| A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
1. Nguyên hàm Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là nửa khoảng hay đoạn của trục số). Hàm số f(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Định lí: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì: – Với mỗi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. – G(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C. 2. Tính chất
3. Bảng nguyên hàm
4. Phương pháp tính nguyên hàm * Đổi biến số:
* Tính nguyên hàm từng phần: Nếu hai hàm số u = u(x) và y = F(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
|
B. Giải bài tập
Nguồn website giaibai5s.com
- Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?
- a) e” và Je *. | b) sin 2x và sinox
Giải a) Ta có: [e”]=-e”. Vậy e” là nguyên hàm của Je”
- b) Ta có: [sinox] = 2sinxcosx = sin2x. Vậy sinox là nguyên hàm của sin2x.
09 Ta 06 (1-31-(-5) =(-4/6-Y
=
e’
l-
t
:
Vay (1-1) là nguyên hàm của hàm số 1-
1.
CU
- Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
- a) f(x) = **¥+1.
- c) f(x) = sin’xcos’s
- b) f(x)=2- d) f(x)=sin3x.cos3x g) f(x)=e??
- e) f(x)= tanx
8) f(x)= (1+x)(1–2x)
Giải
X
- a) Ta có: f(x) = x x Sf(x)dx = {x?dx + [x”dx + [viax
–
+
=
-tc
x + 1 TL 1 +1 +1 +1
6 3 S6 ? ? ? x2 + x + x3 +C
- b) Ta có: fr(x)dx = (2) do – Jeods – – – – c) Ta có: f(x) = sin’de og sint =(-2012x]
Vậy [f(x)dx = -2cot2x +C d) Ta có: f(x) = sin5xcos3x = sin8x + sin2x] ff(x)dx = 1 ssin8xdx + } [sin2xdx
– cos8x + cos2x +C e) Ta có: f(x) = tank – – – Vậy f(x)dx = 1 , fax = tanx-x+c g) Ta có: / (x x = led = e^(3-2x) dx = 3* +c by to of:
(x)=072p24 xo so20
X
X
+
3-2
1 p dx J”*}* 311+x (f(x)dx =
1/(1-2x)’dx 3) 1-2x
il1ty!
– 3 \m| + x1-3n|1–2 1318X+C
31- 2x
- Sử dụng phương pháp đổi biển số, hãy tính: a) [(1 – x)dx (đặt u = 1 – x) b) [x(1+x)dx (đặt u = 1+x) c) [cos xsinxdx (đặt t = cosx) d) fox (đặt u = e* + 1)
Giải a) Đặt u = 1 – x; du = – dx
e +es+2
Vậy (1-x)dx = – Tư du =
c
= “+c
. b) Đặt u = 1 + x = du = 2xdx = xdx
vay :(+xa đưa ra cách,c
- c) Đặt u = cosx = du = – sin xdx . .
cosx
CU
Vay scos x’sin xdx = – Ju du =-*+c= cog*x+C a) Ta có: the 12- 2x + (c +
ex + 2e +1 d) Ta có: eo+e^ + 2 =
Đặt u = e^ + 1 ta có:
vây ff(x)dx = lehet +c=2*+c 4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: a) (x In (1+x)dx
- b) (x +2x – 1 )e*dx c) sxsin(2x +1)dx d) [(1 – x )cos xdx
Giải
1 + x
- a) Đặt u(x) = In (1+x); xdx = dv(x)
* = du(x) = vax= v(x)= Ta có: sa (1+xx – (1-1) 24 *
– 1 (1+x)- * * * (1+x)+C
= } (x2-1)In (1+x)** *+c b) Đặt x + 2x-1= u(x): $dx = dv(x)
= du(x) = (2x+2)dx, v(x)=e”
5(x’+2x– 1 )e*dx = (x’+2x–1)e” – 2 [(x+1 je dx (1) Đặt u(x)=x+1; e dx = d(x)
= du(x) = dx; v(x)=e”
f(x+1)e *dx=(x+1)e” – fe*dx = xe” + Thay vào (1) ta có: [{x+2x–1)e*dx = (x +2x – 1)e* – 2xe” + c
= (x°-1)e’+C c) Đặt u(x) = x và sin (2x + 1)dx = d(x) => du(x)=dx, v(x) = – cos(2x+1) (xsin(2x + 1)dx = -xcos(2x+1)+z scos(2x+1)dx
— 5x cos(2x+1)+sin(2x +1)+C d) Đặt 1 – x = u(x); cosdx = dv(x)
du(x) = -dx ; v(x) = sinx f (1-x)cos xdx = (1-x)sin x + (sin xdx = (1-x)sin x-cosx+C