I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
| • Điều kiện xác định của căn √A là A ≥ 0.
• Với mọi số thực a, ta có √a2 = |a| • Với A là biểu thức, ta có: √A2 = |A| = A nếu A ≥ 0 = -A nếu A < 0. |
Nguồn website giaibai5s.com
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của x để mỗi biểu thức sau xác định :
a) Vx+4 ;
Giải: a) Biểu thức Vx+4 xác định khi x+4208 x 2-4. Vậy x 2-4 thì biểu thức (x +4 xác định.
b) Biểu thức A X
xác định khi VX-2
-3
Ỷ X-2
> 0 = x – 2 = 0 => x < 2.
|
_3
Vậy x < 2 thì biểu thức , xác định. – 2 V x Ví dụ 4: Rút gọn : a) V(13 – V2)2 + V2; b) 3/5 – VI-V5) Giải : a) VI 13 – V2)2 + V2 = |V3 – V2|+V2. Vi V3 – 17>0 nên (V3 – V3 = 13 –V. Vậy (V3 – Vậy? +/5 = 3 – 2 + 2 = 3.
b) 3/5 – Vai-V5)2 = 35 ||- v5]. Vì 1-45 < 0 nên 1-151–1-5). Vậy 3/5 – (14/5) = 3/5 + (1-45)=3/5 +/- 5 = 2/5 +1.
Ví dụ 5: Giải phương trình x2 – 6x + 9 = 5.
Giải:
Vx2 – 6x +9=5€ V(x – 3)2 = 5 x 3) = 5
Khi x 23 thì x – 320 nên x-3 = x -3 , ta có phương trình :
x −3=58 x = 8 thoả mãn điều kiện x 23.
Khi x < 3 thì x – 3 < 0 nên x −3=3-x , ta có phương trình :
3-x =5e-x = 2 + x =-2 thoả mãn điều kiện x < 3.
Vậy tập nghiệm của phương trình là {-2 ;8}.
II. BÀI TẬP
9. giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa : a) VX-2;
b) V-7x ; c) V4x+12 ;
d) V3x2 +1.
10. Tính :
a) V(-0,4)? ;
c) 4./(_396 +5.V(-2)* ;
11. Rút gọn các biểu thức :
a) V(3+15)2 ; c) V(4- VTT)? + VII;
b) 5. ; d) 3./6–1,5)2 – 4./(-0,5). b) V65-V5)? ; d) V(58–7)2 – V8.
12. Chứng minh :
a) 114.672 = (3+v2)”; b) 8-2/7 = (17.-1);
c) (5-13)? = 28-1073; d) V4+213 – 14-213 = 2
13. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :
a) (3x + 9 ;
d) Vx2+2x+3.
14. Tính :
a) V144./9.10,01;
b) (V0,25 – 225+ V2,25): V169
c) 72:13: +32 – 3.152 -32.
15. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 5/25a – 25a với a < 0; b) (49a 43a với 20 ; c) 16a +6ao với a bất kì d) 3/90° – 6a với a bất kì. 16. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x2 – 7 ; b) x2 – 22 ; c).*? +2V7x+7; d) x2 – 2V231 +23. 17. Trong các câu sau đây, câu nào dùng : a) a-9 = (a +3)(a – 3) với mọi a; b) a – 9 = (a +3)(a – 3) với mọi a>0 ;
c) /(a +3) = a+3 với mọi a ;
d) (a + 3) = -(a+ 3) với mọi a<-3. 18. Rút gọn các biểu thức sau : a) 4x – 4×2 – 4x+4 với x^2 ; b) 3x+9+6x+x với x=-3; st+6Vx+ 9 voi T2 với x>0 và 149 ;
d) V +4 +4 với
” với x = -2. X -9
x+2
19. Giải các phương trình :
a) x2 -11=0);
b) x2–2V13x+13= 0 ;
c).-9/x+14=0);
d) Vr? -10x+25 = 7 – 2x.
20. So sánh : a) 7 + V15 và 7;
b) 2 + 11 và 3 +4 ; c) /21 – 5 và /20 – 6 ; d) /24 -1 và 5. III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
9. a) x22 ;
c) x2-3 ;
4
10. a) –V1-0,41= .0,4=-3-10-30 is
b)x50; d) xác định với mọi x.
16 8 =
30 15
| ماريا
4 –.
4 =
3 10
c) 4.J(-3)* +5(-2)* = 4.(-3)(+5|(-2)2 = 4.27+5.4 = 128 ; d) 3/(–1,5): – 4/(-0,5)’ = 3.1–1,51 – 4./-0,5|
= 3.1,5 -4.0,5 = 4,5-2,0 = 2,5. 11. a) 3+ V5;
b) 5-15; c) V(4- VIT)2 +11 = 4-V1īl+VĪT
= 4- V1 + 1 = 4 (vì 4- 11>0); d) V(78 – 72 – V8 = |V8 – 7| – V8
= 7-8 – M8 =7-2/8 (vì V8 –7<0). 12. a) 11+672 = 9+2.3V2 + 2 = 32 +2.3.12 +(72)2 = (3+V2). Về trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh. b) 8-277=7–2V7+1=(17)2 –277 +1 = (V7 –1). Về trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh. c) (5-13)2 = 52 – 2.5.13 +(73)2 = 25-1073 +3 = 28-1073 Về trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh. d) Ta có : V4+2/3 – 14-213 = V(73)2 +213 +1-v(23) -213 +1 = V(+3+1)2 – V(V3 -112 =| 13 +11 -143 – 3 +1-V3 – 1) (vì 3 +1>0 và 5 –1>0)
= V3+1-v3+1=2; Về trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh. 13. a) x2-3 ;
b) x5–2 ; c) x>-7 ;
d) x +2x+3 =(x+1)+2>0 với mọi x. Do đó, biểu thức có nghĩa với mọi x. 14. a) v14. a 70.01 =viz, C) 10,19= 12.3.0.1 = 20
b) (40,25 – 1225 + 12.25): V169 =(V10,5)? – (15)2 + J(1,5)2): 7132 = (0,5–15+1,5):13–13:13=-1. c) 72:13? +32 – 3.152 – 32 = 72:136-3/16
= 72:6-3.4 = 12–12=(). 15, a) 525a = 25a =5.05a-25a. Vì a < 0 nên Sa < 0, do đó 5a = -5a.
Vậy 5/25a? – 25a =5.(-5a)-25a = -25a-25a = -50a. b) 49a 43a = 7a+3a. Vì a0 nên 7a20, do đó 7a=7a. Vậy 49a +3a = 7a+3a =10a. c) C16ao +6a = 4a +6ao. Với mọi a ta đều có đa 20 nên |4a|| = 4a? Vậy 16a6a2 = 4a2 +6a2 = 10a”. d) 3.79ao – 6a = 3/(34°)2 – 6a = 3.3a|-6a”. Nếu a < 0 thì 3d 20 nên sao = 3a, ta có :
319a” – 6a” = 3.3a’ – 6a = 3a”.
16. a) (x+17)(x-17).
b) (x+V22)(x-V22). c) x’ +2V7x+7= x2 +2.x.17+(17)? = (x+17)?
d) x -2723.x+23 = x2 – 2.x 23+(123)2 = (x – 123)?. 17. Câu b và câu d đúng, câu a và c sai. 18. a) 4x-Vx2 – 4x+4 = 4x-V(x-2)2 = 4x -|x-21.
Vì x22 nên x-220, do đó x-2=x-2. Vậy 4x-4x – 4x+4 = 4x-(x-2) = 4xx+2 = 3x + 2. b) 3x + V9+6x + x = 3x+1(3-+ x)2 = 3x +(3 + x/. Vì x<-3 nên 3+x<0, do đó 3+ x = -(3+x). Vậy 3x + 9 +6x+y = 3x-(3+ x)= 3x-3-x= 2x-3. x+6Vx+9 (Vx+3)?_– Vx+3.
* -9 (Vx+3)(Vx-3) Tx-3 di Vx+4x+4 _ V(x+2)?_[x+2||
x+2 x+2 x+2 Với x<-2 thì x+2 < 0 nên x+2=x+2. Ve Vr? +4x+4 _(x+2) _-. 1 x+2 x+2 Với x > -2 thì x+2 > 0 nên x+2=x+2.
va Var’ +4x+4 _ *+2 -1 19. a) x^-11=0e(X+/11)(x- (11) =0. Suy ra x=-11, x= /11.
b) x2 – 2V13x +13= 0 + (x -V13)2 = 0) => x= V13. c) x? – 9Vx+14 = 0) (x-2Vx)-(7V8-14) = 0
Vx(Vx-2) – 7(Vx – 2) = 0) = (Vx-2)(Vx – 7) = 0) Tập nghiệm của phương trình là : {4;49}. d) Vr? – 10x+ 25 = 7 – 2x Vix – 5)2 = 7 – 2x
|x–51 = 7 – 2x.
Vậy V.
=l.
x + 2
-=-
X+2
Với x < 5 thì x -5< 0 nên |x -5 = 5-x , ta có phương trình : 5- x =7-2x e-x +2x =7-58 x = 2 thoả mãn điều kiện x < 5. Do đó x = 2 là nghiệm của phương trình. Với x > 5 thì x–520 nên x -5 = x -5 , ta có phương trình : x -5=7-2x = 3x = 12 + x = 4 không thoả mãn điều kiện x 25.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=2. 20. a) Ta có : 47 x 9 = 3; V15 < /16 = 4.
Vậy V7+ V15 <3+4 =7. b) Ta có : V2 < 3 ; M11</16 = 4. Vậy 2 + 1 = 3 +4. c) Xét hiệu : 21- 45 – ) = (1/21 – (20) +(/6 – 45 ). Vì V212 /20 và 6 > 5 nên /21 – V20 >0 và V6 – 5 >0. Do đó : 21- 45 – 20 – 6)>0, vì vậy 21- 45 > 20 – 6. d) Ta có : 24 -1< 25 -1=5-1= 4<5. Vậy V24 -1/5.
a) Vx+4 ;
Giải: a) Biểu thức Vx+4 xác định khi x+4208 x 2-4. Vậy x 2-4 thì biểu thức (x +4 xác định.
b) Biểu thức A X
xác định khi VX-2
-3
Ỷ X-2
> 0 = x – 2 = 0 => x < 2.
|
_3
Vậy x < 2 thì biểu thức , xác định. – 2 V x Ví dụ 4: Rút gọn : a) V(13 – V2)2 + V2; b) 3/5 – VI-V5) Giải : a) VI 13 – V2)2 + V2 = |V3 – V2|+V2. Vi V3 – 17>0 nên (V3 – V3 = 13 –V. Vậy (V3 – Vậy? +/5 = 3 – 2 + 2 = 3.
b) 3/5 – Vai-V5)2 = 35 ||- v5]. Vì 1-45 < 0 nên 1-151–1-5). Vậy 3/5 – (14/5) = 3/5 + (1-45)=3/5 +/- 5 = 2/5 +1.
Ví dụ 5: Giải phương trình x2 – 6x + 9 = 5.
Giải:
Vx2 – 6x +9=5€ V(x – 3)2 = 5 x 3) = 5
Khi x 23 thì x – 320 nên x-3 = x -3 , ta có phương trình :
x −3=58 x = 8 thoả mãn điều kiện x 23.
Khi x < 3 thì x – 3 < 0 nên x −3=3-x , ta có phương trình :
3-x =5e-x = 2 + x =-2 thoả mãn điều kiện x < 3.
Vậy tập nghiệm của phương trình là {-2 ;8}.
II. BÀI TẬP
9. giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa : a) VX-2;
b) V-7x ; c) V4x+12 ;
d) V3x2 +1.
10. Tính :
a) V(-0,4)? ;
c) 4./(_396 +5.V(-2)* ;
11. Rút gọn các biểu thức :
a) V(3+15)2 ; c) V(4- VTT)? + VII;
b) 5. ; d) 3./6–1,5)2 – 4./(-0,5). b) V65-V5)? ; d) V(58–7)2 – V8.
12. Chứng minh :
a) 114.672 = (3+v2)”; b) 8-2/7 = (17.-1);
c) (5-13)? = 28-1073; d) V4+213 – 14-213 = 2
13. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :
a) (3x + 9 ;
d) Vx2+2x+3.
14. Tính :
a) V144./9.10,01;
b) (V0,25 – 225+ V2,25): V169
c) 72:13: +32 – 3.152 -32.
15. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 5/25a – 25a với a < 0; b) (49a 43a với 20 ; c) 16a +6ao với a bất kì d) 3/90° – 6a với a bất kì. 16. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x2 – 7 ; b) x2 – 22 ; c).*? +2V7x+7; d) x2 – 2V231 +23. 17. Trong các câu sau đây, câu nào dùng : a) a-9 = (a +3)(a – 3) với mọi a; b) a – 9 = (a +3)(a – 3) với mọi a>0 ;
c) /(a +3) = a+3 với mọi a ;
d) (a + 3) = -(a+ 3) với mọi a<-3. 18. Rút gọn các biểu thức sau : a) 4x – 4×2 – 4x+4 với x^2 ; b) 3x+9+6x+x với x=-3; st+6Vx+ 9 voi T2 với x>0 và 149 ;
d) V +4 +4 với
” với x = -2. X -9
x+2
19. Giải các phương trình :
a) x2 -11=0);
b) x2–2V13x+13= 0 ;
c).-9/x+14=0);
d) Vr? -10x+25 = 7 – 2x.
20. So sánh : a) 7 + V15 và 7;
b) 2 + 11 và 3 +4 ; c) /21 – 5 và /20 – 6 ; d) /24 -1 và 5. III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
9. a) x22 ;
c) x2-3 ;
4
10. a) –V1-0,41= .0,4=-3-10-30 is
b)x50; d) xác định với mọi x.
16 8 =
30 15
| ماريا
4 –.
4 =
3 10
c) 4.J(-3)* +5(-2)* = 4.(-3)(+5|(-2)2 = 4.27+5.4 = 128 ; d) 3/(–1,5): – 4/(-0,5)’ = 3.1–1,51 – 4./-0,5|
= 3.1,5 -4.0,5 = 4,5-2,0 = 2,5. 11. a) 3+ V5;
b) 5-15; c) V(4- VIT)2 +11 = 4-V1īl+VĪT
= 4- V1 + 1 = 4 (vì 4- 11>0); d) V(78 – 72 – V8 = |V8 – 7| – V8
= 7-8 – M8 =7-2/8 (vì V8 –7<0). 12. a) 11+672 = 9+2.3V2 + 2 = 32 +2.3.12 +(72)2 = (3+V2). Về trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh. b) 8-277=7–2V7+1=(17)2 –277 +1 = (V7 –1). Về trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh. c) (5-13)2 = 52 – 2.5.13 +(73)2 = 25-1073 +3 = 28-1073 Về trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh. d) Ta có : V4+2/3 – 14-213 = V(73)2 +213 +1-v(23) -213 +1 = V(+3+1)2 – V(V3 -112 =| 13 +11 -143 – 3 +1-V3 – 1) (vì 3 +1>0 và 5 –1>0)
= V3+1-v3+1=2; Về trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh. 13. a) x2-3 ;
b) x5–2 ; c) x>-7 ;
d) x +2x+3 =(x+1)+2>0 với mọi x. Do đó, biểu thức có nghĩa với mọi x. 14. a) v14. a 70.01 =viz, C) 10,19= 12.3.0.1 = 20
b) (40,25 – 1225 + 12.25): V169 =(V10,5)? – (15)2 + J(1,5)2): 7132 = (0,5–15+1,5):13–13:13=-1. c) 72:13? +32 – 3.152 – 32 = 72:136-3/16
= 72:6-3.4 = 12–12=(). 15, a) 525a = 25a =5.05a-25a. Vì a < 0 nên Sa < 0, do đó 5a = -5a.
Vậy 5/25a? – 25a =5.(-5a)-25a = -25a-25a = -50a. b) 49a 43a = 7a+3a. Vì a0 nên 7a20, do đó 7a=7a. Vậy 49a +3a = 7a+3a =10a. c) C16ao +6a = 4a +6ao. Với mọi a ta đều có đa 20 nên |4a|| = 4a? Vậy 16a6a2 = 4a2 +6a2 = 10a”. d) 3.79ao – 6a = 3/(34°)2 – 6a = 3.3a|-6a”. Nếu a < 0 thì 3d 20 nên sao = 3a, ta có :
319a” – 6a” = 3.3a’ – 6a = 3a”.
16. a) (x+17)(x-17).
b) (x+V22)(x-V22). c) x’ +2V7x+7= x2 +2.x.17+(17)? = (x+17)?
d) x -2723.x+23 = x2 – 2.x 23+(123)2 = (x – 123)?. 17. Câu b và câu d đúng, câu a và c sai. 18. a) 4x-Vx2 – 4x+4 = 4x-V(x-2)2 = 4x -|x-21.
Vì x22 nên x-220, do đó x-2=x-2. Vậy 4x-4x – 4x+4 = 4x-(x-2) = 4xx+2 = 3x + 2. b) 3x + V9+6x + x = 3x+1(3-+ x)2 = 3x +(3 + x/. Vì x<-3 nên 3+x<0, do đó 3+ x = -(3+x). Vậy 3x + 9 +6x+y = 3x-(3+ x)= 3x-3-x= 2x-3. x+6Vx+9 (Vx+3)?_– Vx+3.
* -9 (Vx+3)(Vx-3) Tx-3 di Vx+4x+4 _ V(x+2)?_[x+2||
x+2 x+2 x+2 Với x<-2 thì x+2 < 0 nên x+2=x+2. Ve Vr? +4x+4 _(x+2) _-. 1 x+2 x+2 Với x > -2 thì x+2 > 0 nên x+2=x+2.
va Var’ +4x+4 _ *+2 -1 19. a) x^-11=0e(X+/11)(x- (11) =0. Suy ra x=-11, x= /11.
b) x2 – 2V13x +13= 0 + (x -V13)2 = 0) => x= V13. c) x? – 9Vx+14 = 0) (x-2Vx)-(7V8-14) = 0
Vx(Vx-2) – 7(Vx – 2) = 0) = (Vx-2)(Vx – 7) = 0) Tập nghiệm của phương trình là : {4;49}. d) Vr? – 10x+ 25 = 7 – 2x Vix – 5)2 = 7 – 2x
|x–51 = 7 – 2x.
Vậy V.
=l.
x + 2
-=-
X+2
Với x < 5 thì x -5< 0 nên |x -5 = 5-x , ta có phương trình : 5- x =7-2x e-x +2x =7-58 x = 2 thoả mãn điều kiện x < 5. Do đó x = 2 là nghiệm của phương trình. Với x > 5 thì x–520 nên x -5 = x -5 , ta có phương trình : x -5=7-2x = 3x = 12 + x = 4 không thoả mãn điều kiện x 25.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=2. 20. a) Ta có : 47 x 9 = 3; V15 < /16 = 4.
Vậy V7+ V15 <3+4 =7. b) Ta có : V2 < 3 ; M11</16 = 4. Vậy 2 + 1 = 3 +4. c) Xét hiệu : 21- 45 – ) = (1/21 – (20) +(/6 – 45 ). Vì V212 /20 và 6 > 5 nên /21 – V20 >0 và V6 – 5 >0. Do đó : 21- 45 – 20 – 6)>0, vì vậy 21- 45 > 20 – 6. d) Ta có : 24 -1< 25 -1=5-1= 4<5. Vậy V24 -1/5.