$13. BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN A. TÓM TẮT KIẾN THỨC . 1. Cho a, b + Z và b = 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b. Ta còn nói a là bội của b và b là ước của a. . • Nếu a = b thì ta còn nói a chia cho b được quà biết a : b = q. • Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0 • Số 0 không phải là ước của bất kỳ số nguyên nào. • Các số 1 và 1 là ước của mọi số nguyên.

a là bội của b và b là ước của a 2. Tính chất : • Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a cũng chia hết cho c:

a : b và bc => ac • Nếu a chia hết cho b thì bội của a cùng chia hết cho b :

Với mọi m < 7 ta có : a : b = am : bị • Nếu hai số a, b chia hết cho c thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho c:

a : c và b c = (a + b): c và (a – b): c

? Viết các số 6; -6 thành tích của hai số nguyên.

Hướng dẫn Ta có : 6 = 1.6 = (-1).(-6) = 2.3 = (-2).(-3)

-6 = (-1).6 = 1.(-6) = (-2).(3) = 2.(-3) 22 Cho hai số tự nhiên a, b với b + 0. Khi nào ta nói a chia hết cho b (a – b) ?

Hướng dẫn Cho hai số tự nhiên a, b với b = 0.

Nếu có một số tự nhiên q sao cho a = b.g thì ta nói a chia hết cho b. 73 Tìm hai bội và hại ước của 6.

Hướng dẫn Hai bội của 6, chẳng hạn –12; 18.

Hai ước của 6 là +2; -2 chẳng hạn. 4 a) Tìm ba bội của J5 ;

b) Tìm các ước của -10.

Hướng dẫn a) Ba bội của J5 là các số dạng (-5),q, trong đó q là một số nguyên. Cứ cho q một giá trị ta được một bội của J5, chẳng hạn :

q= 1 -5 q = -2 → 10 q = 0

0 Có vô số bội của -5. . b) Ta có :V (-10) = (-1; -2; 5; -10; 1; 2; 5; 10}

B. BÀI TẬP 101 Tìm các bội của 3; -3.

| Hướng dẫn Các bội của 3 và J3 là các số có dạng 3k, ke Z i02Tìm tất cả các ước của –3; 6; 11; -1

Hướng dẫn Ư (-3) = (-1; +1; -3, +3} Ư (6) = (-1; +1; –2, +2, -3; + 3, -6, 6} Ư (11) = {-1, 1; -11, 11}

[(-1) = 11; -1} 103 Cho hai tập hợp số : A = {2, 3, 4, 5, 6),

B = {21, 22, 23). a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng (a + b) với a < A; b c B ? b) Trong các tổng trên có bao nhiêu tổng chia hết cho 2 ?

Hướng dẫn a) Ta nhận thấy cứ một phần tử của A thì hợp với 3 phần tử của B tạo thành

3 tông dạng a + b. A có 5 phần tử. Vậy sẽ có : 3 x 5 = 15 tổng dạng a + b được tạo thành

b) Để tổng a + b : 2 thì a và b phải cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ. Do A

có ba số chẵn và 2 số lẻ, B có hai số lẻ và một số chẵn nên trong các tổng a + b trên đây có :

3 tổng mà a, b cùng chăn

4 tổng mà a, b cùng lẻ Vậy có 7 tổng chia hết cho 2. Lập bảng ta có : – Có tất cả 15 tổng a + b – Có 7 tổng chia hết cho 2: 24, 24, 26, 26, 26, 28, 28

2 | 3 | 4 | 5

C

22

23

21 23 | 24 | 25 | 26 27

24 25 | 26 27 | 28

| 25 | 26 | 27 | 28 | 29 i04 Tìm x biết: a) 15x = -75;

b) 31×1 = 18.

Hướng dẫn a) 15x = -75 5 x = (-75): 15 = – (75: 15) = -5 b) 31×1 = 18 = 1×1 = 18 : 3 = 6 5 X = + 6 105 Điền vào ô trống : a

2 -260

42

à be

-3

-5

1-1317

a :b

Hướng dẫn a | 42 | 12 -26 10 9 b | -3 1 -5 2 1-131 / 7 -1 a: b (14) 51 -1 2

0 106 Có hai số nguyên a, b khác nhau nào mà a: b và b : a không?

| Hướng dẫn Ta có a : b theo định nghĩa thì a = b.qi (qi ( Z)

(1) b : a theo định nghĩa thì b = a.qi (q2 + Z) Từ (1) và (2) suy ra : a = a.qt-q2 = qi-q2 = 1 q1, q2 + Z Suy ra qı = 72 = 1; hoặc qı = 92 = -1 Nên : a = b hoặc a = -b

Vậy khi a : b và bia thì a = b, hoặc a = -b. Vậy chỉ có các số nguyên đối nhau mới thỏa mãn điều kiện a : b và b : a. Và a + b. Chẳng hạn 5 : -5 và J5 : 5 với -5 + 5.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tìm tất cả các ước của 20 và -16. Trong tất cả các ước trên, tìm các ước chung của 20 và -16. Tìm hiểu thức xác định các bội của 7. Viết ra các bội của 7 thỏa mãn : -17 = B(7) < 44.