I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
| • Cho đoạn thẳng AB, quỹ tích các điểm M sao cho góc AMB có số đo bằng α không đổi (0° < α < 180°) là hai cung tròn có số đo 360° – 2α đối xứng nhau qua AB.
Quỹ tích này được gọi là cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng AB. • Cách giải bài toán quỹ tích : Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần: – Phần thuận : Mọi điểm có tích chất T đều thuộc hình H. – Phần đảo : Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T. Từ đó rút ra kết luận : Quỹ tích (hay tập hợp) có tính chất T là hình H. |
Nguồn website giaibai5s.com
Ví dụ 7:Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định, góc A = 60° không đổi. Tìm quỹ tích giao điểm I của ba tia phân giác trong của tam giác ABC.
Giải: Phần thuận :
BI là tia phân giác của góc B nên IBC = ABC. CI là tia phân giác của góc C nên ACB = ACB.
Do đó :
IBC + ICB=-(ABC + ACB)
= -(180° – BAC)
B
Hình 164
= =(180° – 60°) = 60° Trong tam giác BIC, ta có :
BIC = 180° – (ABC + ACB) = 180° — 60° = 120°
Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới góc 120° nên I thuộc cung chứa góc 120° dựng trên đoạn thẳng BC (trên cùng một nửa mặt phẳng chứa đỉnh A, bờ BC).
Phần đảo : Lấy điểm I bất kì trên cung chứa góc 120° nói trên.
Vẽ tia Bx sao cho BI là tia phân giác của góc CBx , vẽ tia Cy sao cho CI là tia phân giác của góc BCy.
Hai tia Ax và Cy cắt nhau ở A. Vì I thuộc cung chứa góc 120° dựng trên đoạn BC nên BC = 120° do đó
BC + CB=180° – BIC = 180° – 120° = 60°.
Do BI là phân giác của góc ABC, CI là phân giác của góc ACB nên ABC+ACB= 2(BC +CB) = 2.60° =120°,
Suy ra BAC =180° 120° = 60°.
Mặt khác I là giao điểm các tia phân giác của góc ABC và góc ACB nên I là giao điểm các tia phân giác trong của tam giác ABC.
Kết luận : Quỹ tích giao điểm I của tia phân giác trong của tam giác ABC có cạnh BC cố định, góc A = 60° không đổi là cung chứa góc 120° dựng trên đoạn BC.
II. BÀI TẬP
36. Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm ba tia phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.
37. Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây cung PAB, gọi I là trung điểm AB. Tìm quỹ tích điểm I khi PAB thay đổi.
38. Dựng tam giác ABC, biết BC = 7cm, A = 45° và đường cao
AH = 4cm 39. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD = BC. Tìm quỹ tích điểm ) khi C thay đổi.
40. Dựng hình vuông ABCD biết đỉnh A, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N
thuộc cạnh CD.
41. Cho góc xOy = 30°. Hai điểm A và B lần lượt chuyển động trên Ox,
Oy sao cho AB=a không đổi. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB. Tim tập hợp điểm I.
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
36. Phần thuận :
BIC = 180o – (IBC+ICB)
1800 ABC + ACB
= 180o – 45o = 1350
Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới góc 135° nên I nằm trên cung chứa góc 135° dựng trên đoạn BC (nằm trên cùng một nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ BC).
Phần đảo : Trên cung chứa góc 135° nói trên, lấy điểm I bất kì.
Vẽ tia Bx sao cho BI là tia phân giác của góc CBx , vẽ tia Cy sao cho CI là tia phân giác của góc BCy, hai tia Bx và Cy cắt nhau tại A”.
Bạn đọc hãy chứng minh rằng I là giao điểm các phân giác trong của tam giác vuông ABC.
Kết luận : Quỹ tích điểm I, giao điểm ba tia phân giác trong của tam giác ABC khi BC cố định A thay đổi là cung chứa góc 135° dựng trên BC.
37. Phần thuận :
Nối 0 với I, ta có OILAB, suy ra OIP = 90°.
Điểm I nhìn đoạn OP cố định dưới góc 90° nên I nằm trên đường tròn đường kính OP.
Phần đảo :
Lấy điểm I bất kì trên đường tròn đường kính OP.
Đường thẳng PI cắt đường tròn (O) ở A” và B.
Bạn đọc hãy chứng minh I là trung điểm của dây cung PAB.
Kết luận : Quỹ tích trung điểm I của AB là đường tròn đường kính OP.
Hinh 166
38. Cách dựng :
– Dựng đoạn thẳng BC = 7cm.
– Dựng cung chứa góc 45° trên đoạn x thẳng BC.
– Dựng đường thẳng xy song song với BC và cách BC một khoảng 4cm.
Gọi giao điểm của đường thẳng xy với cung chứa góc là A và A. Ta có hai tam giác ABC và ABC đều thoả mãn đề bài.
Chứng minh: Bạn đọc tự chứng minh.
B
Hình 167
39. Phần thuận :
Qua A dựng tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn (O) trên đó lấy điểm A sao cho AA = AB, như vậy điểm A cố định.
Tam giác AAD và tam giác BAC có : AA = AB (theo cách dựng điểm A ) AAD = ABC (vì cùng phụ với góc BAC) AD = BC (giả thiết).
Do đó AAAD = ABAC (cgc), suy ra ADA= BCA = 90°.
Điểm D và AA cố định dưới góc 90° nên điểm D thuộc đường tròn đường kính AA.
Giới hạn : Khi điểm C trùng với điểm B thì điểm D trùng với điểm A.
Khi điểm C trùng với điểm A thì điểm D trùng với điểm A .
Vì điểm C chỉ chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB nên điểm D chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AA.
Phần đảo :
Lấy điểm D trên nửa đường tròn đường kính AA.
Tia AD cắt nửa đường kính AB ở C.
Bạn đọc hãy chứng minh rằng AD = BC.
Kết luận : Quỹ tích điểm D và C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính
AB là đường tròn đường kính AA”.
40. Phân tích :
Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD thoả mãn yêu cầu đề bài.
Ta thấy MCN =90o nên điểm C thuộc đường tròn đường kính MN.
Gọi giao điểm của AC với đường tròn đường kính MN là E (E khác điểm C), ta có MCE = NCE nên cung ME = NE , suy ra B. điểm E là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính MN (nửa đường tròn không chứa điểm C).
Vậy điểm C phải thỏa mãn hai điều kiện:
-C thuộc đường tròn đường kính MN.
-C thuộc tia AE. Do đó C là giao điểm của tia AE với đường tròn đường kính MN.
Cách dựng :
– Dựng đường tròn đường kính MN.
– Dựng điểm E là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính MN (nửa đường tròn không chứa điểm C).
– Giao điểm của tia AE với đường tròn đường kính MN là đỉnh C của hình vuông,
– Nối C với M, C với N rồi dựng ABL MC, AD l NC, ta được hình vuông ABCD thoả mãn yêu cầu đề bài.
Chứng minh:
Bạn đọc tự chứng minh.
41. Phần thuận :
I là tâm đường tròn ngoại AACB nên IA = IB.
Lại có AIB = 2AOB= 2.30° = 60° (góc ở tâm bằng hai góc nội tiếp cùng chắn curg AB).
Do đó AAIB là tam giác đều nên IB = AB = a, suy ra OI = a.
Vậy điểm I thuộc đường tròn tâm 0 bán kính a.
Giới hạn: Qua O vẽ tia OzlOx, vẽ tia Ot lOy.
Các tia Oz, Ot cắt đường tròn (0) lần lượt tại I và II.
Khi A và B chuyển động trên Ox, Oy sao cho AB=a thì I chuyển động trên cung II của đường tròn (O; a).
Phần đảo : Lấy điểm I bất kì trên cung II , vẽ đường tròn (O;O) cắt Ox ở A, cắt Oy ở B.
Bạn đọc hãy chứng minh rằng ” là tâm đường tròn ngoại tiếp AAOB và AB = a.
Giải: Phần thuận :
BI là tia phân giác của góc B nên IBC = ABC. CI là tia phân giác của góc C nên ACB = ACB.
Do đó :
IBC + ICB=-(ABC + ACB)
= -(180° – BAC)
B
Hình 164
= =(180° – 60°) = 60° Trong tam giác BIC, ta có :
BIC = 180° – (ABC + ACB) = 180° — 60° = 120°
Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới góc 120° nên I thuộc cung chứa góc 120° dựng trên đoạn thẳng BC (trên cùng một nửa mặt phẳng chứa đỉnh A, bờ BC).
Phần đảo : Lấy điểm I bất kì trên cung chứa góc 120° nói trên.
Vẽ tia Bx sao cho BI là tia phân giác của góc CBx , vẽ tia Cy sao cho CI là tia phân giác của góc BCy.
Hai tia Ax và Cy cắt nhau ở A. Vì I thuộc cung chứa góc 120° dựng trên đoạn BC nên BC = 120° do đó
BC + CB=180° – BIC = 180° – 120° = 60°.
Do BI là phân giác của góc ABC, CI là phân giác của góc ACB nên ABC+ACB= 2(BC +CB) = 2.60° =120°,
Suy ra BAC =180° 120° = 60°.
Mặt khác I là giao điểm các tia phân giác của góc ABC và góc ACB nên I là giao điểm các tia phân giác trong của tam giác ABC.
Kết luận : Quỹ tích giao điểm I của tia phân giác trong của tam giác ABC có cạnh BC cố định, góc A = 60° không đổi là cung chứa góc 120° dựng trên đoạn BC.
II. BÀI TẬP
36. Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm ba tia phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.
37. Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây cung PAB, gọi I là trung điểm AB. Tìm quỹ tích điểm I khi PAB thay đổi.
38. Dựng tam giác ABC, biết BC = 7cm, A = 45° và đường cao
AH = 4cm 39. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD = BC. Tìm quỹ tích điểm ) khi C thay đổi.
40. Dựng hình vuông ABCD biết đỉnh A, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N
thuộc cạnh CD.
41. Cho góc xOy = 30°. Hai điểm A và B lần lượt chuyển động trên Ox,
Oy sao cho AB=a không đổi. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB. Tim tập hợp điểm I.
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
36. Phần thuận :
BIC = 180o – (IBC+ICB)
1800 ABC + ACB
= 180o – 45o = 1350
Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới góc 135° nên I nằm trên cung chứa góc 135° dựng trên đoạn BC (nằm trên cùng một nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ BC).
Phần đảo : Trên cung chứa góc 135° nói trên, lấy điểm I bất kì.
Vẽ tia Bx sao cho BI là tia phân giác của góc CBx , vẽ tia Cy sao cho CI là tia phân giác của góc BCy, hai tia Bx và Cy cắt nhau tại A”.
Bạn đọc hãy chứng minh rằng I là giao điểm các phân giác trong của tam giác vuông ABC.
Kết luận : Quỹ tích điểm I, giao điểm ba tia phân giác trong của tam giác ABC khi BC cố định A thay đổi là cung chứa góc 135° dựng trên BC.
37. Phần thuận :
Nối 0 với I, ta có OILAB, suy ra OIP = 90°.
Điểm I nhìn đoạn OP cố định dưới góc 90° nên I nằm trên đường tròn đường kính OP.
Phần đảo :
Lấy điểm I bất kì trên đường tròn đường kính OP.
Đường thẳng PI cắt đường tròn (O) ở A” và B.
Bạn đọc hãy chứng minh I là trung điểm của dây cung PAB.
Kết luận : Quỹ tích trung điểm I của AB là đường tròn đường kính OP.
Hinh 166
38. Cách dựng :
– Dựng đoạn thẳng BC = 7cm.
– Dựng cung chứa góc 45° trên đoạn x thẳng BC.
– Dựng đường thẳng xy song song với BC và cách BC một khoảng 4cm.
Gọi giao điểm của đường thẳng xy với cung chứa góc là A và A. Ta có hai tam giác ABC và ABC đều thoả mãn đề bài.
Chứng minh: Bạn đọc tự chứng minh.
B
Hình 167
39. Phần thuận :
Qua A dựng tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn (O) trên đó lấy điểm A sao cho AA = AB, như vậy điểm A cố định.
Tam giác AAD và tam giác BAC có : AA = AB (theo cách dựng điểm A ) AAD = ABC (vì cùng phụ với góc BAC) AD = BC (giả thiết).
Do đó AAAD = ABAC (cgc), suy ra ADA= BCA = 90°.
Điểm D và AA cố định dưới góc 90° nên điểm D thuộc đường tròn đường kính AA.
Giới hạn : Khi điểm C trùng với điểm B thì điểm D trùng với điểm A.
Khi điểm C trùng với điểm A thì điểm D trùng với điểm A .
Vì điểm C chỉ chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB nên điểm D chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AA.
Phần đảo :
Lấy điểm D trên nửa đường tròn đường kính AA.
Tia AD cắt nửa đường kính AB ở C.
Bạn đọc hãy chứng minh rằng AD = BC.
Kết luận : Quỹ tích điểm D và C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính
AB là đường tròn đường kính AA”.
40. Phân tích :
Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD thoả mãn yêu cầu đề bài.
Ta thấy MCN =90o nên điểm C thuộc đường tròn đường kính MN.
Gọi giao điểm của AC với đường tròn đường kính MN là E (E khác điểm C), ta có MCE = NCE nên cung ME = NE , suy ra B. điểm E là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính MN (nửa đường tròn không chứa điểm C).
Vậy điểm C phải thỏa mãn hai điều kiện:
-C thuộc đường tròn đường kính MN.
-C thuộc tia AE. Do đó C là giao điểm của tia AE với đường tròn đường kính MN.
Cách dựng :
– Dựng đường tròn đường kính MN.
– Dựng điểm E là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính MN (nửa đường tròn không chứa điểm C).
– Giao điểm của tia AE với đường tròn đường kính MN là đỉnh C của hình vuông,
– Nối C với M, C với N rồi dựng ABL MC, AD l NC, ta được hình vuông ABCD thoả mãn yêu cầu đề bài.
Chứng minh:
Bạn đọc tự chứng minh.
41. Phần thuận :
I là tâm đường tròn ngoại AACB nên IA = IB.
Lại có AIB = 2AOB= 2.30° = 60° (góc ở tâm bằng hai góc nội tiếp cùng chắn curg AB).
Do đó AAIB là tam giác đều nên IB = AB = a, suy ra OI = a.
Vậy điểm I thuộc đường tròn tâm 0 bán kính a.
Giới hạn: Qua O vẽ tia OzlOx, vẽ tia Ot lOy.
Các tia Oz, Ot cắt đường tròn (0) lần lượt tại I và II.
Khi A và B chuyển động trên Ox, Oy sao cho AB=a thì I chuyển động trên cung II của đường tròn (O; a).
Phần đảo : Lấy điểm I bất kì trên cung II , vẽ đường tròn (O;O) cắt Ox ở A, cắt Oy ở B.
Bạn đọc hãy chứng minh rằng ” là tâm đường tròn ngoại tiếp AAOB và AB = a.