Nguồn website giaibai5s.com
- Cho tam giác ABC vuông tại B. Điểm nào là trực tâm của tam gáic đó?
Giải Vì tam giác ABC vuông tại B nên AB l BC. | Suy ra AB là đường cao kẻ từ đỉnh A và CB là đường cao kẻ từ đỉnh C.
Vì B là giao điểm của 2 đường cao AB và CB nên B là trực tâm của tam giác ABC.
- Cho hình bên. a. Chứng minh: CI 1 AB b. Cho ACB = 40°. Tính BID, DIE.
- Giải a. Trong AABC ta có hai đường cao AD và BE cắt nhau tại I nen I là trực tâm của AABC
Suy ra: CI là đường cao thứ ba. Vậy CII AB. b. Trong tam giác BEC có BEC = 90° B D = EBC + C = 90° (tính chất tam giác vuông) → EBC = 90° – Ĉ = 90° – 40° = 50° hay IBD = 50° Trong tam giác vuông IDB có IDB = 90° = IBD + BID = 90° (tính chất tam giác vuông)
BID = 90° – IBD = 90° – 50° = 40° Mà BID + DIE = 180° (2 góc kề bù) Nên DID = 180° – BID = 180° – 40° = 140°.
- Cho H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HAB, HAC, HBC.
Giải Trong AABC ta có H là trực tâm nên:
AH 1 BC, BH 1 AC, CH 1 AB
Trong AAHB, ta có:
АС І ВН
ВС ТАН
Vì hai đường cao kẻ từ A và B cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác AHB. Trong AHAC, ta có:
AB I CH
СВ І АН – Vì hai đường cao kẻ từ A và C cắt nhau tại B nên B là trực tâm của AHAC. Trong AHBC, ta có:
BA 1 HC CA I BH
Vì hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại A nên A là trực tâm
của tam giác HBC.
- Tam giác ABC có các đường cao BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng đó là tam giác cân.
Giải Xét hai tam giác vuông BDC và CEB, có:
BDC = CEB = 90° BD = CE (gt)
BC cạnh huyền chung Suy ra: ABDC = ACEB
| (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Suy ra: DCB = EBC
L (hai góc tương ứng bằng nhau) Hay ACB = ABC
Vậy AABC cân tại A.
| 74. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tìm trực tâm của tam giác ABC, AHB, AHC.
Giải * Tam giác ABC có BAC = 90°
Vì CA là đường cao xuất phát từ đỉnh C, BA là đường cao xuất phát từ đỉnh B nên giao điểm của hai đường này là A.
Vậy A là trực tâm của AABC. . . * Tam giác AHB có AHB = 90°
Vì AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A, BH là đường cao xuất phát từ đỉnh B nên giao điểm của hai đường này là H.
Vậy H là trực tâm của AAHB. * Tam giác AHC có AHC = 90°
Vì AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A, CH là đường cao xuất phát từ đỉnh C nên giao điểm của hai đường này là H.
Vậy H là trực tâm của AAHC.
- Cho hình dưới. Có thể khẳng định rằng các đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm hay không? Vì sao?
“
Α
к в
Giải Trong AAEB, ta có: AC 1 EB Suy ra AC là đường cao xuất phát từ đỉnh A. Trong AAEB, ta có: BD I AE Suy ra BD là đường cao xuất phát từ đỉnh B à Trong AAEB, ta có: EK AB Suy ra EK là đường cao xuất phát từ đỉnh E
Theo tính chất ba đường cao trong tam giác nên các đường thẳng AC, BD và EK cùng đi qua một điểm.
- Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với AM. Chứng minh rằng d song song với BC.
Giải Vì AABC cân tại A và AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao. – Ta có: AMI BC
dI AM (gt) Vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông B
в
м góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau nên ta có: d // BC.
- Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Kẻ đường cao AE của AABC, đường cao AF của AACD. Chứng minh rằng EAF = 90°.
Giải Ta có: AABC cân tại A
AE I BC (gt) | Vì AE là đường cao của tam giác ABC nên AE cũng là đường phân giác của BAC .. Lại có: AADB cân tại A AF I BD (gt)
в ЕС Vì AF là đường cao nên AF cũng là đường phân giác của BAD Mà BAC và BAD là hai góc kề bù nên: AE 1 AF
- Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao CH cắt tia phân giác của góc A tại D. Chứng minh rằng BD vuông góc với AC.
: FF
Giải
Vì AABC cân tại A nên đường phân giác của góc ở đỉnh A cũng là đường cao từ A.
Suy ra: AD 1 BỘ Ta có: CH 1 AB (gt)
Tam giác ABC có hai đường cao AD và CH cắt nhau tại D nên D là trực tâm của A ABC
Suy ra BD là đường cao xuất phát từ đỉnh B đến cạnh AC. Vậy BD 1 AC.
- Tam giác ABC có AB = AC = 13cm, BC = 10cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.
… Giải Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao.
Suy ra: AMI BC Ta có: MB = MC = BC = 3.10 = 5 (cm) Trong tam giác vuông AMB có AMB = 90° Áp dụng định lý Pitago ta có:
ABP = AMP + MBP Suy ra: AM? = ABè – MB*
= 132 – 52 = 169 – 25 = 144 Vậy: AM = 12 (cm)
- Cho tam giác ABC có B, C là các góc nhọn, AC > AB. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng HAB < HẠC.
11.
2
|
Giải
Trong AABC ta có AC > AB (gt). Suy ra: ß > Ĉ (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) / Trong AAHB có AHB = 90°.
в н Suy ra: B + HAB = 90° (tính chất tam giác vuông) Trong A AHC có AHC = 90° Suy ra: C + HAC = 90° (tính chất tam giác vuông) Từ (1) và (2) suy ra: B + HAB = c + HAC Mà B > C nên HAB < HAC.
(1)
(2)
a
:
D
| 81. Cho tam giác ABC. Qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác DEF (hình dưới).
- Chứng minh rằng A là trung điểm của EF. | b. Các đường cao của tam giác ABC là các đường trung trực của tam giác nào?
| Giải Xét AABC và AACE, ta có:
ACB = CAE (so le trong, AE // BC) AC cạnh chung
CAB = ACE (so le trong, CE // AB) Suy ra: AABC = AACE (g.c.g) = AE = BC (1) Xét AABC và AABF, ta có:
ABC = BAF (so le trong, AF // BC) AB cạnh chung
BAC = ABF (so le trong, BF || AC) Suy ra: AABC = ABAF (g.c.g) => AF = BC (2) Từ (1) và (2) suy ra: AE = AF. Vậy A là trung điểm của EF. b. Ké AH 1 BC. Ta có: EF // BC (gt) = AH I EF Lại có: AE = AF (chứng minh trên) Vậy đường cao AH là đường trung trực của EF. Vì B là trung điểm DF và DF // AC nên đường cao kẻ từ đỉnh B của ABC là đường trung trực DF.
Vì C là trung điểm DE và DE // AB nên đường cao kẻ từ đỉnh C . của AABC là đường trung trực của DE.