KIẾN THỨC CẦN NHỚ

B > C + AC > AB B = 6 + AC = AB

A & d, B 6 d, AH I d. Khi đó AB > AH hoặc AB = AH (điều này xảy ra e B = H)

Bbd

H

A¢d, Bed, C e d, AH 1 d. Khi đó AB > AC = HB > HC AB = AC HB = HC

Với ba điểm A, B, C bất kì, luôn có AB + AC > BC, hoặc AB + AC = BC (điều này xảy ra e A nằm giữa B và C).

WOT

Trong tam giác ABC, ba đường trung tuyến AD, BE, CF đồng quy tại điểm G và SA – Sử -GV- 4

DA EB FC 3 Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC

Trong tam giác ABC, ba đường phân giác đồng quy tại điểm I và điểm I cách đều ba cạnh :

IK = IL = IM

Trong tam giác ABC, ba đường trung trực đồng quy tại điểm O và điểm O cách đều ba đỉnh:

OA = OB = OC Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trong tam giác ABC, ba đường cao AI, BK, CL đồng quy tại điểm H Điểm H là trực tâm của tam giác ABC.

Tam giác ABC cân tại A e Hai trong bốn đường sau trùng nhau : đường trung trực của cạnh BC, đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác cùng xuất phát từ đỉnh A. Nếu tam giác ABC đều thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh và điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.

1. CÂU HỎI ÔN TẬP Câu 1/1.86 Cho tam giác ABC. Hãy viết kết luận của hai bài toán

sau về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.

| Bài toán 1

AB > AC

Bài toán 2

Ê <

Giả thiết

LI

Kết luận

GIẢI

Bài toán 1

Giả thiết

AB > AC

Ĉ > @

Bài toán 2

Ê < AC < AB

Kết luận

Câu 2/1.86 Từ điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông

góc AH, các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d. Hãy điền dấu (>, <) vào các chỗ trống (…..) dưới đây cho đúng: a) AB ……. AH ; AC ……. AH. b) Nếu HB … HC thì AB …. AC. c) Nếu AB … AC thì HB … HC.

GIẢI a) AB > AH; AC > AH. b) Nếu HB > HC thì AB > AC. c) Nếu AB > AC thì HB > HC.

B

н С Câu 3/1.86. Cho tam giác DEF. Hãy viết các bất đẳng thức về quan hệ giữa các cạnh của tam giác này.

GIẢI Giả sử tam giác DEF có DE < DF < EF, ta có : • EF – DF < DE < EF + DF • EF – DE <DF < DE + EF • DF – DE <EF <DE + DF

Câu 4/1.86 Hãy ghép đôi hai ý ở hai cột để được khẳng định đúng.

Trong tam giác ABC a) đường phân giác xuất | a) là đường thẳng vuông góc với phát từ đỉnh A

cạnh BC tại trung điểm của nó. b) đường trung trực ứng | b) là đoạn vuông góc kẻ từ A đến với cạnh BC

đường thẳng BC.

1. c) đường cao xuất phát | e) là đoạn thẳng nối A với trung từ đỉnh A

điểm của cạnh BC. d) đường trung tuyến | d”) là đoạn thẳng có hai mút là đỉnh A xuất phát từ đỉnh A

và giao điểm của cạnh BC với tia phân giác của góc A.

GIẢI Nối a) với d’); Nối b) với a) ; Nối c) với b); Nối d) với c) Câu 5/T.86 Cũng với yêu cầu như câu 4

Trong tam giác ABC a) trọng tân

a”) là điểm chung của ba đường cao. b) trực tâm

1. b) là điểm chung của ba đường

trung tuyến. c) điểm (nằm trong tam | c”) là điểm chung của ba đường

giác) cách đều ba cạnh | trung trực. a) điểm cách đâu ba đỉnh | d”) là điểm chung của ba đường

phân giác.

GIẢI Nói a) với b) ; Nối b) với a) ; Nội c) với d”) ; Nội d) với c”) Câu 6/T.87 a) Hãy nêu tính chất của trọng tâm của một tam giác ; các cách

xác định trọng tâm, b) Bạn Nam nói : “Có thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác”. Bạn Nam nói đúng hay sai ? Tại sao ?

GIAI a) Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm

đó gọi là trọng tâm của tam giác. “Trọng tâm của một tam giác cách nỗi đỉnh một khoảng bằng

dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. b) Bại Nam nói như vậy là sai. Ví dụ tan giác ABC có hai đường trung

tuyến AM và BN cắt nhau tại G thì G nằm trong tam giác ABC. Thật vậy, ta có MB = MC nên điển M nằm giữa hai điển B và C suy ra AM nằm giữa hai cạnh AB và AC. nên AM nằm trong tam giác BAC (1)

Tương tự đoạn BN nằm giữa hai cạnh BA và BC nên BN nằm trong tam giác ABC (2) Từ (1) và (2) ta có giao điểm G của AM và BN nằm trong tam giác ABC.

Câu 7/T.87 Những tam giác nào có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao ?

GIẢI Đó là tam giác cân.

Câu 8/T.87 Những tam giác nào có trọng tâm đồng thời là trực tâm,

điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh.

GIẢI Đó là tam giác đều.

1. BÀI TẬP

sa

Bài 63/T.87 Cho tam giác ABC với AC > AB. Trên tia đối của tia BC

lấy điểm D sao cho BD = AB. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = AC. Vẽ các đoạn thẳng AD, AE. a) Hãy so sánh góc ADC và góc AEB. b) Hãy so sánh các đoạn thẳng AD và AE.

GIẢI a) So sánh ADC và AEB

Ta có BD = BA (gt) – Tam giác ABD cân tại B + D = Âu Bị là góc ngoài tại B của tam giác ABD

B = Âu +6 = 20 (1) Tương tự C là góc ngoài của tam giác ACE cân tại C ► ĈI = Â2 + Ê = 2Ê (2) Trong tam giác ABC có AC > AB (gt) > BỊ > CI

Từ (1) và (2) suy ra D x R hay ADC > AEB b) So sánh AD và AE

Từ tam giác ADE có D >Ê (cmt) = AE > AD.

Cty TNHH MTV DVH Khang Việt Bài 64/T.87 Gọi MH là đường cao của tam giác MNP. Chứng minh

rằng Nếu MN 5 MP thì HN < HP và NMH – PMH (yêu cầu xét hai trường hợp: Khi góc 8 nhọn và khi góc N tù).

| GIẢI * Trường hợp N là góc nhọn • Ta có MN, MP là đường xiên, MH là đường

vuông góc cùng xuất phát từ M đến NP + HN, HP là hình chiếu của MN, MP lên NP

NA Do đó nếu MN 5 MP = HN HP (định lí đảo về đường xiên và hình chiếu của nó) Tam giác MHN vuông tại H nên NMH = 90° – N Tam giác HMP vuông tại H nên HMP = 90° – P (2) Trong tam giác MNP có MN < MP (gt) = S > P

Từ (1) và (2) suy ra 90° – N < 90° – P. Vậy NMHz HMP * Trường hợp N là góc tù (Học sinh tự chứng minh). Bài 65/T.87

Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài như sau (cm, 2cm, 3cm, 4cm và 5cm ?

GIẢI Ta ghép các độ dài thành các bộ ba độ dài rồi kiểm tra xem bộ ba nào thỏa mãn bất đẳng thức tam giác. Cách ghép

1cm, 2cm, 3cm = 3 = 2 + 1 (loại) 1cm, 4cm, 5cm = 5 = 4 + 1 (loại) | 2cm, 3cm, 4cm = 4 x 3 + 2 (nhận) 2cm, 4cm, 5cm = 5 x 4 + 2 (nhận) 3cm, 4cm, 5cm = 5 x 4 + 3 (nhận) Do đó ta có thể vẽ được ba tam giác với ba cạnh có độ dài là :

(2cm, 3cm, 4cm); (2cm, 4cm, 5cm); (3cm, 4cm, 5cm). Nhắc lại cách kiểm tra So sánh độ dài lớn nhất với tổng hai độ dài còn lại nếu độ dài lớn nhất đó nhỏ hơn tổng hai độ dài còn lại ta sẽ có một tam giác có ba cạnh là bộ ba độ dài đó.

Dal

Bài 66/T.87 Đố. Bốn điểm dân cư

được xây dựng như hình 58. Hãy tìm vị trí đặt một nhà máy sao cho tổng các khoảng cách từ nhà máy đến bốn điểm dân cư này là

|| Hình 58 nhỏ nhất.

GIẢI Gọi bốn điểm dân cư là A, B, C, D, trong đó không có ba vị trí nào thắng hàng (h.58). • Vẽ các đoạn thẳng AC và BD cắt

nhau tại O. Lấy một điểm M tùy ý trên BD trong tam giác MAC ta có bất đẳng thức MA + MC > AC. MA + MC nhỏ nhất là bằng AC tức là M trùng với 0 Vậy 0 là vị trí đặt nhà máy có tổng khoảng cách từ nhà máy đến bốn

điểm dân cư là nhỏ nhất. Bài 67/T.87

Cho tam giác MNP với đường trung tuyến MR và trọng tâm Q. a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MPQ và RPQ. b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ. c) So sánh các diện tích của hai tam giác RPR và RNQ.

Từ các kết quả trên chứng minh các tam giác QMN, QNP, QPM

có cùng diện tích. * Hướng dẫn Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao.

GIÁI

1. a) Tính SMPQ

SRPQ

Từ P vẽ PH vuông góc với tia MR, ta có :

PH.MQ MQ SmPQ-2

N4

SP

(*)

PH.QR

QR

HY

RPQ

2

Do Q là trọng tâm và MR là đường trung tuyến của tam giác MNP. Theo tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác ta có MQ = 2QR (*) =

SMPQ 2QR – 2 SRPQ QR

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Vậy tỉ số diện tích của hai tam giác MPQ và RPQ là

« = 2

SRPQ

1. b) Tính

SMNQ SRNQ

INK.MQ MQ – 2

Vẽ NK vuông góc với tia MR, ta có MN = 2 –

vac Srng 1 NK.QR QR

1. c) So sánh SRPQ và SRNQ Ta có SRPQ = PH.QR

(1) SrnQ = 2 NK. QR Xét hai tam giác vuông RPH và RNK có RP = RN (gt), R1 = R2 (đủ) Do đó ARPH = ARNK – PH = NK Từ (1) và (2) = PH.QR = JNK.QR. Vậy SRPQ = SRNQ • Từ kết quả câu a) và b), ta có : SMPQ = 2SRPQ

(3) SMNQ = 2SRNQ Từ kết quả câu c) ta có SNQP = SRPQ + SRNQ = 2SRPQ = 2SRNQ (5)

Từ (3), (4) và (5), ta có SMP = SMNQ = SQNP (đpcm). Bài 68/T.88

Cho góc xOy. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai cạnh Ox, Oy. a) Hãy tìm điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy và cách đều

hai điểm A, B. b) Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn các điều kiện trong câu a ?

GIẢI a) Xác định điểm M • Điểm M cách đều hai cạnh của xOy thì M

nằm trên tia phân giác Ot của xOy. 0 1 – Điểm M cách đều hai điểm A và B thì M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB. Vậy M là giao điểm của Ot và d.

1. b) Nếu OA = OB – Tam giác OAB cân tại 0

Do đó tia phân giác tại đỉnh là Ot đồng thời là đường trung trực của đáy AB nghĩa là d = Ot. Lúc này ta có vô số điểm M thuộc tia Ot thỏa mãn điều kiện trong câu a.

SZ

Bài 69/T.88

Cho hai đường thẳng phân biệt không song song a và b, điểm M nằm bên trong hai đường thẳng này. Qua M lần lượt vẽ đường thẳng c vuông góc với a tại P, cắt b tại Q và đường thẳng d vuông góc với b tại R, cắt a tại S. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với SQ cũng đi qua giao điểm của a và b.

GIẢI Gọi 0 là giao điểm của a và b

\P Ta có QP và SR là hai đường cao của tam giác Os đều đi qua M, do đó M là trực tâm của tam giác đó Gọi e là đường thẳng vuông góc với SQ và e đi qua M thì e là đường cao thứ ba của tam giác 0QS.

Do đó đường thẳng e phải đi qua đỉnh 0 của tam giác 0QS. Bài 70/T.88

Cho A, B là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. a) Ta kí hiệu PA là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm A (không

kể đường thẳng d). Gọi N là một điểm của PA và M là giao điểm của đường thẳng NB và d. Hãy so sánh NB với NM + MA;

từ đó suy ra NA < NB. b) Ta kí hiệu Pa là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm B (không | kể d). Gọi N là một điểm của Pa. Chứng minh rằng NB < NA. c) Gọi L là một điểm sao cho LA & LB. Hỏi điểm L nằm ở đâu, trong PA, P hay trên d ?

GIẢI a) So sánh NB với NM + MA từ đó suy ra NA < NB

Ta có M c d = MA = MB >NM + MA = NM + MB = NB Vậy NB = NM + MA

Trong tam giác AMN có bất đẳng thức NA < NM + MA 88

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

(Pa) N

jd

(PB)

mà NM + MA = NB (cmt).

Vậy NA < NB (đpcm) b) Chứng minh NB < NA

(tương tự câu a), học sinh tự chứng minh c) Ở câu a), ta có khi điểm N nằm

trong (PA) thì NA < NB Do đó khi có LÀ < LB thì điểm L nằm trong (PA).