2 = V(x+2)2 +1

AABC vuông ở Ca AC + BC = AB?

(x + 2)2 + 1 + (x – 2)2 + 9 = 20 ox2 + 4x + 4 + 1 + x2 – 4x + 4 + 9 = 20

x?=1 x=+1 Ta được hai điểm C(1; 2), C(-1; 2).