KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Đường trung tuyến của tam giác • Đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện của tam giác gọi

là đường trung tuyến của tam giác đó. • Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến. 2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Định lý: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng % độ dài đường trung

tuyến đi qua đỉnh ấy. GT | * AM, BN, CP là ba đường trung

tuyến của tam giác ABC

(MB = MC, NA = NC, PA = PB) * AM và BN cắt nhau tại G

KL

| Trung tuyến CP đi qua G

(Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC)

GA – GBGC 2

AM BN CP3

BÀI TẬP

ப

” ாப

H

Bài 23/T.66: Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung

tuyến DH (h. 24). Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng? DG 1 DG . GH 1 24 = 3 ;

GH DH-2GH DH

2 3: DG – 3

GIẢI DG 1

À 2 DG

3 (sai) vì = 2 DH GH 1

GH 1 DH 3 Bài 24/T.66

Hình 24 Cho hình 25. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống các đẳng thức sau:

M a) MG = …MR ; GR = …MR ; GR = …MG. b) NS = ……NG ; NS = …GS ; NG = …GS.

GIẢI Điền vào chỗ trống

–

–

–

2

NK

‘

R

1. a) MG = MR ; GR = 5 MR ; GR = — MG. b) NS = 3NG; NS = 3GS ; NG = 2GS.

Hình 25

11

Bài 25/T.67 Biết rằng: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến

ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Hãy giải thích bài toán sau: Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.

GIẢI Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có : BC2 = AB? + AC2 = 32 + 42 = 25 = BC = 5cm Gọi M là trung điểm của BC thì AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC.

BA Suy ra AM = BC = 5 = 2,5 (cm)

Ta có AG = 4AM (theo tính chất trung tuyến)

IN WINNI

= 4.2,5 – 1,67 (cm).

3

Vậy AG = 1,67cm.

| LUYỆN TẬP Bài 26/T.67

Chứng minh định lí : Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.

GIẢI Tam giác ABC cân tại A GT

BM, CN là trung tuyến KL BM = CN Chứng minh

Do BM là trung tuyến nên MA = MC

AC

CN là trung tuyến nên NA = NB = FAB

mà AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A) = MA = MC = NA = NB Hai tam giác BMC và CNB có BC là cạnh chung ; C = B (tam giác ABC cân tại A); MC = NB (cmt)

Do đó ABMC = ACNB (c-g.c). Suy ra BM = CN (đpcm). Bài 27/T.67

Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên :Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

GIẢI Tam giác ABC

BM, CN là trung tuyến ; BM = CN | KL | Tam giác ABC cân tại A Chứng minh Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến BM và CN thì G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có :

GT

BG = BM ; GM = BM ; CG ECN ; GN = CN

Do BM = CN (giả thiết). Suy ra BG = CG và GM = GN Hai tam giác GBN và GCM có : GB = GC (cmt), ĜI = Ĝ2 (dd), GN = GM (cmt) Do đó AGBN = AGCM (c.g.c) – BN = CM Vì CN là trung tuyến nên N là trung điểm của AB = AB = 2BN Tương tự ta có AC = 2CM mà BN = CM (cmt). Do đó AB = AC. Vậy tam giác ABC cân tại A (đpcm).

E

Bài 28/T.67 Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.

1. a) Chứng minh ADEI = ADFI. b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì ? c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm. Hãy tính độ dài đường trung tuyến DI

GIẢI a) Chứng minh ADEI = ADFI

{DE = DF (tam giác DEF cân tại D) Hai tam giác DEI và DFI có DI : cạnh chung

[IE = IF (DI là trung tuyến) Vậy ADEI = ADFI (c.c.c) b) DIE và DIF là góc gì ?

Ta có ADEI = ADFI (cmt) – DIE = DIF (hai góc tương ứng) Mà DIE + DIF = 180° (góc bẹt). Do đó DIE = DIF = 90°.

IF Vậy DIE và DIF là những góc vuông. c) Tính độ dài của DI

Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông DIỄ ta có : DE? = DIR + IE2 > DIP = DE2 – IEhay DI2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144

Vậy DI = 12cm Bài 29. /T.67 Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. | Chứng minh rằng GA = GB = GC.

* Hướng dẫn Chứng minh tương tự bài tập 26, ta có ba trung tuyến của tam giác đều thì bằng nhau, do đó khoảng cách từ trọng tâm đến ba đỉnh của tam giác đều bằng nhau.

(Học sinh tự vẽ hình và chứng minh) Bài 30/T.67: Gọi G là trọng tâm tam

giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G sao cho G là trung điểm của AG”. a) So sánh các cạnh của tam giác | BGG’ với các đường trung tuyến

của tam giác ABC.

PLC

BK

1. b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC.

GIẢI a) Gọi AM, BN, CP là các trung tuyến của tam giác ABC

Theo tính chất đường trung tuyến ta có AG = AM, BG = BN, CG = CP mà AG = GG” (gt) — GG’ = ? AM Hai tam giác MBG và MGC có MB = MC, M = M2 (đd), MG = MG (vì MG = AG mà AG = GG’ = M là trung điểm của GG) Do đó 3MBG = AMGC > BC = CG mà CG = CP = BC = CP

Vậy GG = RAM ; BG = BN ; BG = 7cP b) • Ta có MG = MG(cmt) suy ra BM là trung tuyến của tam giác BGG”

mà M là trung điểm của BC do đó BM = BC.

(1)

• GI là trung tuyến của tam giác BGG thì IG = BG GP = CG mà BG’ = CG CP

IG’ = GP Ta có Ĝ’ = ĜI (ABMG’ = AMCG), mà Ĝi = Ĝ2 (dd) = Ĝ’ = Ĝz

(2) Còn có GG’ = GA (giả thiết) Từ (1), (2), (3) ta có AGGI = AGAP (c.g.c) > GI = AP mà AP = 2AB Do đó GI = FAB • Vẽ đường trung tuyến GE của tam giác BGG’ ta có : EG = EB = – BG

(3)

(4).

Theo tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác suy ra

GN = BG

(5)

(6)

(8)

Từ (4) và (5) suy ra EG = GN Ta còn có G’GE = AGN (44)

(7) và GG’ = GA (gt) Từ (6), (7) và (8) = AGEN = AANG (c.gc) = GE = AN mà AN = AAC (do BN là trung tuyến) = GE = AC Vậy BM = BC; GI = AB, GE = AC.