KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Bất đẳng thức tam giác

Định lý Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

| Tam giác ABC * AB + AC > BC * AB + BC > AC * AC + BC > AB

2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác

Hệ quả Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

Chẳng hạn từ AB + AC > BC = AB > BC – AC (với BC > AC) 3. Nhận xét

Trong một tam giác độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại. Nếu tam giác ABC có AB < AC = BC thì BC – AB < AC = BC + AB Chú ý: Khi xét độ dài ba đoạn thẳng có thỏa mãn bất đẳng thức tam giác hay không, ta chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với tổng hai độ dài còn lại, hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu hai độ dài còn lại.

4cm

BÀI TẬP Bài 15/T.63 Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào

trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác. Trong những trường hợp còn lại, hãy thử dựng tam giác có độ dài ba cạnh như thế: a) 2cm ; 3cm ; 6cm. b) 2cm ; 4cm ; 6cm. c) 3cm ; 4cm ; 6cm.

GIẢI Ta thấy chỉ có bộ ba 3cm, 4cm, 6cm là ba cạnh của một tam giác vì thỏa mãn bất đẳng thức tam giác 4cm – 3cm x 6cm < 3cm + 4cm

Icm

7cm • Dựng đoạn thẳng BC = 6cm • Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC dựng

3cm hai cung tròn (B; 4cm) và (C; 3cm) Chúng cắt nhau tại A.

6cm Nối A với B và nối A với C ta được tam giác

ABC là tam giác phải dựng thỏa mãn bài toán. Bài 16/T.63 Cho tam giác ABC với hai cạnh BC = 1cm, AC = 7cm.

Hãy tìm độ dài cạnh AB, biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì ?

GIẢI Căn cứ bất đẳng thức tam giác ta có AC > BC < AB < AC + BC hay 7 -1 < AB < 7+1 6(cm)

8(cm) Do độ dài của cạnh AB là một số nguyên do đó AB = 7cm thỏa mãn (*) Ta có AC = AB = 7cm Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại A.

RA

B_

6cm

Bài 17/T.63 Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác.

Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC. a) So sánh MA với MI + IA, từ đó chứng minh MA + MB < IB + LA. b) So sánh IB với IC + CB, từ đó chứng minh IB + IA < CA + CB. c) Chứng minh bất đẳng thức MA + MB < CA + CB.

| GIẢI a) So sánh MA với MI + IA từ đó chứng minh MA + MB < IB + IA

Từ tam giác MAI ta có bất đẳng thức MA < MI + IA Cộng MB vào hai vế của bất đẳng thức trên, ta có : MA + MB < MB + MI + IA (*) Do M nằm trong tam giác ABC 8 AM nằm giữa hai cạnh AB và AC mà I < AC nên M nằm giữa B và I > MB + MI = IB

Vậy (*) trở thành MA + MB < IB + IA (đpcm) (1) b) So sánh IB với IC + CB từ đó ta chứng minh IB + LA < CA + CB

Từ tam giác IBC ta có bất đẳng thức IB < IC + CB Cộng IA vào hai vế của bất đẳng thức trên, ta có : IB + IA < IA + IC + CB (**) Do M nằm trong tam giác ABC = BM nằm giữa hai cạnh BA và BC => I nằm giữa A và C = IA + IC = CA.

Vậy (**) trở thành IB + IA < CA + CB (đpcm). c) Từ (1) và (2) ta có MA + MB < IA + IB < CA + CB | Vậy MA + MB < CA + CB (đpcm).

BL

(2)

LUYỆN TẬP Bài 18/T.63 Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như nhau: a. 2cm ; 3cm ; 4cm.

1. lcm ; 2cm ; 3,5cm. c. 2,2cm ; 2cm; 4,2cm. Hãy vẽ các tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là một trong các bộ ba ở trên (nếu vẽ được). Trong trường hợp không vẽ được, hãy giải thích.

GIẢI Nhắc lại khi xét độ dài ba đoạn thẳng có thỏa mãn bất đẳng thức tam giác hay không, ta chỉ cần : • So sánh độ dài lớn nhất với tổng hai độ dài còn lại. • Hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu hai độ dài còn lại.

Giải bài tập Toán 7 tập 2 – Lê Mậu Thảo

1. a) Ta có 3cm – 2cm < 4cm < 3cm + 2cm

Vậy bộ ba này thỏa mãn bất đẳng thức tam giác. Do đó ta có thể dựng

được tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 2cm, 3cm, 4cm. • Dựng đoạn thẳng BC = 3cm • Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC Α.

dựng hai cung tròn (B; 2cm) và (C; 4cm) chúng cắt nhau tại A.

4cm • Vẽ các đoạn thẳng AB và AC ta được tam

2cm giác ABC phải vẽ thỏa mãn bài toán.

BL 3cm )

3cm b) Ta có 3,5cm x 2cm + 1cm, điều này không

thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

Vậy ta không sẽ được tam giác với độ dài ba cạnh là 1cm, 2cm, 3,5cm c) Tương tự b), ta không vẽ được tam giác với độ dài ba cạnh là 2,2cm,

2cm, 4,2cm. Bài 19/T.63 Tìm chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó là 3,9cm và 7,9cm.

GIẢI Có hai trường hợp * Nếu cạnh đáy là 3,9cm thì mỗi cạnh bên là 7,9cm thảo mãn bất đẳng thức tam giác (7,9 < 7,9 + 3,9)

Vậy chu vi của tam giác cân đó là 3,9cm + 7,9cm + 7,9cm = 19,7cm * Nếu cạnh đáy là 7,9cm thì mỗi cạnh bên là 3,9cm không thỏa mãn bất

đẳng thức tam giác vì 7,9 > 3,9 + 3,9

7,8

Vậy không có tam giác cân nào có độ dài cạnh đáy là 7,9cm và mỗi

cạnh bên là 3,9cm. Bài 20/T.64 Một cách chứng minh khác của bất đẳng thức tam giác :

Cho tam giác ABC. Giả sử BC là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vuông góc AH đến đường thẳng BC (H 6 BC). a) Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông ở 81 để

chứng minh AB + AC > BC. b) Từ giả thiết về cạnh BC, hãy suy ra hai bất đẳng thức tam giác còn lại.

GIẢI a) Ta đã biết trong một tam giác vuông cạnh

huyền là cạnh lớn nhất. Do đó từ hai tam giác vuông AHA và AHC (H = 90°), ta có:

AB > BH (1) và AC > HC (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế AB + AC > BH + HC.

BC

(3)

Vậy AB + AC > BC b) Do BC là cạnh lớn nhất, từ (3) suy ra AB > BC – AC và AC > BC – AB

Ghi chú • Nếu điểm B nằm giữa H và C thì ABH là góc nhọn suy ra ABC là

góc tù. Như vậy AC là cạnh lớn nhất trái với giả thiết. • Nếu điểm C nằm giữa H và B thì ACH là góc nhọn suy ra ACB là

góc tù. Như vậy AB là cạnh lớn nhất trái với giả thiết.

Vậy H nằm giữa hai điểm B và C nên HB + HC = BC. Bài 21/T.64 Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng

cách xa hai bờ sông tại hai địa điểm A và B (hình 19). Hãy tìm trên bờ sông gần 1 khu dân cư một địa điểm C. để dựng một cột mắc dây . đưa điện từ trạm biến áp về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây là ngắn nhất.

Hình 19

GIẢI Gọi bờ sông thuộc khu dân cư B là đường thẳng a. Cách xác định vị trí C để dựng cột mắc dây điện như sau : Nối A với B cắt a tại C, đó là điểm để dựng cột điện. Thật vậy, nếu ta chọn một địa điểm M trên a khác C để dựng cột điện. Từ tam giác AMB ta có MA + MB > AB mà MA + MB nhỏ nhất là bằng AB, nghĩa là M phải trùng với C. Vậy giao điểm C của AB với bờ sông a là địa điểm dựng cột điện

để có độ dài đường dây dẫn từ A đến B là ngắn nhất. Bài 22/T.64 Ba thành phố A, B,

C là ba đỉnh của một tam giác; biết rằng AC = 30km, AB = 90km (hình 20). a) Nếu đặt ở C máy phát

sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km

Hình 20

M

WAS

thì thành phố B có nhận được tín hiệu không ? Vì sao ? b) Cũng câu hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 120km ?

GIẢI Từ tam giác ABC ta có AB = AC = BC < AB + AC hay 90 – 30 < BC < 90 + 30. Vậy 60 (km) < BC < 120 (km) a) Nếu máy phát sóng đặt ở C có bán kính hoạt động 60km thì ở B

không nhận được vì BC > 60 (km) b) Nếu máy phát sóng đặt ở C có bán kính hoạt động 120km thì ở B

nhận được vì BC < 120km (cmt).