KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Đường cao của tam giác • Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng

chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó. • Mỗi tam giác có ba đường cao. 2. Tính chất ba đường cao của tam giác

Định lý: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.

А

BN

1 dB

A = HCBC

A’

A’ • Tam giác ABC là tam |• Tam giác ABC • Tam giác ABC là giác nhọn.

vuông tại A tam giác tù (A là • AA’ 1 BC, BB’ I AC, CC (Â = 90°) góc tù) thì trực tâm 1 AB thì AA’, BB, CC

H nằm ngoài tam

Trực tâm H. là ba đường cao của tam

giác ABC.

trùng với A giác ABC. Chúng có điểm H chung gọi là trực

tâm của tam giác ABC 3. Về các đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam

giác cân Tính chất của tam giác cân Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó, Nhận xét (dấu hiệu nhận biết tam giác cân) Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Đặc biệt đối với tam giác đều Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách

BÀI TẬP Bài 58/T.83 Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông

trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

GIẢI a) Cho tam giác ABC vuông tại A

d)

B

A

• Vẽ đường cao xuất phát từ B đối với cạnh

AC, đó chính là cạnh BA (vì BA 1 AC) | Vẽ đường cao xuất phát từ C đối với cạnh AB, đó chính là cạnh CA (vì CA 1 AB) Vẽ đường cao AH đối với cạnh BC Ba đường cao BA, CA, AH có chung nhau điểm A.

Vậy A là trực tâm của tam giác vuông ABC (đpcm). b) Cho tam giác ABC có A là góc tù, vẽ đường

cao BỊ đối với cạnh AC và đường cao CK đối với cạnh AB cắt nhau tại H (hình a) Ta chứng minh hai đường cao BỊ và CK nằm ngoài tam giác ABC thì trực tâm H. nằm ngoài tam giác ABC. Giả sử đường cao BỊ nằm trong tam giác

Hình a ABC thì điểm I nằm giữa hai điểm A và C, ta có BIC = 90° đồng thời BIC là góc ngoài của tam giác ABI, BIC = A + IBA – BIC > A là vô lí vì BIC = 90° còn A > 90°. Do đó BỊ không thể nằm trong tam giác ABC Vậy đường cao BỊ nằm ngoài tam giác ABC Tương tự trên, đường cao CK cũng nằm ngoài tam giác ABC

Vậy trực tâm H nằm ngoài tam giác ABC (đpcm). Bài 59/T.83 Cho hình 57.

1. a) Chứng minh NS I LM. b) Khi LNP = 500 Hãy tính góc MSP và góc PSQ.

GIẢI a) Chứng minh NS 1 LM

Hình 57

L

Ta đã biết ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Ta thấy hai đường cao LP và MQ cùng đi qua điểm S. Suy ra NS là đường

cao thứ ba của tam giác BMN. Vậy NS 1 LM (đpcm). b) Tính MSP và PsQ khi DNP = 50° Tam giác LPN vuông tại P = PLN + PNL = 90°

PLN = 90° – PNL = 90° – 50o = 40° Tam giác LQS vuông tại Q = PLN + LSQ = 90° > LSQ = 90° – PLN = 90° – 40o = 50°

PN mà LSQ = MSP (đối đỉnh). Vậy MSP = 50° Ta có MSP + PSQ = 180° = PSQ = 180° – MSP

hay PSQ = 180° ~ 50° = 130°. Vậy PsQ = 130° Bài 60/T.83 Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở

giữa I và K). Kẻ đường thẳng vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt 1 tại N. Chứng minh rằng KNI IM.

GIẢI Chứng minh KNI IM Tam giác NIK có NJ và KM là hai đường cao xuất phát từ N và K, do đó M là trực tâm, suy ra IM là đường cao thứ ba của tam giác NIK.

Vậy IM I KN (đpcm) Bài 61/T.81

Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. . a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra

trực tâm của tam giác đó. b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.

GIẢI a) Gọi AA’, BB, CC là ba đường cao của tam

giác ABC cùng đi qua điểm H thì H là trực tâm của tam giác ABC. Các đường cao của tam giác HBC là HA”, BC,

CB’ suy ra A là trực tâm của tam giác HBC. B. b) Tương tự C là trực tâm của tam giác HAB, B là trực tâm của tam giác

HAC.

Có

Bài 62/T.81 Chứng minh một tam giác có hai đường cao (xuất phát

từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

GIẢI * Tam giác ABC có B và C là hai góc nhọn

và hai đường cao AH, CK bằng nhau. Chứng minh tam giác ABC cân tại A Hai tam giác vuông BHC và CKB

(BC là cạnh huyền chung

BH=CK (gt) Do đó ABHC = ACKB = BCH = CBK

Tam giác ABC cân tại A (đpcm). * Ba đường cao AA’, BB, CC của tam giác ABC bằng nhau.

Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều Tương tự trên, ta có : * Tam giác BCB = ACBC = C = B (1) * Tam giác ACA’ = ACAC = C = A (2) Từ (1) và (2) = A = B = 6 Vậy tam giác ABC là tam giác đều (đpcm).

VAB