I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
| • Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).
• Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°. • Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. |
Nguồn website giaibai5s.com
Ví dụ 8 : Trên hình 171, tứ giác ABCD được chia thành ba tứ giác AMND, MNPQ và BCPQ bởi hai đoạn thẳng MN và PQ.
Chứng minh rằng nếu ba tứ giác AMND, MNPQ và BCPQ đều là các tứ giác nội tiếp thì tứ giác ABCD cũng là một tứ giác nội tiếp.
Giải: Nếu tứ giác AMND là tứ giác A M nội tiến thì A4N, -1800 (hai
R góc đối của tứ giác nội tiếp).
Mà | N + N2 = 180° (hai góc kề bù), suy ra A = N.. (1)
Nếu tứ giác BCPQ là tứ giác nội D N P C tiếp thì C+Q = 180° (hai góc đối của tứ giác nội tiếp).
Mà 2 + = 180° (hai góc kề bù), suy ra C=0,. (2)
Nếu tứ giác MNPQ là tứ giác nội tiếp thì Na +2 = 180° (hai góc đối của tứ giác nội tiếp). (3) .
Khi đó, từ (1), (2) và (3) ta có tứ giác ABCD có tổng hai góc đối diện là A+C = 180° nên tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp.
Ví dụ 9: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d nằm bên ngoài đường tròn. Từ O kẻ OHld, qua H kẻ một đường thẳng cắt đường tròn (0) ở A và B. Tiếp tuyến của đường tròn tại A và B cắt đường thẳng d lần lượt ở D và E.
a) Chứng minh bốn điểm A, 0, D, H cùng thuộc một đường tròn và bốn điểm 0, H, B, E cùng thuộc một đường tròn ;
b) So sánh các góc ADO, AHO và BEO ; c) Chứng minh H là trung điểm của DE.
Giá :
a) OHld (giả thiết) nên OHD = 90°.
AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) ở A (giả thiết) nên : OAD = 90°.
OAD=OHD=90° nên hai điểm A và H nằm trên đường tròn đường kính OD, hay bốn điểm A, 0, D, H cùng thuộc một đường tròn.
BE là tiếp tuyến của đường tròn (O) ở B nên OBE = 90°.
Ta có :
OHE + OBE = 90° +90°
do đó tứ giác OBEH là tứ giác nội tiếp, hay bốn điểm 0, H, B, E cùng thuộc một đường tròn.
b) Tứ giác AODH là tứ giác nội tiếp, ta có ODA =OHA D (hai góc nội tiếp cùng chăn cung OA ).
Tứ giác OBEH là tứ giác nội tiếp, ta có OHA = OEB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OB).
Suy ra ADO= AH = BEO.
c) Tam giác OAD và AOBE có :
A = B = 90°; OA = OB (bán kính đường tròn (O)
ADO = BEO (theo câu
b) Do đó AAOD = AOBE (cạnh góc vuông góc nhọn), suy ra OD=OE.
Vậy AODE cân ở 0, mà OH IDE nên OH là đường trung tuyến thuộc cạnh DE, vì thế HD = HE hay H là trung điểm của DE.
II, BÀI TẬP
42. Cho tam giác ABC, B = 60°. Hai tia phân giác của góc A và góc C cắt các cạnh BC và BA lần lượt ở A và C và cắt nhau ở I. Chứng minh :
a) Tứ giác BAIC là tứ giác nội tiếp đường tròn ;
b) Tam giác AIC là tam giác cân.
43. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là điểm đối xứng của H qua BC. Chứng minh :
a) Tứ giác ABHC là tứ giác nội tiếp ;
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
44. Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HB= HD. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh :
a) Tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp ;
b) CB là tia phân giác của góc ACE ;
c) Tam giác AHE là tam giác cân.
45. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là giao điểm các phân giác trong của góc B và góc C, còn E là giao điểm các phân giác ngoài của góc B và góc C, M là giao điểm của AE với đường tròn (O). Chứng minh :
a) Tứ giác BICE là tứ giác nội tiếp ;
b) M là trung điểm của IE.
46. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Biết AE.EC = BE.ED. Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp được đường tròn.
47. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Hai tiếp tuyến Ax và By. Gọi C là một điểm nằm giữa A và B, M là một điểm nằm trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với CM cắt Ax ở D, cắt By ở E.
a) Chứng minh tứ giác ACMD và BCME là các tứ giác nội tiếp ;
b) So sánh các góc MDC với góc MAB và góc MEC với góc MBA ;
c) Chứng minh tam giác CDE là tam giác vuông.
48. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BB và CC. Tia AO cắt đường tròn ở D và cắt BC ở I. Chứng minh :
a) Tứ giác BCBC là tứ giác nội tiếp;
b) AAB’C’U AABC ;
c) Tứ giác B’IDC là tứ giác nội tiếp.
III. HƯỚNG DẪN GIẢI- ĐÁP SỐ
42. a) Ta có A+C=180° – B = 180° ~60° = 120°
IA, IC theo thứ tự là tia phân giác của góc
A và góc C nên : IÁC – A và ICA = 6 Do đó IAC ICA = (A +C) =60°. Trong tam giác AIC, ta có : AIC = 180o – (IAC+ICA)
= 180o – 60° = 120°
Suy ra AIC = AIC = 120° (hai góc đối đỉnh).
Do đó IAC+IC AS-(A
60°.
C
Tứ giác ABC có AIC +ABC =120° +60° = 180° nên nội tiếp được đường tròn.
b) Tứ giác AICB nội tiếp đường tròn, nên: IAC = IBC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IC)
ICA’ = IBA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IA) Mà IBC = IBA (do BỊ là phân giác của góc B),
suy ra IAC = ICA.
Vậy tam giác IAC cân ở I.
43. a) Cách 1. H đối xứng với H qua BC nên BC là đường trung trực của HH, ta có ;
| BH = BH và CH = CH.
ABH’C = ABHC (c.c.c), do đó BHC = BHC Mà BHC =EHF (hai góc đối đỉnh)
Nên BHC = EHF
Vì EHF+A = 180°, nên BHC+A = 180°. B.
Vậy tứ giác ABHC nội tiếp được đường tròn.
Cách 2. ABHC = ABHC (c.c.c) nên BCH = BCH
Mà BCH = BAH (cùng phụ thuộc với góc ABC), suy ra BAH’ = BCH’
Hai điểm A và C nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BH
mà BAH = BCH nên A và C thuộc cùng một cung chứa góc dựng trên BH”,
do đó tứ giác ABHC nội tiếp được đường tròn.
b) ABHC = ABHC nên đường tròn ngoại tiếp ABHC bằng đường tròn ngoại tiếp ABHỨC.
Mà đường tròn ngoại tiếp ABHC bằng đường tròn ngoại tiếp AABC.Do đó đường tròn ngoại tiếp BHC bằng đường tròn
ngoại tiếp AABC.
44. a) AHC = AEC = 90° nên hai điểm H và E cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
Do đó tứ giác APIEC nội tiếp được đường tròn. b) AH là đường cao và là phân giác của góc BAD trong tam giác cân BAD nên A = u.
Mà C = A (vì cùng phụ với góc B), do đó Ĉ = 2.
Tứ giác AHEC nội tiếp được đường tròn (theo câu a) nên C = A2.
Suy ra C = C.
Vậy CB là tia phân giác của góc ACE
c) Vì C = C nên cung AH=HE, suy ra AH = HE.
Do đó tam giác AHD cân ở H.
45. a) BI và BE theo thứ tự là phân giác trong A và phân giác ngoài của góc B của AABC nên BỊ I BE , do đó IBE = 90°.
Tương tự ICE =90. Tứ giác BICE có tổng hai góc đối diện IBE +ICE = 90° +90° = 180° nên là tứ giác nội tiếp.
b) AI và AE là phân giác của góc A nên ba điểm A, I, E thẳng hàng và BAM = CAM, do đó MB=MC.
Tia Bị cắt đường tròn (O) ở N thì ABN = CBN nên AN = NC.
MBI =ISA(MC+NC),
MIB = sd (MB+ NA), do đó MBI = MIB.
Tam giác MIB cân ở M nên MI = MB. MBE = MEB (vì cùng phụ với hai góc bằng nhau MBI = MB),
do đó AMBE cân ở M, ta có MB = ME.
Suy ra MI = ME hay M là trung điểm của IE.
46. Theo giả thiết AE.EC = BE.ED suy ra :
AE BE
ED EC Ta lại có AEB=CED (hai góc đối đỉnh).
Do đó AAEB ACED (cgc), ta có : BAC = BDC.
Hai điểm A và D thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ BC mà BAC = BDC nên A và D thuộc cùng B một cung chứa góc dựng trên đoạn BC, nên bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn.47. a) Các tứ giác ACMD và BCME nội tiếp được đường tròn vì có tổng hai * góc đối diện bằng 180°.
b) Tứ giác ACMD nội tiếp đường ĐL tròn nên MDC=MAC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC).
c) AMB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)), suy ra
A co B MAB+MBA = 90°,
do đó MDC + MEC = 90°
nên ECD = 90°.
Vậy tam giác ECD vuông ở C.
48. a) Từ giả thiết suy ra BBC = CCB= 90°, do đó bốn điểm B, C, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BCBC là tứ giác nội tiếp.
b) Tứ giác BCBC nội tiếp đường tròn nên B+CBC = 180° (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp),
mà ABC +CBC = 180° (hai góc kề bù), do đó ABC = ABC. Lại có góc A chung.
Vậy AABCAABC (g-g).
c) Ta có B= ADC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC), mà BTCBC =180° nên IDC+ IBC = 180°. Vậy tứ giác BIDC là từ giác nội tiếp.
Chứng minh rằng nếu ba tứ giác AMND, MNPQ và BCPQ đều là các tứ giác nội tiếp thì tứ giác ABCD cũng là một tứ giác nội tiếp.
Giải: Nếu tứ giác AMND là tứ giác A M nội tiến thì A4N, -1800 (hai
R góc đối của tứ giác nội tiếp).
Mà | N + N2 = 180° (hai góc kề bù), suy ra A = N.. (1)
Nếu tứ giác BCPQ là tứ giác nội D N P C tiếp thì C+Q = 180° (hai góc đối của tứ giác nội tiếp).
Mà 2 + = 180° (hai góc kề bù), suy ra C=0,. (2)
Nếu tứ giác MNPQ là tứ giác nội tiếp thì Na +2 = 180° (hai góc đối của tứ giác nội tiếp). (3) .
Khi đó, từ (1), (2) và (3) ta có tứ giác ABCD có tổng hai góc đối diện là A+C = 180° nên tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp.
Ví dụ 9: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d nằm bên ngoài đường tròn. Từ O kẻ OHld, qua H kẻ một đường thẳng cắt đường tròn (0) ở A và B. Tiếp tuyến của đường tròn tại A và B cắt đường thẳng d lần lượt ở D và E.
a) Chứng minh bốn điểm A, 0, D, H cùng thuộc một đường tròn và bốn điểm 0, H, B, E cùng thuộc một đường tròn ;
b) So sánh các góc ADO, AHO và BEO ; c) Chứng minh H là trung điểm của DE.
Giá :
a) OHld (giả thiết) nên OHD = 90°.
AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) ở A (giả thiết) nên : OAD = 90°.
OAD=OHD=90° nên hai điểm A và H nằm trên đường tròn đường kính OD, hay bốn điểm A, 0, D, H cùng thuộc một đường tròn.
BE là tiếp tuyến của đường tròn (O) ở B nên OBE = 90°.
Ta có :
OHE + OBE = 90° +90°
do đó tứ giác OBEH là tứ giác nội tiếp, hay bốn điểm 0, H, B, E cùng thuộc một đường tròn.
b) Tứ giác AODH là tứ giác nội tiếp, ta có ODA =OHA D (hai góc nội tiếp cùng chăn cung OA ).
Tứ giác OBEH là tứ giác nội tiếp, ta có OHA = OEB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OB).
Suy ra ADO= AH = BEO.
c) Tam giác OAD và AOBE có :
A = B = 90°; OA = OB (bán kính đường tròn (O)
ADO = BEO (theo câu
b) Do đó AAOD = AOBE (cạnh góc vuông góc nhọn), suy ra OD=OE.
Vậy AODE cân ở 0, mà OH IDE nên OH là đường trung tuyến thuộc cạnh DE, vì thế HD = HE hay H là trung điểm của DE.
II, BÀI TẬP
42. Cho tam giác ABC, B = 60°. Hai tia phân giác của góc A và góc C cắt các cạnh BC và BA lần lượt ở A và C và cắt nhau ở I. Chứng minh :
a) Tứ giác BAIC là tứ giác nội tiếp đường tròn ;
b) Tam giác AIC là tam giác cân.
43. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là điểm đối xứng của H qua BC. Chứng minh :
a) Tứ giác ABHC là tứ giác nội tiếp ;
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
44. Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HB= HD. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh :
a) Tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp ;
b) CB là tia phân giác của góc ACE ;
c) Tam giác AHE là tam giác cân.
45. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là giao điểm các phân giác trong của góc B và góc C, còn E là giao điểm các phân giác ngoài của góc B và góc C, M là giao điểm của AE với đường tròn (O). Chứng minh :
a) Tứ giác BICE là tứ giác nội tiếp ;
b) M là trung điểm của IE.
46. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Biết AE.EC = BE.ED. Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp được đường tròn.
47. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Hai tiếp tuyến Ax và By. Gọi C là một điểm nằm giữa A và B, M là một điểm nằm trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với CM cắt Ax ở D, cắt By ở E.
a) Chứng minh tứ giác ACMD và BCME là các tứ giác nội tiếp ;
b) So sánh các góc MDC với góc MAB và góc MEC với góc MBA ;
c) Chứng minh tam giác CDE là tam giác vuông.
48. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BB và CC. Tia AO cắt đường tròn ở D và cắt BC ở I. Chứng minh :
a) Tứ giác BCBC là tứ giác nội tiếp;
b) AAB’C’U AABC ;
c) Tứ giác B’IDC là tứ giác nội tiếp.
III. HƯỚNG DẪN GIẢI- ĐÁP SỐ
42. a) Ta có A+C=180° – B = 180° ~60° = 120°
IA, IC theo thứ tự là tia phân giác của góc
A và góc C nên : IÁC – A và ICA = 6 Do đó IAC ICA = (A +C) =60°. Trong tam giác AIC, ta có : AIC = 180o – (IAC+ICA)
= 180o – 60° = 120°
Suy ra AIC = AIC = 120° (hai góc đối đỉnh).
Do đó IAC+IC AS-(A
60°.
C
Tứ giác ABC có AIC +ABC =120° +60° = 180° nên nội tiếp được đường tròn.
b) Tứ giác AICB nội tiếp đường tròn, nên: IAC = IBC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IC)
ICA’ = IBA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IA) Mà IBC = IBA (do BỊ là phân giác của góc B),
suy ra IAC = ICA.
Vậy tam giác IAC cân ở I.
43. a) Cách 1. H đối xứng với H qua BC nên BC là đường trung trực của HH, ta có ;
| BH = BH và CH = CH.
ABH’C = ABHC (c.c.c), do đó BHC = BHC Mà BHC =EHF (hai góc đối đỉnh)
Nên BHC = EHF
Vì EHF+A = 180°, nên BHC+A = 180°. B.
Vậy tứ giác ABHC nội tiếp được đường tròn.
Cách 2. ABHC = ABHC (c.c.c) nên BCH = BCH
Mà BCH = BAH (cùng phụ thuộc với góc ABC), suy ra BAH’ = BCH’
Hai điểm A và C nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BH
mà BAH = BCH nên A và C thuộc cùng một cung chứa góc dựng trên BH”,
do đó tứ giác ABHC nội tiếp được đường tròn.
b) ABHC = ABHC nên đường tròn ngoại tiếp ABHC bằng đường tròn ngoại tiếp ABHỨC.
Mà đường tròn ngoại tiếp ABHC bằng đường tròn ngoại tiếp AABC.Do đó đường tròn ngoại tiếp BHC bằng đường tròn
ngoại tiếp AABC.
44. a) AHC = AEC = 90° nên hai điểm H và E cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
Do đó tứ giác APIEC nội tiếp được đường tròn. b) AH là đường cao và là phân giác của góc BAD trong tam giác cân BAD nên A = u.
Mà C = A (vì cùng phụ với góc B), do đó Ĉ = 2.
Tứ giác AHEC nội tiếp được đường tròn (theo câu a) nên C = A2.
Suy ra C = C.
Vậy CB là tia phân giác của góc ACE
c) Vì C = C nên cung AH=HE, suy ra AH = HE.
Do đó tam giác AHD cân ở H.
45. a) BI và BE theo thứ tự là phân giác trong A và phân giác ngoài của góc B của AABC nên BỊ I BE , do đó IBE = 90°.
Tương tự ICE =90. Tứ giác BICE có tổng hai góc đối diện IBE +ICE = 90° +90° = 180° nên là tứ giác nội tiếp.
b) AI và AE là phân giác của góc A nên ba điểm A, I, E thẳng hàng và BAM = CAM, do đó MB=MC.
Tia Bị cắt đường tròn (O) ở N thì ABN = CBN nên AN = NC.
MBI =ISA(MC+NC),
MIB = sd (MB+ NA), do đó MBI = MIB.
Tam giác MIB cân ở M nên MI = MB. MBE = MEB (vì cùng phụ với hai góc bằng nhau MBI = MB),
do đó AMBE cân ở M, ta có MB = ME.
Suy ra MI = ME hay M là trung điểm của IE.
46. Theo giả thiết AE.EC = BE.ED suy ra :
AE BE
ED EC Ta lại có AEB=CED (hai góc đối đỉnh).
Do đó AAEB ACED (cgc), ta có : BAC = BDC.
Hai điểm A và D thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ BC mà BAC = BDC nên A và D thuộc cùng B một cung chứa góc dựng trên đoạn BC, nên bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn.47. a) Các tứ giác ACMD và BCME nội tiếp được đường tròn vì có tổng hai * góc đối diện bằng 180°.
b) Tứ giác ACMD nội tiếp đường ĐL tròn nên MDC=MAC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC).
c) AMB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)), suy ra
A co B MAB+MBA = 90°,
do đó MDC + MEC = 90°
nên ECD = 90°.
Vậy tam giác ECD vuông ở C.
48. a) Từ giả thiết suy ra BBC = CCB= 90°, do đó bốn điểm B, C, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BCBC là tứ giác nội tiếp.
b) Tứ giác BCBC nội tiếp đường tròn nên B+CBC = 180° (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp),
mà ABC +CBC = 180° (hai góc kề bù), do đó ABC = ABC. Lại có góc A chung.
Vậy AABCAABC (g-g).
c) Ta có B= ADC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC), mà BTCBC =180° nên IDC+ IBC = 180°. Vậy tứ giác BIDC là từ giác nội tiếp.