1. Phát biểu các điều kiện đồng biến và nghịch biến của hàm số. Tìm

X-5 các khoảng đơn điệu của các hàm số y = -x + 2x^ – x – 7; y =

1-X .

Giải * Điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, hàm số f(x): – đồng biến (tăng) trên K nếu V X1, X2 + K: X1 = X = f(x1) < f(xg). – nghịch biến (giảm) trên K nếu V X1, X2 6 K: X1 < X2 = f(x1) > (xg)

* Xét hàm số y = – x + 2x – x – 7, ta có:

D = R

|

y > 0 với x =

2;1| và y < 0 với x

–

y=-3x +4-1=0 x=vx=

t s x’s ovoix e(**) va y'<o voix elm iufi: to) Vay y + 2x – x – 1 đồng biến trong ( 1) và nghịch biến trong (- ) và (1; + 3).

* Xét hàm số y = 0, ta có:

– X

-5

1-X

D = R \ {1} v=_6 0 VXED.

.. (1-x)? Vậy hàm số luôn tăng trong từng khoảng (-0 ;1) và (1 ;+).

2. Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số: y = x – 2x^ + 2.

Giải * Cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm (xem kiến thức cần nắm vững). * Xét hàm số y = x^ – 2x^ + 2, ta có:

D = R y’ = 4×2 – 4x = ( x=0, x= +1

Y” = 12×2 – 4. Dựa vào Qui tắc 2, ta có:

y” (0) = -4 < 0 = điểm cực đại XCD = 0 y”(-1) = 8 > 0, y”(1) = 8 > 0

Suy ra các điểm cực tiểu là XCT = -1, KCT = 1 3. Nêu cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2x + 3 Áp dụng để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: y = –

– 2 -X

Giải * Cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (xem kiến thức cần nắm vững).

2x+3. . * Xét hàm số y =

-, ta có: . .

2-X lim y =+20, lim y=-003 Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2

X-

2

X-

2

27 ?

Xtos

lim y = lim –

–

X-to

X=-2 => Đồ :hị có tiệm cận ngang là y = -2 -1 .

am

so.

4. Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Giải 1. Hàm số y = f(x) .. . Các bước khảo sát: a. Tìm tập xác định của hàm số b. Xét sự biến thiên – Xét chiều biến thiên: + Tìm đạo hàm f(x) + Tìm các điểm tại đó f(x) bằng không hoặc không xác định + Xét dấu của đạo hàm f(x) và suy ra chiều biến thiên của hàm số. – Tìm cực trị – Tìm các giới hạn vô cực và tiệm cận (nếu có) – Lập bảng biến thiên. c. Vẽ đồ thị của hàm số. 2. Hàm số đa thức và phân thức a. Hàm số y = ax^ + bx + cx = d (a + 0) – Tập xác định: D = R, có giới hạn ở vô cực là vô cực. – Đạo hàm: y = 3ax + 2bx + c là một tam thức bậc hai.

+ Nếu A’ = b^ – 3ạc < 0 thì hàm số luôn đồng biến trên D với a > 0 và luôn nghịch biến trên D với a < 0.

+ Nếu A’ = b^ – 3ạc > 0 thì phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt và hàm số có hai cực trị. – – Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

1. Hàm số trùng phương y = ax^ + bx + c (a + 0)

– Tập xác định: D = R, có giới hạn ở vô cực là vô cực; là hàm số chẳn.

– Đạo hàm: y = 4ax° + 2bx = 2x(2ax^ + b) ” + Nếu ab > 0: Hàm số có một cực trị. . + Nếu ab < 0: Hàm số có ba cực trị.

– Đồ thị hàm số không có tiệm cận. 40

..

 

(X + d

1. Hàm số y = x + c = 0; ad – bc + 0) – Tập xác định: D = R1 d)

ad + bc ) – Đạo hàm: y = –

(cx + d)? . + Nếu ad – bc > 0: Hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

+ Nếu ad – bc = 0: Hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng các định.

– Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = –, tiệm cận ngang = -.

с

5. Cho hàm số y = 2x + 2mx + m – 1 có đồ thị là (Cm), m là tham

số.

1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 b) Xác định m để hàm số:

– Đồng biến trên khoảng (-1; + 2) .

– Có cực trị trên khoảng (- 1; +5 ) c) Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Giải a) Ta có: với m = 1 thì y = 2×2 + 2x – D = R, hàm số không có tiệm cận

y’ = 4x + 2 = 0 x =

Bảng biến thiên:

* |-00

:

2

+00

+

y

too

Đồ thị (hình dưới). b) Xét hàm số y = 2x + 2mx + m – 1, ta có: D = R.

y’= 4x + 2m = 0

Vậy

y > 0 với x > 0

NENB

y < 0 với x < –

g)

Hàm số nghịch biến trên ( và đồng biến trên ( 1 )

và đồng biến trên

; too

– Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; + ) khi:

-2 -1VO

—

– (-1;+ m) c( 9 ito)–“5-16m22

– Hàm số đạt cực trị tại x = .

m

2

2

x

+

7

| Để hàm số đạt cực trị trong khoảng (-1; +O) thì: m

m € (-1 ;+o) >-1<- >1> <m<2… c) Xét số nghiệm của phương trình 2x^ + 2mx + m – 1 = 0 (1), ta có:

A’=m’-2(m-1)= mo – 2m + 2 = (m – 1)’ +1> 0 m Phương trình (1) luôn có hai nhiệm phân biệt, nghĩa là đồ thị (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m. 6. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

f(x) = – x2 + 3x + 9x + 2 b) Giải phương trình f(x-1) > 0 . c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ Xo, biết rằng f'(x) = -6.

Giải . a) Xét hàm số f(x) = – x3 + 3x^ + 9x + 2, ta có:

DER lim f(x)= too, lim f(x)=– y’ = -3x + 6x + 9 y’ = 0 x=-l v x = 3.

..

.

.

 

Bảng biến thiên:

+

ow

y’ L

–

0

+

y

too

C3

,

24-

–

–

22) —

Đồ thị (hình bên). b) Ta có: f(x – 1) > 0

-3(x – 1)2 + 6(x – 1)+9>0

-x+ 4x >0 0 <x<4 c) Ta có: f”= (x) = – 6x + 6

f” (xo) = -6 -6x, +6=-

6 X , = 2 Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm xe = 2 là:

y = f(2)[x – 2]+f(2)

3.

Til

-3 -2

101 2 3 4

5

x

y=9(x-2) +24

y=9x+6 7. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

y = x3+3×2+1 . b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau | theo m:

x* + 3x’ +1 = 1 c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).

Giải . a) Ta có: D = R

lim y=-9, lim y = +30 y’ = 3×2 +6x

y’ =0x=0 vx=-2

Bảng biến thiên:

.

.too

0

.

+

y

5

too

Đồ thị (hình dưới). b) Từ đồ thị, nếu:

+ “< 1

m < 2: phương trình có 1 nghiệm.

=1 = m = 2: phương trình có 2

.

.

.

+

nghiệm.

IOR

m

.

V

+ 1 < <5>1< m < 10: phương trình có 3 nghiệm.

…

+

= 5

m =10:phương trình có 2

E

nghiệm.

.

:

-3 -2 -1 0

.

+

m —

>58 m >10: phương trình có 1

nghiệm số. | Vậy nếu m < 2 hoặc m > 10 thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất, nếu 2 < m < 10 phương trình có ba nghiệm, nếu m = 2 hoặc m = 10 phương trình có 2 nghiệm. .

1. c) Phương trình đường thẳng qua điểm cực đại (-2; 5) và điểm cực tiểu là:

2y +4x – 2 = 0

2

1-5

8. Cho hàm số: f(x) = x^ – 3mx^ +3(2m – 1)x +1 (m là tham số).
9. a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định. . b) Với giá trị nào của tham số m thì hàm số có một cực đại và một cực tiểu?
10. c) Xác định m để “(x) > 6x. 44 :

. Giải a) Xét hàm số f(x) = x^ – 3mx +3(2m – 1)x +1, ta có:

D = R.

f(x) = 3x? – 6mx +3(2m – 1). Để hàm số đồng biến trên D thì f(x) > 0, 9x 6D

AA’=9m2 -9(2m – 1) =9(m-1) 50m=1 Vậy hàm số đồng biến trên R nếu m = 1.

1. b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu khi f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, nghĩa là:

A’=90m – 1)’> 0 m+l Khi đó: f'(x) > 6x 26(x – m)>6x + m <0 .

9. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

f(x) =

-x

– 3x

+2

2

. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình ” (x) = 0. c) Biện luận theo tham số m số m số nghiệm của phương trình:

x*-6x’+3 = m.

..

Giải

1. a) Xét hàm số f(x) = x – 3x + , ta có:

D = R

lim f(x)= 700

f'(x) = 2x’ -6x = 0) 6x=() v X=113 Bảng biến thiên:

too

0

+

0

–

0

+

yil y |-

– –

Đồ thị (hình dưới).

V =

m

…

-3

-2 -1 0

1

2

3

X

N

_____

..

1. b) Ta có: f'(x) = 6x^-6 = 0 = x =+1 Phương trình tiếp tuyến với đô thị tại điểm (-1; -1) là: .: y = f'(-1)(x+1)-1 y = 4x +3 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (1; -1) là: y = f'(1)(x-1)-1 y=-4x +3

3 m c) Ta có: x – 6x +3 = me Từ đồ thị, nếu:

<-32 m < – 6: phương trình vô nghiệm.

–

+

در | M

22

111

+

< -3 = m < – 6: phương trình có 2 nghiệm, …

NIw

e-6 < m < 3: phương trình có 4 nghiệm.

El +

op

+ V V LA

+ level

+

NIWNIWNIE

= m = 3: phương trình có 3 nghiệm.

x e m > 3: phương trình có 2 nghiệm.

2 2

10. Cho hàm số y = -x^ +2mx^ – 2m +1 (m là tham số) có đồ thị là (cm)
11. a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.. b) Với giá trị nào của m thì (Cm) cắt trục hoành? c) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu.

Giải ” a) Ta có: y = – 4x +4mx = 4x(-x^ + m)

 

X = ( y’ = 0

1-x?+m=0) ; Nếu: + m < 0; phương trình f(x) = 0 có một nghiệm. Hàm số có cực trị. + m > 0: phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm. Hàm số có ba cực trị. b) Đồ thị (Cm) cắt trục hoành nếu phương trình:

– x + 2mx 2m +1=0 (1) có nghiệm. Đặt xo = t 20, ta có (1) + – to + 2mt – 2m + 1 = 0 (2)

Ta thấy phương trình (1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm không âm. Điều này xảy ra nếu có một trong các trường hợp sau: 1 P = -2m+150 ms

Suoma.

1)

-1

A = m2 +2m-120

| m <-1- 2 hoặc m2-1+ 2 m>0

m

> 0

Ci

P= 2m

-1> 0

:

Kết hợp 1) và 2) ta có với mọi m, đồ thị (Cm) luôn cắt trục hoành.

1. c) (Cm) có cực đại, cực tiểu khi đạo hàm y = 0 có ba nghiệm. Điều này xảy ra nếu phương trình -x^ + m = 0 có hai nghiệm, tức là khi m > 0.
2. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = ^T.

X+1 b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng y = 2x + m | luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.

1. c) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.
2. d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của (C) cắt hai tiệm cận của (C). tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

Giải a) Ta có: D = R \ {-1}

lim y=-9, lim y = +c=Đô thị có tiệm cận đứng là x = -1 . lim y =1= Đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1

X

-1

y’= —L

(x+1)

Bảng biến thiên:

X -OS ‘

:

:.

:

.

-1

.

to

+0

Đồ thị (hình dưới).

-3-2-1

|

1

2

3

1. b) Phương trình hoành độ giao điểm của y = 2x + m với (C) là: X+3 = 2x+

m 2x+(m+1)x+m-3= 0) (1) X+1

(x+1+0 Ta có: A = (m+1)° -8(m – 3)= m’ -6m + 25 = (m – 3)? +16>0) Vm

Vì A> 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt, tức là đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

1. c) Tọa độ các giao điểm của hai đường cong là: l-m+1-vă m-1-Vo l -m+l+vā m-1+V)

4 2 Với A = (m -3) +16. | Độ dài đoạn thẳng MN là:

.

M

— 1 và N| –

4

IN

MAN = Wow-] + Cy»-»] = A (ra)

– Va[(m-3)/ +10] > 1516-245

2

V

2

Vậy khi m = 3 thì độ dài MN nhỏ nhất bằng 2 5.

1. d) Đặt S((x;y)+ (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại S là:

::vo na tij{x-xejt sa * Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng x = -1 là:

P(+1:y)vøi y, =com 70-1-1-x.]+ x = , +1+%. Vậy giao điểm là (——)

* Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang y = 1 là Q(x;1) với

x, thỏa mãn hệ thức:

-1=10

(x, 7)* (*o –xo) + x, =1 – 2o – L.)=> -1-** Tọa độ của P và Q lần lượt là (- -) 2x + 1)

X, +1

X

+ 1

X, US

–

Tọa độ của P và Q lần lượt là P|-1

+

Trung điểm của PQ là 1 có tọa độ là:

y + yo

| x, +5

+3

+1

=

–

=yo

Xattl=

S

Suy ra (x;y) chính là trung điểm của PQ. 12. Cho hàm số: a) = -3x -4x +6 a) Giải phương trình f(sin x) = 0.

X

1. b) Giải phương trình ” (cos x) = 0.
2. c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f” (x) = 0.

 

Giải

1. a) Ta có: f(x) = x2 – x – 4

f(sin x) = 0 = sin? x – sin x -4 = 0) Vì sinox – sinx 52 x < R nên phương trình trên vô nghiệm. Vậy sinox – sinx – 4 <-2 Vx. b) Ta có: f” (x) = 2x – 1 = 2cosx – 1 = 0

.

A cos x ==

x

+ k21, kez

. wla

1. c) f”(x) = 0 >2x-1=0 ex=1

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại x =

x-

+f

y = f) –

(2)

2

Thay vào fis) ta có: (?

Thay x = −vào f(x) ta có: f-=

2. 12. Phương trình tiếp tuyến của đô thị tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f(x)= 0 là:

17 145

.:

y

=

–

x +