Để chứng minh một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn có thể bằng cách. a) Chỉ có các định cách đều một điểm cố định. b) Chỉ rò tổng hai góc đối bằng 180°.

1. c) Ilại đỉnh liền kề tạo với hai định kia các góc bằng nhau. 1. Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O và góc

BAC bằng 60°. Tia phân giác của góc BAC cắt đường tròn tại F. Gọi K là trung điểm của AF. Tia OK cắt đường cao CE (E thuộc AB) tại H. Chứng minh: a AKHE, BOC là các tứ giác nội tiếp.

Α b) BII vuông góc với AC.

Chỉ dẫn 0 + Ta có (0k 1 AF (vì K là trung điên của dây cung AF)

AEH + AKH = 909 + 90% = 180° > AKHE nội tiếp. + Tứ giác AKHE nội tiếp nên CHC – Ek = 30°

(1) Góc ở tâm B0C cùng chắn cung BC với góc nội tiếp BAC nên BOC – 2BAC = 120° OBC = 30 (2)

Từ (1) và (2), suy ra BHOC là tứ giác nội tiếp. b) Tia BH cắt AC tại D. Xét tứ giác ADHE có:

DHE = BHC = BOC = 120′, suy ra DHE+ DÂE = 120° + 60″ = 180° + ADHE là tứ giác nội tiếp.

ADH = 180o – AEH = 180° – 90o = 90o = BD 1 AC nghĩa là BHI AC. 2. Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) ke tiếp tuyến MA và cat tuyến MBC (B nằm giữa M và C). Gọi H là hình chiếu của A trên MO, K là giao điểm của đoạn thẳng MO với đường tròn (O). Chứng minh:

BE

162

HO

1. a) Tứ giác OHBC nội tiếp. b) BK là tia phân giác của góc HBM.

Chỉ dẫn a) AMAB cs IMCA (g.g)

– MAP = MB.MC (1) Trong tam giác vuông AMO vuông tại A, đường cao AH ta có: MAP = MH.MO (2) Từ (1) và (2) suy ra MB.MC = MH.MO MB MO

=> AMBO CS AMHC MH MC + MOB = MCH -> OHBC nội tiếp. b) Tứ giác OHBC nội tiếp nên COH = HBV (3)

Kéo dài MO cắt đường tròn tại N. Tam giác OCN cân đỉnh 0 Ta có COH = CNC + KCN ĐKNC

(4) Tứ giác BCNK nội tiếp đường tròn (O) nên KNC = IBM Thay vào (4) ta được COH = 2KBM (5)

Từ (3) và (5) suy ra BK là tia phân giác của góc HBM. 3. Cho AB và CD là hai dây cung bằng nhau của đường tròn (O) cắt nhau

tại điểm E khác ) nằm trong đường tròn. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại F. Các điểm A và B khác phía đối với CD. Chứng minh các tứ giác ADOE, ADBF là các tứ giác nội tiếp.

Chỉ dẫn a) Ta có: AB = CD O AC + CB = CA + AD AD = CB

AOD = sdAD, sd AED = (sd AD + sdCB) = sdĀD > AOD = AED = ADOE nội tiếp. b) Ta có ADCF = ABAF (AB = CD, BAF = DCF, F chung)

= F, O nằm trên đường trung trực của DB và AC.

163

Glas

Gia sư OF cắt đường tròn (O) tại K, ta có AK = KC

BOF = sđBK, BAF = (sảAB + sởAD) = sđBK

BOF = BAF = AOBF là tứ giác nội tiếp. 4. Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến với

đường tròn (O) tại A cắt (O) tại C và tiếp tuyến tại A của đường tròn (0) cắt (O) tại D. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BA = BE. Biết rằng các bán kính của cả hai đường tròn đều nhỏ hơn khoảng cách 010). Chứng minh ACED là tứ giác nội tiếp.

Chỉ dẫn Ta có AABC CS ADBA (Ĉ = DAB, D = BAC)

(AB AC BC = DB DABA

ABC = DBA

(BE BC > DB BE

CBE = DBE → ABEC – ABDE → BCE – BED, BEC = BDE → CED = BCE + BDE.

(1) Mặt khác ta có: CAD – CAB + BAD = ADB + BCAA (2) Từ (1) và (2) có:

CED + CAD = (BCE + BCA) + (EDB + BDA) = ACE + ADE CAD + CED = ^ = 180° = ACED nội tiếp.

0,

CK

0