1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Một số bất đẳng thức cơ bản
2. a) |a| 2 a hay — al sa</al. b) a + b < a + b dấu = chỉ xảy ra khi ab > 0.

|a – b < a < b dấu = chỉ xảy ra khi b(a – b) > 0. c) Với số a bất kì thì a > 0 dấu = chỉ xảy ra khi a = 0. d) Bất đẳng thức cô si + Với cặp số thực a, b tùy ý ta có: a” + b

_ _ ab dấu = chỉ xảy ra khi a = b.

Một số hệ quả từ bất đẳng thức trên + Với a, b là các số không âm thì

| > Vab dấu = chỉ xảy ra khi a = b

+ Với các số không âm a1, a2, … an với n > 2 nguyên

thi aj + a2 + … +2,1 > a, a,….

n e) Bất đẳng thức Bunhiacôpski

+ Với hai cặp số (a; b), (a; y) ta có: (ax + by)? < (a2+b2)(x2 + y^)

151

Dấu = chỉ xảy ra khi 3 = b

+ Với hai bộ n số (a1, a2, …, an), (bì, ba, …, b.) thì (ajbı + a2b2 + … + a,b ) = (a + a + … + a)(b + b3 + … + b)

a,

92

,..

Dấu = chỉ xảy ra khi

b, b, g) Bất đẳng thức Neasbit Với n số dương (n = 2, 3, 4, …) a1, a2, …, an ta có:

1 1 1 1 (a + a2 + … + a) — + —– + … + ? no.

la 2.2

Dấu = chỉ xảy ra khi a = a = … = an

(a + b)(a + b) 24

(a

>

4

+ b) –

la

b

1

11 1 Với n = 3, ta có: (a + b + c) +-+

a b

2

c

69. h) Bất đẳng thức hình học va + b^ + c + d = (a + c) + (b + d)* B. BÀI TẬP 69. Chứng minh các bất đẳng thức a) (x + y)2 = 2(x2 + y2)
70. b) (x + y + 2)2 5 3(x2 + y2 + 2?) c) X > 2 với x, y là các số cùng dấu

+

– + X20, x, y là các số cùng dấu

Chỉ dẫn a) (x + y) = xo + y2 + 2xy = x + y2 + x2 + y2 = 2(x2 + y2). b) (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

< x + y2 + 2? + x2 + y + x + 2 + y2 + z? = 3(x2 + y2 + 2?). c) x, y cùng dấu, do đó

<

> 0.

Theo bất đẳng thức côsi ^ + > 2^.^ = 2.

y X Vy x

(1) Đặt a = 4 + , theo câu c) thì a > 2 và 4 + 5 = a2 – 2. Bài toán trở

y Z thành chứng minh ao – a – 2 > 0e (a + 1)(a – 2) > 0 đúng. 152

a)

a

70. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh:

1 1 4 a) – t – –

1. b) a + b3 + abc > ab(a + b + c) a b a + b

Chỉ dẫn a + b 4

1 = (a + b)2 2 4ab ab a+b

(a + b)” – 4ab = (a – b)?> 0 đúng. b) Ta có (a – b) = a – 2ab + b > 0 2 2 – ab + b^> ab

a + b + abc = (a + b)(a’ – ab + b?) + abc

> ab(a + b) + abc = ab(a + b + c). 71. Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh (ab + cd < (a + d)(b + c) (1)

Chỉ dẫn (1) o ola b c d si (2) Va+d b + c V b + c a +d

– 1 a b ) 1 c d ) Theo côsi, vế trái •

21a + d b + c 2 b + C a + d ) Vậy (2) đúng, do đó (1) đúng. 72. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh

–

+

–

+

–

–

–

opis

–

E

b+c

C +a

a + b

2

a + b + c

(2)

b +c cta a + b

b a” + ab + b2 b’ + bc + c2c

ao

a

+ b + c

o

+ca + a” Chỉ dẫn

a

1. a) (1) A

– btc

+

+

– cta

+

1

+

– a+b

+

1

IV Nico

OIN

ay (16 b c +10 Patlu meb +12 g +3=

632a+b+cl btectanti)

2(a + b + c

+

+

o

– b + C

– C+a

-— || a + b )

–

+

+

>

9

[(b + c) + (c + a) + (a + b)] — –

–

1 b + c C +a a + b Theo bất đẳng thức Neosbit cho 3 số dương, bất đẳng thức cuối đúng,

do đó (1) đúng. b) Theo câu a) ta có

153

(1)

+

| — — (b + C

2(a + b + c)

– – C+a

+–

(a + b + c) a + b)

(1) 60 (be cute and b )(a + b + c)2 ogla + b + c)

be +ba +02 gta + b + c)

b2

– + a + —– + b +

(a + b + c) btccta

a+b a 2 bo c

a + b + c

(dpcm) b + C C + a a + b

2 Ta cũng có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski để chứng minh (2) như sau: Xét các nhóm ba số dương : a b c và (b – can b ).

b+c’Vc + a’va + b) Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có ( a2 b 2 2 )

+ + ((b + c) +(c + a) + (a + b)) (b +ccta a + bi

la

b

(vt vb +c+ve a ve ta ta ta tava + b)

Vb+ C b + c

=VC + a + rva + b Vc + a

Va + b

Ta + b

a2 b?

– + – + — -.2(a + b + c)2(a + b + c)2 dpcm. (b + c C +a a + b ) NHA … xin b a c” – b . ao – c* c) Nhận xét rằng –

a” + ab + ba ‘b2 + bc + c . co + ca + a? = (b – a) + (C – b) + (a – c) = 0

a’ – VT của (3) bằng A = –

a2 + ab + b2 ‘b? + bc+c c? + ca + a? C a + b

2 + c

+ a2 > 2A = =

a + ab + b2 “b3 + bc + c2c + ac + a? Nhận xét rằng: 3(a” – ab + b^) – (a2 + ab + b) = 2(a – b)* > 0

a’ +

b a ? + b3 a + b sa” + ab + b2 – 3(a’ – ab + b) * 3

b’ + c3 b + c cp + a Tương tự ta có: ;

b+ bc + ca 3 ‘ca + ac + a? a + b + b + C + C + a 2(a + b + c)

a + b + c => A>

= (dpcm).

act az a ta

3

73. Cho a, b, c, d > 0.

Chứng minh (a? + cỏ bo + c) + bao + do bo + d) > (a + b)(c + d) (1)

154

vac +

0

Chỉ dẫn Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski cho các cặp số (a, c) và (c, b). Ta có: (a + c°)(c + b) > (ac + bc)? > Via + c)(bo +c) 2 ac + bc (2) Tương tự với các cặp số (a, d) và (d, b) ta có:

Vla? + d’)(b + d’) 2 ad + bd (3) Cộng vế với vế (2) và (3) ta có (1) (đpcm). 74. Chứng minh

1. a) Va – 2 + 14-a s2 b) (a + b)(c + d) > Vac + 4bd với a, b, c, d > 0 (2) c) a + b + c 22 với a, b, c > 0 (3) V b +c Va+c Va + b

Chỉ dẫn a) Điều kiện xác định: 2 < x < 4. Khi đó Ma – 2 > 0, 4 – a > 0

(va – 2 + 14 – a ) = 2 + 2 va-2)(4 – a) < 2 + (a – 2) + (4 – a) = 4

=va – 2 + 14-a s 2. b) Bình phương hai về (2) thì được (a + b)(c + d) > ac + be + 2abcd

ad + bc 2 2 Vacbd Theo bất đẳng thức côsi bất đẳng thức cuối cùng đúng, do đó (2) đúng. c) Theo bất đẳng thức cô si b + c b + c 1/b+c a + b + c ү а 2 a

2a Vb+ C a + b + c b2b

c . 2e Tương tự,

Va + C a + C+ b Va + b a + b + c Suy ra vế trái (3) không nhỏ hơn 2. Nhưng đẳng thức chỉ xảy ra khi

b + c a + C

a + b và chỉ khi đồng thời 2 = 1, 2 = 1, 2 = 1 tức là

—

I

–

——-

+

1

=

–

1. 2a

у

а

а

.

a + b + c = 0. Điều này trái giả thiết a, b, c > 0. Vậy (3) đúng. 75. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh a) Nếu a 1 + a a + d .

ili a a +d bb+d’

, nếu –

> 1 thì “,

ܒܕ | ܗ

5 td

155

a+c

1. b) Nếu

V

GIA

elo

+

76. Chứng minh

1 y2 + 1

1. a) Nếu x 21, y >1 thì –

x? + 1

2 1 + xy

(1)

X

porn

– (2)

1. b) Nếu x < 1, y| < 1 thì |x + y –

1 + xy Chỉ dẫn

1. a) Chứng minh:

12o

(x2 +1

1+ xy

(y2 +1

1+ xy

(x – y){(xy – 1) 2 0. b) Xét các trường hợp xy > 0; y < 0 < x, x + y < 0 và y < 0 < x, x + y > 0 đều

đúng.

77. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
78. a) A = 2x + 5x – 4
79. b) B =

–

4

-x2 + 4x + 5

1. c) C =

x” + x + 1 x2 + 2x + 1

1. d) D = 4x+ – 2x+1

NIN

Chỉ dẫn

1. a) A = 2 x 5

=

3

m

minA = 7 đạt được khi x = 5

X

=

4

1. b) B =

khi x = 2.

9- (x – 2)

OZ > minB –

1

1. c) C =

x + 2x + 1 – (x + 1) + 1 =

(x + 1)?

1

–

+

+

X+1

(x + 1)2

(x+1

2

1

mi

được

X + 1

2

1

2 d) D = 4 –= +

= 3 + (1 – 4 )? 5

minD = 3 khi x = 1.

78. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức
79. a) A = 3 + 4x – 3x?
80. b) B = 77 Sko

2×2 – 6x + 10

x +1 X“ — X + 1

3×2 + 6x – 10 x + 2x – 3

1. c) C =
2. d) D

=

Chỉ dẫn

156

1. a) A = 1 – 3 x 3 = MaxA – 34 khi x = 3
2. b) B

–

—

MaxB = =

khi x =

Nicolor

2

1. c) C = 3 +

3 MaxC = 3, khi x = -1

=

Y

=

1. d) D

=

—–

——-

=

2

–

2(x2 – x + 1) – x2 + 2x – 1 – (x – 1)2

< 2 x’ – x + 1

x- x + 1 | – Max) = 2 khi x = 1. 79. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức A = ^^.

2x + 1

x + 2 Chỉ dẫn -X* – 2 + x2 + 4x + 4 x” +2 – x2 + 2x — 1 a) A = 2(x + 2)

x” + 2 1 (x-2) (x – 1)2 2 2(x + 2) x + 2

–

–

–

—

= 1

– MinA = –

t được khi x = -2

Max = 1 đạt được khi x = 1. 80. Tìm gia trị lớn nhất của các biểu thức a) A = x2 16 – xo) với x > 0 b) B = x(18 – 3x) với x > 0

Chỉ dẫn Ghi nhớ: + Hai số dương có tổng không đổi thì tích hai số đó lớn nhất khi chúng

bằng nhau. + Hai so dương có tích băng hằng số thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai

số ấy bằng nhau. a) Ta có x^ – 16 – x = 16 không đôi

Maxã đạt được khi x = 16 – x x = 2 2 MaxA = 64. b) Ta có 3B = 3x( 18 – 3x) có 3x + 18 – 3x = 18 không đổi

Max3B đạt được khi 3x = 18 – 3x = x = 3 Max(33) = 81 đạt được khi x = 3, MaxB = –

81

157

81. Cho x là số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x2 + 2x + 4 a) A = 5+

20

Chỉ dẫn

1. a) Nhận xét 5x 4 = 100 không đổi, nên A đạt giá trị nhỏ nhất khi 5x =

20 Vox = 2.

MinA = 20 đạt được khi x = 2.

1. b) B = 2 + x +

. Biểu thức A + C có tích X. ^ = 4 không đổi nên x + ” có

giá trị nhỏ nhất khi x = d

= x = 2

MinB = 6 đạt được khi x = 2 82. Tìm GTLN, GTNN của A = 1 − x + 1 + x.

Chỉ dẫn Điều kiện xác định: -1 < x < 1, A > 0

A2 = 2 + 2V1 – x’ => 2 SA < 4 > V2 <AS 2 MinA = 2 khi x = +1, maxA = 2 khi x = 0. 83. Tìm giá trị nhỏ nhất của a) A = Vx2 + x + 1 + x – X + 1 b) B = x^2 – x) với x < 1

Chỉ dẫn a) Rõ ràng A > 0 vx

A = 2(x + 1 + x + x^+1)24, MinA = 2 khi x = 0 b) Với x < 2 thì B > 0 với 2 < x < 4. Theo bất đẳng thức cost

x x — abone — + X – 21

– – = -:-

2x -2 (x

2 –

1

2 2) =

В 4

.

х х … 2 2

-B < 32 = B2-32. MinB = -32 khi

= x – 2 => x = 4

84. Cho x, y là các số không âm thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Tìm giá tr lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 + 2x + 1 + 2y .

Chỉ dẫn A = 2 + 2(x + y) + 2 1 + 2(x + y) + 4xy Bởi vì: 1 = x + y = (x + y)^ < 2(x + y) = 2 =1< x + y 2

2

158

4xy = 2(x + y) = 2 = xy <3 Từ đó suy ra A < 2 + 2/2 + 2/3 + 2/2 MaxA = 2 + 2/2 + 2/3 + 2/2 đạt được khi x = y = ?

Mặt khác do x + y 21, 4xy > 0 nên Ao > 2 + 2 + 2 /1 + 2 + 0

Suy ra minA = 4 + 2/3 đạt được khi x = 0 hoặc y = 0. 85. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 5x – 6y + 7z.

4x + y + 2z = 4 trong đó x, y, z > 0 thỏa mãn các hệ thức :

3x + 6y – 2z = 6 Chỉ dẫn

18 – 42 12 + 142 Từ (1) và (2) suy ra x =

2

21

Điều kiện x > 0, y > 0 dẫn tới

118 – 142 > 0 112 + 142 2 0

>Oszs

(18 – 42 A = 5

21 )

12 + 14z –

– 1 + 72 –

18-72 –

-61

(4)

21

21

6

Từ (3) và (4) suy ra

maxA =

– đạt được khi z = 0, x = , y =

minA = 3 đạt được khi a = 2, x = 0. y = 1

X

=

1 2 3 86. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn hệ thức + + = 6. Tìm giá trị

x y z nhỏ nhất của biểu thức P = x + y + zo.

Chỉ dẫn Ta có: P + 3 = x + y + 1 + z + 1 + 12 x + 2y”.1 + 3z 1.1 = P + 32 x + 2y + 3z

(1 2 3 6(P + 3)2 =+ = + = (x + 2y + 3z)

x y z

X

+

X

+

OVZ

VX

+ P > 3. MinP = 3 đạt được khi x = y = z = 1.

159

87. Cho các số thực x > 1, y > 1.

(x” + y) – (x + y2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = –

(x – 1)(y-1)

Chỉ dẫn x'(x – 1) + y2(y – 1) x y Ta có P = .

(x – 1)(y – 1) y-1 X-1

Theo bất đẳng thức côsi ta được P > 2 ^.

Vy -1 X-1

2xy V x – 1. Vy – 1

x-1+1’y – 1+1 2

2 Giá trị nhỏ nhất của P bằng 8 đạt được khi x = y = 2. 88. Cho x, y là các số thực thay đổi lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện x + y < 4. Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = –

(y – 1) (x – 1):

Chỉ dẫn Đặt a = x – 1, b = y – 1. Ta có a > 0, b > 0, a + b < 2 suy ra

(a + 1) (b + 1)” (2va) (2b14 – b} a b

P

=

>2 16a” 165o = 32, 221 Dat

A

Do 2 = a + b > 2ab = ab < 1 và P > 32

Giá trị nhỏ nhất của P bằng 32 khi a = b = 1 tức là khi x = y = 2. 89. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1^2+,” +, –

V1 + x V1 + y V1 + Z

Chỉ dẫn Ta có: 1 + x = xy + yz + zx + x = (x + y)(x + z)

1 x x (x + y)(x + 2) 2 x + y X + Z)

—

–

–

+

—

V1 + x2

V(x

+ y

(x+2)

1 S-a+ b).

2

ab (Áp dụng bất đẳng thức 2ab < a + b^ a

ab 1 1 a + b ) 11.11 ab – 2 a’b =

160

1

z

N

2

Tương tự ta có: –

V1 + y2

Tuong tu ta có: mms helyzetben a

)

2 y + 2

y + x)

Vi

22

21 2 + x

2 + y )

+

=> PS

–

Xyy Z Z – + –

+ – – + – — + – – X + 2 y + 2 y + x 2 + x 2 + y

NIC

+ y

3

maxP = 7 đạt được khi và chỉ khi x = y = z =

90. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 90. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + 2b^ < 3c”. Chứn:

1 2

minh

+

ΔΙ

— a

— b

mio o

–

+

–

91. Cho a, b, c > 0. Chứng minh

1 a)

a” + b + abc b + c + abc

a b c d

b + C C+ d d +a a + b 92. Chứng minh

c + a’ + abc abc

bc ca ab 2

— + = + = a b c

–

+

–

–

+

—

t

–

–

>

a

+ b

+ c

1. a) Nếu x 2 y 21 thì x + + 2y + 4

1 1 1 b) Nếu 1 < a, b, c < 2 thì (a + b + c)(++ +) < 10

‘a b c’ 93. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

6 – 8x a) A =

94. b) B = 2x + V5 – x? x? +1 94. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất

1

1

của biểu thức P =

1

—

+

–

+

—

16x 4y

Z

95.

5. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x^ +1 + x – 2x + 5. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = x – 1+ y – 2 biết x + y = 4.

161