| A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
1. Hàm số y = f(x) Các bước khảo sát: a. Tìm tập xác định của hàm số b. Xét sự biến thiên – Xét chiều biến thiên: + Tìm đạo hàm f(x) + Tìm các điểm tại đó f(x) bằng không hoặc không xác định + Xét dấu của đạo hàm f(x) và suy ra chiều biến thiên của hàm số. – Tìm cực trị -Tìm các giới hạn vô cực và tiệm cận (nếu có) – Lập bảng biến thiên. c. Vẽ đồ thị của hàm số. 2. Hàm số đa thức và phân thức a. Hàm số y = ax³ + bx² + cx = d (a ≠ 0) – Tập xác định: D = R, có giới hạn ở vô cực là vô cực. – Đạo hàm: y’ = 3ax² + 2bx + c là một tam thức bậc hai. + Nếu Δ’ = b² – 3ac ≤ 0 thì hàm số luôn đồng biến trên D với a > 0 và luôn nghịch biến trên D với a < 0. + Nếu Δ’ = b² – 3ac > 0 thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và hàm số có hai cực trị. – Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
– Đạo hàm: y’ = 4ax³ + 2bx = 2x(2ax² + b) + Nếu ab ≥ 0: Hàm số có một cực trị. + Nếu ab < 0: Hàm số có ba cực trị. – Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
+ Nếu ad – bc < 0: Hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng các định.
Nếu hàm số y = f(x) có đồ thị là (C1) và y = g(x) có đồ thị là (C2) thì các đường cong (C1) và (C2) giao nhau tại các điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f(x) = g(x). |
3. Tương giao của các đồ thịB. Giải bài tập
Nguồn website giaibai5s.com
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau: a) y = 2 + 3x – x
b) y = x2 + 4×2 + 4x c) y = x3 + x2 + 9x
c) y = -2×3 + 5
Giải
ai
- Ta có: D = R
y ‘ = 3 – 3×2 = 0 Các giới hạn:
x=+1
V
lim
= lim
x’
-1+
t
=-60
X
+7
Bảng biến thiên:
x
.
.
+
-00
– too_
– 0
:
+
0
–
–
y
0
Đô thị (hình bên). – Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2) – Giao điểm của đô thị với trục hoành: : -x + 3x + 2 = 0
=(x+1)(-x’ +x+2) = 0
ox=-1, x = 2 Với x = -2, y = 4. Đồ thị qua điểm (-2; 4). b) Ta có: D = R. Các giới hạn:
–
-2 -1 0
X–
x ++*.
-*+5.
X
x
y’ = 3×2 + 8x + 4
ROOI
y = 0 ox- x=-2
X
-3
..
Bảng biến thiên:
x1-00
-2
too
v
+
0
–
too
27
Đồ thị (hình trên). c) Ta có: D = R
| lim y =-, lim y = +2O y’ = 3×2 + 2x + 9 > 0 VXER Bảng biến thiên:
:
too
+
200
O
1
Đồ thị (hình bên). d) Ta có: D = R, lim y = +30, lim y = -30 y’ = – 6×2 = 0 x=0, y'<0 VX + 0 Bảng biến thiên:
+00
y
Đồ thị (hình bên).
..
26
:
.
- Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau: a) y = -x* + 8×2 – 1
- b) y = x* – 2×2 + 2 lity 3 C) y = -x + x –
- d) y = -2×2 – x* +3
2
Giải
- a) Ta có:
D = R, hàm số là hàm số chẵn.
lim
or
y =
lim
+
x’
-1+
2
-0
f
1
X
X
4x
? + 4) = 0
X=vx = +2
. y’ = -4x + 16x = 0 Bảng biến thiên:
x 1
0
-2
0
too
دارد
15
Đô thị (hình dưới).
-31
-2
-1
Y
1
2
3
X
.
- b) Ta có: D = R, hàm số là hàm số chẵn.
lim y = too
y’ = 4x® – 4x = 1 x=0,x=+1 Bảng biến thiên: -00 -1. 0 . 1
0 + 0 – 0
too
too
41_o
:
Đồ thị (hình dưới).
–
——-
ol
-2
-1 01
1
2
- c) Ta có: D = R, hàm số là hàm số chẵn.
lim y = too
y’ = 2×3 + 2x = 0, x=0 Bảng biến thiên:
X
X
-00
too
0
too
– Toż
Đồ thị (hình bên). d) Ta có: D = R, hàm số là hàm số chẵn..
lim y=-os
y’ = -4x – 4x = 0 = 4x + 4x = 0 Bảng biến thiên:
x =
too
.
.
| Đồ thị (hình bên). 28. :.
X-1
| 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức: X +3
1-2x a) y = —
- b) y = =
2x -4 .. -X+2 c) y = 2x + 1
Giải
.
.
.
- a) Ta có: D = R \ {1}
v – (x – 1)-(x+3)
(x-1)
VxED
lim y = -; lim y = +00
Vậy x = 1 là tiệm cận đứng.
1+
* !
lim
y = lim
X=1
X-+ts
–
*
| Vậy y =1 là tiệm cận ngang. Bảng biến thiên:
:-00
1
.
Giao điểm của đô thị với trục tung (0; -3), với trục hoành (-3; 0): Đồ thị (hình trên). b) Ta có: D = R \ {2}
lim y = +; lim y = -2 + x = 2 là tiệm cận đứng
lin y = -1 = y =-1 là tiệm cận ngang.
y’ =
V
* * (2x -4)=>0 Pxed
Bảng biến thiên:
-00
X
to
+
y 1
:
too
-1
Một số điểm thuộc đồ thị:
(0 :- 1) (: 0).
10i 2
Nien
NOR
Đồ thị hình bên). o) Ta e6: D=r1 { }
lim
= -0,
lim
=
x=
–
tiệm cận đứng.
–
–
(
10 xem
Bảng biến thiên:
y
too
20
| Đồ thị (hình dưới).
21 ..
.
im*-*–1
.
FH-3
) y = 2×2 – x4
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: a) y = x3 – 3x + 5 b) y = 2x® – 3x Từ đồ thị tìm số nghiệm của các phương trình sau: a) x2 – 3×2 + 5 = 0 b) -2×3 + 3x? – 2 = 0.
. Giải a) Xét hàm số y = x – 3x + 5, ta có:
- c) 2×2 – x*=-1
D = R
–
–
lim y = -2, lim y = 40
w
–
V
+Y.
y’ = 3×2 – 6x = 0
x=0, x=2
Bảng biến thiên:
1
2
3
x
-00
O
.
– to
x! y]
2 0
+
:
–
+
0 54
too
1-00
–
1
Đồ thị (hình trên).
Đồ thị hàm số y = x – 3×2 + 5 chỉ cắt trục hoành tức là cắt đường thẳng y = 0 tại điểm duy nhất. Từ đó suy ra rằng phương trình x” – 3x^ + 5 = 0 chỉ có 1 nghiệm.
3
- b) Ta có: -2x + 3x – 2 = 0 = 2x – 3x = -2 Xét hàm số y = 2x^ – 3xo, ta có:
D = R lim y = -ao, lim y = +
Y-→-on
y’ = 6×2 – 6x = 0 AX=0 vx=1. Bảng biến thiên:
O SI 0 – 0
–
X
+
+
X
Đồ thị (hình dưới).
Đồ thị hàm số y = 2x – 3×2 là đường cong chỉ cắt đường thẳng y = -2 tại một điểm. Điều này cho thấy phương trình 2x – 3x^ = -2 chỉ có 1 nghiệm. Vậy phương
nghiệm. c) Xét hàm số y = 2x – xo, ta có:
D =R lim y = -00
too
y’ = 4x – 4x = 1 x=0, x= †1 Bảng biến thiên: . . x / -0 –
1 0 . y | + 0 = 0 + 0 –
ou
0 Đồ thị (hình bên).
Đồ thị hàm số y = 2x^ – xo cắt đường thẳng y = -1 tại hai điểm. Vậy phương trình 2x^ – x = -1 có hai -2 1-1 0 nghiệm.
py
–
이
2
X
y = -1
32
- a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
y = -x + 3x + 1 b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m: x – 3x + m = 0.
Giải a) Ta có: D = R
y=k
.
lim y =+ao, lim y ==0)
X-
-on
X-*+
,
.
1
2
y’ = – 3×2 + 3 = 0
ox=+1 Bảng biến thiên:
x
|-oo.
too
1
–
0
too
–
–
–
m
=
Đồ thị (hình trên). | b) Ta có: x – 3x + m = 0
-x+3x+1=1+m Đặt k = -1 + m. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = -x^ + 3x + 1 với đường thẳng y = k là số nghiệm của phương trình x° – 3x + m = 0
Dựa vào đồ thị, nếu: | + k < -1 e1+ m <-12 m <-2 thì (C) cắt k tại 1 điểm.
+ k = -1 +1+ m =-18 m =-2 thì (C) cắt k tại 2 điểm.
+ -1 < x < 3 = -1 < 1 + m <3 = -2 < m < 2 thì (C) cắt k tại 3 điểm. | + k = 3 +1+ m = 32 m = 2 thì (C) cắt k tại 2 điểm.
+ k > 3 e1+ m >38 m > 2 thì (C) cắt k tại 1 điểm.
Từ đó ta suy số nghiệm của phương trình x° – 3x + m = 0 phụ thuộc tham số m như sau:
+ Phương trình có 1 nghiệm nếu m < -2 hoặc m > 2
.
+ Phương trình có 2 nghiệm nếu m = -2 hoặc m = 2 + Phương trình có 3 nghiệm nếu –2 < m < 2.
mx-1 6. Cho hàm số y = 1
2x + m a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
- b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qu c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
Giải
—
–
- a) Ta có: D = (–)(-
)
–
m +1 20 V3 và Vy GD
(2x + m) Vậy hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Ta có: lim y=10 Đồ thị có tiệm cận đứng là x = –
X
Điểm A(-1; /5) thuộc đường x = – 7 khi và chỉ khi – – am= 2
- c) Với m = 2 ta có y = 2*, xét hàm số trên ta có:
2x+2′ D=R\ {-1} | lim y = +20, lim y=-003 Đồ thị có tiệm cận đứng là x = -1 | lim y =14 Đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1
=> 0 VxED.
X
-1
X-
T
4(x+1)
Bảng biến thiên:
to
Một số điểm thuộc đồ thị:
(0:-17:0). (4) (5:0)
Đồ thị (hình bên). 7, Cho hàm số: y = 1x + x +m
– 4 2 a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm số đi qua điểm (-1; 1)?
- b) Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1,
- c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng ..
Giải a) Đồ thị hàm số qua điểm (-1; 1) khi và chỉ khi:
1=–14+3(-1*+mom=1
1
- b) Với m = 1, ta có: y
+1, xét hàm số trên ta có:
2
D=R lim y = + , hàm số là hàm số chẵn
XI.
X
=
y’ = x + x = 0 Bảng biến thiên:
to
0
+
y (+00 –
too
_
Đồ thị (hình dưới).
- c) Điểm thuộc (C) có tung độ bằng 2. Vậy hoành độ của đồ thị là nghiệm của phương trình:
11, 13
– -+- — 34 2 4= 0 t=x220
2X=1
X
lt=x?
sp?
26-
Như vậy đồ thị có hai điểm có
i
i
1
2
x
của (C) tại điểm | –
tung độ bàng ? la (-) và – (12) và phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (- ) là:
y = y*(-1) [x+1)+( * =2xPhương trình tiếp tuyến của (O) tại điểm (13) là:
y=y'(1) [x+11+2+3y=2x-
CI
- Cho hàm số: y = x^ + (m + 1)x^ + 1 – m (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
- a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1. b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại điểm x = -2.
Giải a) Ta có: y = 3x^ + 2(m + 3)x = 0 + x = 0 v
2
TIT
* Nếu -ệm – 2 = 08 m = -3 ta có y 20 Vxe R, hàm số không có cực trị. Do đó để hàm số có cực trị thì -, * 0.
2
m
_2
* Nếu ––m
-2>0
m
<-3
Bảng biến thiên:
m
– 2
0
–
0
+
y
YcÐ
+0
I-00 –
yct
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại là x = 0 * Như vậy, để có điểm cực đại tại x = -1 thì ẩm -2 <0em = -3,
n
=
khi đó: -ệm –2=-12 m = (thỏa mãn điều kiện)
2 b) Ta có: đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại điểm x = -2 suy ra –2 là một • nghiệm của phương trình x° + (m + 3)x^ + 1 – m = 0, hay:
(-2)) + (m + 3)(-2) + 1 – m = 0)
3m +5=1 m =-=
m
=
(m +1)x – 2m +1 9. Cho hàm số: y = .
– (m là tham số) có đồ thị (G).
X-1 a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1)
- b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được. . c) Viết phương trình tiếp tuyến của đô thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.
Giải a) Đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1) khi và chỉ khi:
Com= 0 .. . 0-1
-1(m + 1)0-2m +1
X+1
+
- b) Với m = 0 ta có: y =
^, xét hàm số trên ta có: -3, xét ham Sí
i
X-1′
DER\{1} + Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 1 + Đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1 y’ = <<0 VXED
(x – 1)?
-2
Bảng biến thiên:
x 100
too
Đồ thị (hình dưới).
- c) Đồ thị cắt trục tung tại điểm P(0; -1), khi đó phương trình tiếp | tuyến tại điểm P(0; -1) là:
y = y(0)[x -0)-10y=-2x-1.
–
–
N
TT
–
ILU
–