I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
| Để giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ta thực hiện theo các bước sau:
1. Lập hệ phương trình :
2. Giải hệ phương trình. 3. Trả lời : Chọn kết quả thích hợp và trả lời. |
Nguồn website giaibai5s.com
Ví dụ 9 :Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80m. Nếu tăng chiều dài thêm 3m, tăng chiều rộng thêm 5m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 195m2. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh đất.
Phân tích : Chiều dài, chiều rộng cũng như diện tích của mảnh đất trước và sau khi tăng chiều dài và tăng chiều rộng đều chưa biết. Đã biết chu vị của mảnh đất là 80m, và diện tích của mảnh đất tăng thêm 195m2 sau khi đã tăng chiều dài và chiều rộng. Do đó nếu chọn x là chiều dài, y là chiều rộng của mảnh đất ta có thể biểu thị được chu vi và diện tích của mảnh đất qua x, y để có một hệ hai phương trình bậc nhất với hai ẩn là x và y.
Giải:
Gọi chiều dài của mảnh đất là x(m), chiều rộng của mảnh đất là y(m). Điều kiện x > 0, y > 0. Khi đó, chu vi của mảnh đất là 2(x + y) mét và diện tích của mảnh đất là xy(m2).
Theo đề bài, chu vi của mảnh đất là 80m, ta có phương trình:
2(x + y) = 80. (1)
Chiều dài của mảnh đất sau khi tăng thêm 3in là x+3 (m).
Chiều rộng của mảnh đất sau khi tăng thêm 5m là y+5 (m).
Diện tích của mảnh đất sau khi tăng chiều dài 3m, tăng chiều rộng 5m là (x+3)(y +5) (m2).
Theo đề bài, diện tích của mảnh đất tăng thêm 195m2, ta có phương trình : (x+3)(y + 5) = xy +195.
(2)
inh. S2(x+y)=80 Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:{
|(x+3)(y+5) = xy +195.
Giải hệ phương trình :
(20(x + y) = 80
x+y = 40 |(x+3)(y+5)= xy =195 xy +5x+3y +15= xy+195
x + y = 40
5x + 3y = 180 Rút x từ phương trình x+y = 40 , ta được x = 40-y.
Thay giá trị này của x vào phương trình 3x +5y = 180, ta có :
5(40- y) + 3y = 180 200- 5y+3y = 180
-2y = -20
y=10
Thay y=10 vào biểu thức x = 40-y được x = 40–10 = 30.
Trả lời : Chiều dài của mảnh đất là 30m.
Chiều rộng của mảnh đất là 10m.
Ví dụ 10: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sai 1 giờ 30 phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai cho chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ được 1 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể ?
Phân tích : Theo đề bài, hai vòi cùng chảy trong 1 giờ 30 phút hay ? giờ thì đầy bể, nên trong 1 giờ cả hai cùng chảy được li (bể). Cũng vậy lượng nước mà mỗi vòi chảy vào bể trong một giờ và số giờ cần thiết vòi đó chảy đầy bể là hai đại lượng nghịch đảo của nhau.
Giải: Gọi x là số giờ để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể, y là số giờ để một mình vòi thứ hai chảy
X
Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được (bể) ; vòi thứ hai chảy được và cả hai vòi chảy được 1 (bể).
– X
Y
Trong một giờ cả hai vòi chảy được 1:
دیا |M
نادرا
có phương trình :
1 – X
1 2 +-=
y 3
(1) Trong 15 phút hay giờ, vòi thứ nhất chảy được 1 (b) ; trong 20 phút hay giờ vòi thứ hai chảy được sy (be).
Cả hai vòi chảy được
ta có phương trình :
1 1 1 4x3y 5
–
+
n.
1
2
– |x
+-
y
=
3
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình :
t
=–
(4x 3y 5 Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ :
Đặt == u ; ==y, ta có:
utv
3
(3u +3v = 2 111,1″ (15u +20v = 12
(15u+15v = 10 15u+20v = 12
(15u+6=10
(15u+15v=10
14
(4x =15
x =33
4x = 15
Suy ra : x 15
Suy ra: : 2
2y=5 hl=21
Ly
5
11
Các giá trị tìm được của x và y thoả mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : Một mình, vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 3 giờ (hay 3 giờ 45 phút).
Một mình, vòi thứ hai chảy đầy
– giờ (hay 2 giờ 30 phút).
II. BÀI TẬP
33. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng hiệu của chúng bằng 1275 và nếu lấy số
lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 3 và số dư là 125.
34. Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì
được một số lớn hơn số đã cho là 36. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành là 110. Tìm số đã cho.
35. Một đội thuỷ lợi theo kế hoạch phải sửa chữa một đoạn để trong một thời gian quy định. Biết rằng nếu bớt đi 3 người thì đội phải kéo dài thêm 6 ngày, còn nếu có thêm 2 người thì đội hoàn thành trước thời gian quy định 2 ngày. Hỏi đội có bao nhiêu người và kế hoạch dự định là bao nhiêu ngày, nếu năng suất mọi người như nhau.
36. Hai công nhân nếu làm chung một công việc thì mất 40 giờ. Nếu người
thứ nhất làm 5 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì hoàn thành ở công việc. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì mất bao nhiêu giờ mới hoàn
thành công việc ?
37. Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/h. Biết tổng chiều dài quãng đường AB và BC là 165km và thời gian ô tô đi quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB, BC.
38. Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Nhờ sắp
xếp hợp lí dây chuyền sản xuất nên xí nghiệp I đã vượt mức 12% kế hoạch, xí nghiệp II đã vượt mức 10% kế hoạch, do đó mà hai xí nghiệp đã làm được 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch,
39. Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100m2. Nếu cùng giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m. Tính diện tích của thửa ruộng đó.
40. Quãng đường AB gồm đoạn lên dốc dài 4km, đoạn xuống dốc dài 5km.
Một người đi xe đạp từ A đến B mất 40 phút và đi từ B về A mất 41 phút (vận tốc lúc đi và lúc về bằng nhau, vận tốc xuống dốc lúc đi và lúc về
cũng bằng nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống dốc.
41. Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12km rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30 phút. Nếu cũng trên quãng sông ấy, ca nô xuôi dòng 4km rồi ngược dòng 8km thì hết 1 giờ 20 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước.
42. Dung dịch thứ nhất chứa 30% axit nitric, dung dịch thứ hai chứa 55%
axit nitric. Hỏi phải trộn bao nhiêu lít dung dịch loại thứ nhất với dung dịch loại thứ hai để được 100 lít dung dịch chứa 50% axit nitric ?
43. Trong một phòng họp có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 5 người thì có 9 người không có chỗ ngồi. Nếu xếp ghế 6 người thì thừa một ghế. Hoi phòng họp có bao nhiêu ghế và có bao nhiêu người dự họp ?
II. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
(1)
33. Gọi số lớn là x, số nho là y (xe N’, ye N’,x – y). Vì hiệu của hai số là 1275, ta có phương trình :
X-y=1275 Chia số lớn cho số nhỏ thì được thương là 3 và dư là 125, ta có :
x=3y+125 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : *
Sx-y=1275
x = 3y+125 Giải hệ phương trình này được x = 1850, y= 575. Tra lời : Số lớn là 1850 ; số nhỏ là 575.
34. Gọi chữ số hàng chục của số có hai chữ số phải tìm là x, chữ số hàng đơn vị của số đó là y(x, y là các chữ số 0 < x <9 , 0< 959). Số có hai chữ số phải tìm là 10x +y. Số được viết bởi hai chữ số x, y nhưng theo thứ tự ngược lại là 10y+x Vì số thứ hai hơn số thứ nhất 36, ta có : 10y+x10x – y = 36 hay –9x+9y = 110. Mặt khác do tổng của hai số bằng 110, ta lại có : 10x +y +10y + x = 110 hay 11x +1 ly = 110. Vậy ta có hệ phương trình: . 1-9x+9y = 36 +lly = 110 Giải hệ phương trình này được : x = 3, y =7. Trả lời: Số phải tìm là 37. 35. Gọi x là số người của đội thuỷ lợi (xe Z và x > 3).
Gọi y là số ngày đội phải làm theo kế hoạch (y^2). Số công lao động dự định là xy.
f(x – 3)(y+6) = xy
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
[(x + 2)(y-2) = xy
Giải hệ phương trình được : x = 8, y =10.
Trả lời : Số người của đội thủy lợi là 8 người.
Số ngày đội thuỷ lợi dự định hoàn thành sửa chữa để là 10 ngày.
36. Gọi x và y theo thứ tự là số giờ cần thiết để một mình người thứ nhất,
người thứ hai làm xong công việc (x > 40, y > 40). Mỗi giờ người thứ nhất làm được 2 (công việc), mỗi giờ người thứ hai làm được
công việc).
Mỗi giờ cả hai người làm được 1 (công việc), ta có phương trình :
40
1 1 -+- X y
1 =
40
Trong 5 giờ người thứ nhất làm được ? (công việc), trong 6 giờ người thứ hai làm được công việc).
Vì người thứ nhất làm 5 giờ và người thứ hai là
6 giờ thì được
(công việc), ta có phương trình :
6
+
X
>
y
15
1 1 -+-
1 —
+
Kết hợp hai phương trình trên, ta có hệ phương trình :
5 |-
6 –
2 =
+
:. y 15
Giải hệ phương trình này được : x = 60, y=120 thoả mãn điều kiện của ấn.
Trả lời: Một mình, người thứ nhất làm xong công việc trong 60 giờ.
Một mình, người thứ hai làm xong công việc trong 120 giờ.
37. Gọi x (giờ) là thời gian ô tô đi quãng đường AB, y (giờ) là thời gian ô tô
đi quãng đường BC (x > 0, yo, và x <y).
Chiều dài quãng đường AB là 50x (km), chiều dài quãng đường BC là 45y (km).
Vì tổng chiều dài quãng đường AB và BC là 165km, ta có phương trình :
50x +45y=165
Theo đề bài thời gian ô tô đi quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi
quãng đường BC là 30 phút hay 5 giờ, ta có phương trình :
x=y=+
Kết hợp hai phương trình trên, ta có hệ phương trình :
(50x +45y = 165
Giải hệ phương trình này được : x =1,5 ; y = 2 thoả mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : Thời gian ô tô đi quãng đường AB là 1,5 giờ (hay 1 giờ 30 phút).
Thời gian ô tô đi quãng đường BC là 2 giờ.
38. Gọi x là số dụng cụ xí nghiệp I phải làm theo kế hoạch (xe Z, x < 360)
Gọi y là số dụng cụ xí nghiệp II phải làm theo kế hoạch ( ye Z, y< 360) Cả hai xí nghiệp phải làm 360 dụng cụ, ta có phương trình: X + y = 360 12x 112x Số dụng cụ xí nghiệp 1 đã làm được là x+4^ =114 100 100 10y 110y Số dụng cụ xí nghiệp II đã làm được là y+ = 100 100 Cả hai xí nghiệp đã làm được 400 dụng cụ, ta có phương trình : 112x 110y = 400 – + 100 100 Kết hợp hai phương trình trên, ta có hệ phương trình : (x+y = 360 112x 110y = 400 ( 100 100 Giải hệ phương trình được : x = 200, y=160 thoả mãn điều kiện của ẩn. Trả lời : Theo kế hoạch, xí nghiệp I phải làm 200 dụng cụ. Theo kế hoạch, xí nghiệp II phải làm 160 dụng cụ. 39. Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (m), chiều rộng của hình chữ nhật là y (m) với x > 2, y 2 thì diện tích của hình chữ nhật là xy(m). Nếu tăng chiều dài thêm 2m, tăng chiều rộng thêm 3m thì chiều dài của hình chữ nhật là x +2 (m), chiều rộng của hình chữ nhật là y+3 (1) và diện tích của hình chữ nhật là (x + 2)(y+3) (m^.
Vì diện tích của hình chữ nhật tăng thêm 100m, ta có phương trình :
(x+2)(y+3) = xy +100 Nếu giảm cả chiều dài lẫn chiều rộng đi 2m thì chiều dài của hình chữ nhật là x-2 (m), chiều rộng của hình chữ nhật là y-2 (m), và diện tích của hình chữ nhật là (x-2)(y-2
Vì diện tích của hình chữ nhật giảm đi 68m, ta có phương trình : (x-2)(y-2) = xy – 68
(x+2)(y + 3) = xy +100
Kết hợp (1) và (2), ta có hệ phương trình:
l(x-2)(y-2)= xy – 68
Giải hệ phương trình này được x = 22, y=14 thoả mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : Chiều dài của thửa ruộng là 22m.
Chiều rộng của thửa ruộng là 14m.
40. Gọi vận tốc của người đi xe đạp trên đoạn lên dốc, trên đoạn xuống dốc lần lượt là x (km/h) và y (km/h). Điều kiện x > 0, y > 0.
Thời gian người đi xe đạp đi trên đoạn lên dốc, trên đoạn xuống dốc khi đi từ A đến B lần lượt là 3 (giờ) và 5 giờ).
40
Từ A đến B người đi xe đạp đi hết 40 phút hay ” giờ, ta có phương trình :
60
4 – X
5 +-
y
40 =
60
Thời gian người đi xe đạp đi trên đoạn lên dốc, trên đoạn xuống dốc khi đi từ B về A lần lượt là 5 giờ) và (giờ).
Từ B về A người đi xe đạp đi hết 41 phút hay 4 giờ, ta có phương trình :
5 4 41 – +- =
X y 60 Kết hợp hai phương trình trên, ta có hệ phương trình :
(4 5 40 -+-=X y 60 | 5 4 41
x y 60
Giải hệ phương trình này được : x =12, y=15 thoả mãn điều kiện của ản.
Trả lời:
Vận tốc của người đi xe đạp trên đoạn lên dốc là 12km/h, trên
đoạn xuống dốc là 15km/h. 41. Gọi vận tốc của ca nô là x (km/h), vận tốc dòng nước là y (km/h). Điều
kiện x > 0, y > 0 và x >y.
+
2
+=
+
Vận tốc của ca nô khi đi xuôi dòng nước là x+y (km/h), vận tốc của ca nô khi đi ngược dòng nước là x–y (km/h). Thời gian ca nô đi xuôi dòng 12km là lý (giờ), thời gian ca nô đi
X + y ngược dòng 12km là 14 (giờ).
X-y Vì ca nô xuôi dòng 12km, rồi ngược dòng 12km hết 2 giờ 30 phút hay 7 giờ, ta có phương trình :
12
12
– x+y
12 — X-y
5 – 2
Thời gian ca nô đi xuôi dòng 4km là
” x+y
(giờ), thời gian ca nô đi
8
ngược dòng 8km là
°
(giờ).
X – y
Vì ca nô xuôi dòng 4km, rồi ngược dòng 8km hết 1 giờ 20 phút hay : giờ, ta có phương trình:
4 8 4
— +
x+y X-y 3 Kết hợp hai phương trình trên, ta có hệ phương trình :
| 12 12 5 at
x+y X
=
tim
t-
(x+y X-y 3 Giải hệ phương trình này được : x =10, y=2 thoả mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : Vận tốc của ca nô là 10km/h, vận tốc của dòng nước là 2km/h.
42. Gọi x là số lít dung dịch loại thứ nhất, y là số lít dung dịch loại thứ hai
(x > 0, y > 0, x < 100 và y< 100). Tổng số lít dung dịch cả hai loại là 100 lít, ta có phương trình : x+y=100 bitheannán 1: 30x Lượng axit nitric chứa trong x lít dung dịch loại thứ nhất là 100 lượng axit nitric chứa trong y lít dung dịch loại thứ hai là 22 và lượng 100 axit nitric chứa trong 100 lít dung dịch tạo thành là 100.50% = 50. Ta có phương trình: 30X,5y = 50 100 100 Kết hợp hai phương trình trên, ta có hệ phương trình : x+y=100 30x 55y – 50 (100 100 Hệ phương trình này có nghiệm x = 20, y= 80 thoả mãn điều kiện của ẩn. Trả lời : Số lít dung dịch loại thứ nhất là 20 lít. Số lít dung dịch loại thứ hai là 80 lít. 43. Gọi x là số ghế, y là số người. Điều kiện xe z’, ye zh, x > 1, y>9.
Nếu xếp mỗi ghế 5 người thì số người được ngồi ghế là 5x. Vì còn có 9 người không có chỗ ngồi nên tổng số người trong phòng họp là 5x +9. Ta có phương trình : 5x +9=y Nếu xếp mỗi ghế 6 người thì thừa một ghế, nghĩa là số người trong phòng họp bằng : 6(x-1)=y
(2)
(5x+9= y Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
“16(x-1)=y Giải hệ phương trình này, được : x =15, y= 84 thoả mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : Trong phòng họp có 15 ghế và 84 người.
Phân tích : Chiều dài, chiều rộng cũng như diện tích của mảnh đất trước và sau khi tăng chiều dài và tăng chiều rộng đều chưa biết. Đã biết chu vị của mảnh đất là 80m, và diện tích của mảnh đất tăng thêm 195m2 sau khi đã tăng chiều dài và chiều rộng. Do đó nếu chọn x là chiều dài, y là chiều rộng của mảnh đất ta có thể biểu thị được chu vi và diện tích của mảnh đất qua x, y để có một hệ hai phương trình bậc nhất với hai ẩn là x và y.
Giải:
Gọi chiều dài của mảnh đất là x(m), chiều rộng của mảnh đất là y(m). Điều kiện x > 0, y > 0. Khi đó, chu vi của mảnh đất là 2(x + y) mét và diện tích của mảnh đất là xy(m2).
Theo đề bài, chu vi của mảnh đất là 80m, ta có phương trình:
2(x + y) = 80. (1)
Chiều dài của mảnh đất sau khi tăng thêm 3in là x+3 (m).
Chiều rộng của mảnh đất sau khi tăng thêm 5m là y+5 (m).
Diện tích của mảnh đất sau khi tăng chiều dài 3m, tăng chiều rộng 5m là (x+3)(y +5) (m2).
Theo đề bài, diện tích của mảnh đất tăng thêm 195m2, ta có phương trình : (x+3)(y + 5) = xy +195.
(2)
inh. S2(x+y)=80 Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:{
|(x+3)(y+5) = xy +195.
Giải hệ phương trình :
(20(x + y) = 80
x+y = 40 |(x+3)(y+5)= xy =195 xy +5x+3y +15= xy+195
x + y = 40
5x + 3y = 180 Rút x từ phương trình x+y = 40 , ta được x = 40-y.
Thay giá trị này của x vào phương trình 3x +5y = 180, ta có :
5(40- y) + 3y = 180 200- 5y+3y = 180
-2y = -20
y=10
Thay y=10 vào biểu thức x = 40-y được x = 40–10 = 30.
Trả lời : Chiều dài của mảnh đất là 30m.
Chiều rộng của mảnh đất là 10m.
Ví dụ 10: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sai 1 giờ 30 phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai cho chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ được 1 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể ?
Phân tích : Theo đề bài, hai vòi cùng chảy trong 1 giờ 30 phút hay ? giờ thì đầy bể, nên trong 1 giờ cả hai cùng chảy được li (bể). Cũng vậy lượng nước mà mỗi vòi chảy vào bể trong một giờ và số giờ cần thiết vòi đó chảy đầy bể là hai đại lượng nghịch đảo của nhau.
Giải: Gọi x là số giờ để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể, y là số giờ để một mình vòi thứ hai chảy
X
Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được (bể) ; vòi thứ hai chảy được và cả hai vòi chảy được 1 (bể).
– X
Y
Trong một giờ cả hai vòi chảy được 1:
دیا |M
نادرا
có phương trình :
1 – X
1 2 +-=
y 3
(1) Trong 15 phút hay giờ, vòi thứ nhất chảy được 1 (b) ; trong 20 phút hay giờ vòi thứ hai chảy được sy (be).
Cả hai vòi chảy được
ta có phương trình :
1 1 1 4x3y 5
–
+
n.
1
2
– |x
+-
y
=
3
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình :
t
=–
(4x 3y 5 Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ :
Đặt == u ; ==y, ta có:
utv
3
(3u +3v = 2 111,1″ (15u +20v = 12
(15u+15v = 10 15u+20v = 12
(15u+6=10
(15u+15v=10
14
(4x =15
x =33
4x = 15
Suy ra : x 15
Suy ra: : 2
2y=5 hl=21
Ly
5
11
Các giá trị tìm được của x và y thoả mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : Một mình, vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 3 giờ (hay 3 giờ 45 phút).
Một mình, vòi thứ hai chảy đầy
– giờ (hay 2 giờ 30 phút).
II. BÀI TẬP
33. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng hiệu của chúng bằng 1275 và nếu lấy số
lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 3 và số dư là 125.
34. Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì
được một số lớn hơn số đã cho là 36. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành là 110. Tìm số đã cho.
35. Một đội thuỷ lợi theo kế hoạch phải sửa chữa một đoạn để trong một thời gian quy định. Biết rằng nếu bớt đi 3 người thì đội phải kéo dài thêm 6 ngày, còn nếu có thêm 2 người thì đội hoàn thành trước thời gian quy định 2 ngày. Hỏi đội có bao nhiêu người và kế hoạch dự định là bao nhiêu ngày, nếu năng suất mọi người như nhau.
36. Hai công nhân nếu làm chung một công việc thì mất 40 giờ. Nếu người
thứ nhất làm 5 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì hoàn thành ở công việc. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì mất bao nhiêu giờ mới hoàn
thành công việc ?
37. Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/h. Biết tổng chiều dài quãng đường AB và BC là 165km và thời gian ô tô đi quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB, BC.
38. Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Nhờ sắp
xếp hợp lí dây chuyền sản xuất nên xí nghiệp I đã vượt mức 12% kế hoạch, xí nghiệp II đã vượt mức 10% kế hoạch, do đó mà hai xí nghiệp đã làm được 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch,
39. Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100m2. Nếu cùng giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m. Tính diện tích của thửa ruộng đó.
40. Quãng đường AB gồm đoạn lên dốc dài 4km, đoạn xuống dốc dài 5km.
Một người đi xe đạp từ A đến B mất 40 phút và đi từ B về A mất 41 phút (vận tốc lúc đi và lúc về bằng nhau, vận tốc xuống dốc lúc đi và lúc về
cũng bằng nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống dốc.
41. Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12km rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30 phút. Nếu cũng trên quãng sông ấy, ca nô xuôi dòng 4km rồi ngược dòng 8km thì hết 1 giờ 20 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước.
42. Dung dịch thứ nhất chứa 30% axit nitric, dung dịch thứ hai chứa 55%
axit nitric. Hỏi phải trộn bao nhiêu lít dung dịch loại thứ nhất với dung dịch loại thứ hai để được 100 lít dung dịch chứa 50% axit nitric ?
43. Trong một phòng họp có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 5 người thì có 9 người không có chỗ ngồi. Nếu xếp ghế 6 người thì thừa một ghế. Hoi phòng họp có bao nhiêu ghế và có bao nhiêu người dự họp ?
II. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
(1)
33. Gọi số lớn là x, số nho là y (xe N’, ye N’,x – y). Vì hiệu của hai số là 1275, ta có phương trình :
X-y=1275 Chia số lớn cho số nhỏ thì được thương là 3 và dư là 125, ta có :
x=3y+125 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : *
Sx-y=1275
x = 3y+125 Giải hệ phương trình này được x = 1850, y= 575. Tra lời : Số lớn là 1850 ; số nhỏ là 575.
34. Gọi chữ số hàng chục của số có hai chữ số phải tìm là x, chữ số hàng đơn vị của số đó là y(x, y là các chữ số 0 < x <9 , 0< 959). Số có hai chữ số phải tìm là 10x +y. Số được viết bởi hai chữ số x, y nhưng theo thứ tự ngược lại là 10y+x Vì số thứ hai hơn số thứ nhất 36, ta có : 10y+x10x – y = 36 hay –9x+9y = 110. Mặt khác do tổng của hai số bằng 110, ta lại có : 10x +y +10y + x = 110 hay 11x +1 ly = 110. Vậy ta có hệ phương trình: . 1-9x+9y = 36 +lly = 110 Giải hệ phương trình này được : x = 3, y =7. Trả lời: Số phải tìm là 37. 35. Gọi x là số người của đội thuỷ lợi (xe Z và x > 3).
Gọi y là số ngày đội phải làm theo kế hoạch (y^2). Số công lao động dự định là xy.
f(x – 3)(y+6) = xy
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
[(x + 2)(y-2) = xy
Giải hệ phương trình được : x = 8, y =10.
Trả lời : Số người của đội thủy lợi là 8 người.
Số ngày đội thuỷ lợi dự định hoàn thành sửa chữa để là 10 ngày.
36. Gọi x và y theo thứ tự là số giờ cần thiết để một mình người thứ nhất,
người thứ hai làm xong công việc (x > 40, y > 40). Mỗi giờ người thứ nhất làm được 2 (công việc), mỗi giờ người thứ hai làm được
công việc).
Mỗi giờ cả hai người làm được 1 (công việc), ta có phương trình :
40
1 1 -+- X y
1 =
40
Trong 5 giờ người thứ nhất làm được ? (công việc), trong 6 giờ người thứ hai làm được công việc).
Vì người thứ nhất làm 5 giờ và người thứ hai là
6 giờ thì được
(công việc), ta có phương trình :
6
+
X
>
y
15
1 1 -+-
1 —
+
Kết hợp hai phương trình trên, ta có hệ phương trình :
5 |-
6 –
2 =
+
:. y 15
Giải hệ phương trình này được : x = 60, y=120 thoả mãn điều kiện của ấn.
Trả lời: Một mình, người thứ nhất làm xong công việc trong 60 giờ.
Một mình, người thứ hai làm xong công việc trong 120 giờ.
37. Gọi x (giờ) là thời gian ô tô đi quãng đường AB, y (giờ) là thời gian ô tô
đi quãng đường BC (x > 0, yo, và x <y).
Chiều dài quãng đường AB là 50x (km), chiều dài quãng đường BC là 45y (km).
Vì tổng chiều dài quãng đường AB và BC là 165km, ta có phương trình :
50x +45y=165
Theo đề bài thời gian ô tô đi quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi
quãng đường BC là 30 phút hay 5 giờ, ta có phương trình :
x=y=+
Kết hợp hai phương trình trên, ta có hệ phương trình :
(50x +45y = 165
Giải hệ phương trình này được : x =1,5 ; y = 2 thoả mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : Thời gian ô tô đi quãng đường AB là 1,5 giờ (hay 1 giờ 30 phút).
Thời gian ô tô đi quãng đường BC là 2 giờ.
38. Gọi x là số dụng cụ xí nghiệp I phải làm theo kế hoạch (xe Z, x < 360)
Gọi y là số dụng cụ xí nghiệp II phải làm theo kế hoạch ( ye Z, y< 360) Cả hai xí nghiệp phải làm 360 dụng cụ, ta có phương trình: X + y = 360 12x 112x Số dụng cụ xí nghiệp 1 đã làm được là x+4^ =114 100 100 10y 110y Số dụng cụ xí nghiệp II đã làm được là y+ = 100 100 Cả hai xí nghiệp đã làm được 400 dụng cụ, ta có phương trình : 112x 110y = 400 – + 100 100 Kết hợp hai phương trình trên, ta có hệ phương trình : (x+y = 360 112x 110y = 400 ( 100 100 Giải hệ phương trình được : x = 200, y=160 thoả mãn điều kiện của ẩn. Trả lời : Theo kế hoạch, xí nghiệp I phải làm 200 dụng cụ. Theo kế hoạch, xí nghiệp II phải làm 160 dụng cụ. 39. Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (m), chiều rộng của hình chữ nhật là y (m) với x > 2, y 2 thì diện tích của hình chữ nhật là xy(m). Nếu tăng chiều dài thêm 2m, tăng chiều rộng thêm 3m thì chiều dài của hình chữ nhật là x +2 (m), chiều rộng của hình chữ nhật là y+3 (1) và diện tích của hình chữ nhật là (x + 2)(y+3) (m^.
Vì diện tích của hình chữ nhật tăng thêm 100m, ta có phương trình :
(x+2)(y+3) = xy +100 Nếu giảm cả chiều dài lẫn chiều rộng đi 2m thì chiều dài của hình chữ nhật là x-2 (m), chiều rộng của hình chữ nhật là y-2 (m), và diện tích của hình chữ nhật là (x-2)(y-2
Vì diện tích của hình chữ nhật giảm đi 68m, ta có phương trình : (x-2)(y-2) = xy – 68
(x+2)(y + 3) = xy +100
Kết hợp (1) và (2), ta có hệ phương trình:
l(x-2)(y-2)= xy – 68
Giải hệ phương trình này được x = 22, y=14 thoả mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : Chiều dài của thửa ruộng là 22m.
Chiều rộng của thửa ruộng là 14m.
40. Gọi vận tốc của người đi xe đạp trên đoạn lên dốc, trên đoạn xuống dốc lần lượt là x (km/h) và y (km/h). Điều kiện x > 0, y > 0.
Thời gian người đi xe đạp đi trên đoạn lên dốc, trên đoạn xuống dốc khi đi từ A đến B lần lượt là 3 (giờ) và 5 giờ).
40
Từ A đến B người đi xe đạp đi hết 40 phút hay ” giờ, ta có phương trình :
60
4 – X
5 +-
y
40 =
60
Thời gian người đi xe đạp đi trên đoạn lên dốc, trên đoạn xuống dốc khi đi từ B về A lần lượt là 5 giờ) và (giờ).
Từ B về A người đi xe đạp đi hết 41 phút hay 4 giờ, ta có phương trình :
5 4 41 – +- =
X y 60 Kết hợp hai phương trình trên, ta có hệ phương trình :
(4 5 40 -+-=X y 60 | 5 4 41
x y 60
Giải hệ phương trình này được : x =12, y=15 thoả mãn điều kiện của ản.
Trả lời:
Vận tốc của người đi xe đạp trên đoạn lên dốc là 12km/h, trên
đoạn xuống dốc là 15km/h. 41. Gọi vận tốc của ca nô là x (km/h), vận tốc dòng nước là y (km/h). Điều
kiện x > 0, y > 0 và x >y.
+
2
+=
+
Vận tốc của ca nô khi đi xuôi dòng nước là x+y (km/h), vận tốc của ca nô khi đi ngược dòng nước là x–y (km/h). Thời gian ca nô đi xuôi dòng 12km là lý (giờ), thời gian ca nô đi
X + y ngược dòng 12km là 14 (giờ).
X-y Vì ca nô xuôi dòng 12km, rồi ngược dòng 12km hết 2 giờ 30 phút hay 7 giờ, ta có phương trình :
12
12
– x+y
12 — X-y
5 – 2
Thời gian ca nô đi xuôi dòng 4km là
” x+y
(giờ), thời gian ca nô đi
8
ngược dòng 8km là
°
(giờ).
X – y
Vì ca nô xuôi dòng 4km, rồi ngược dòng 8km hết 1 giờ 20 phút hay : giờ, ta có phương trình:
4 8 4
— +
x+y X-y 3 Kết hợp hai phương trình trên, ta có hệ phương trình :
| 12 12 5 at
x+y X
=
tim
t-
(x+y X-y 3 Giải hệ phương trình này được : x =10, y=2 thoả mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : Vận tốc của ca nô là 10km/h, vận tốc của dòng nước là 2km/h.
42. Gọi x là số lít dung dịch loại thứ nhất, y là số lít dung dịch loại thứ hai
(x > 0, y > 0, x < 100 và y< 100). Tổng số lít dung dịch cả hai loại là 100 lít, ta có phương trình : x+y=100 bitheannán 1: 30x Lượng axit nitric chứa trong x lít dung dịch loại thứ nhất là 100 lượng axit nitric chứa trong y lít dung dịch loại thứ hai là 22 và lượng 100 axit nitric chứa trong 100 lít dung dịch tạo thành là 100.50% = 50. Ta có phương trình: 30X,5y = 50 100 100 Kết hợp hai phương trình trên, ta có hệ phương trình : x+y=100 30x 55y – 50 (100 100 Hệ phương trình này có nghiệm x = 20, y= 80 thoả mãn điều kiện của ẩn. Trả lời : Số lít dung dịch loại thứ nhất là 20 lít. Số lít dung dịch loại thứ hai là 80 lít. 43. Gọi x là số ghế, y là số người. Điều kiện xe z’, ye zh, x > 1, y>9.
Nếu xếp mỗi ghế 5 người thì số người được ngồi ghế là 5x. Vì còn có 9 người không có chỗ ngồi nên tổng số người trong phòng họp là 5x +9. Ta có phương trình : 5x +9=y Nếu xếp mỗi ghế 6 người thì thừa một ghế, nghĩa là số người trong phòng họp bằng : 6(x-1)=y
(2)
(5x+9= y Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
“16(x-1)=y Giải hệ phương trình này, được : x =15, y= 84 thoả mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : Trong phòng họp có 15 ghế và 84 người.