| A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
1. Tính đơn điệu của hàm số Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, hàm số f(x):
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K a. Nếu f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ K, f(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b. Nếu f(x) ≤ 0 ∀ x ∈ K, f(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) nghịch biến trên K. 3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số Quy tắc: Ta có thể xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) như sau: 1. Tìm tập xác định của hàm số rồi tính f(x). 2. Tìm các điểm mà tại đó f(x) không xác định hoặc bằng không. 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. 4. Kết luận về tính đồng biến và nghịch biến của hàm số. |
B. Giải bài tập
Nguồn website giaibai5s.com
- Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
- a) y = 4 + 3x – x2
- b) y=-*x?+3x°-7x-2
- C) y = x* – 2×2 + 3
- d) y = -x + x2 – 5 Giải ..
.
- a) Ta có: D = R
y’ = 3 – 2x = 0
Niw
Bảng biến thiên:
Theo bảng biến thiên thì hàm số đồng biến trong khoản
và nghịch biến trong khoảng 3,1 . A b) Ta có: D = R
y’ = x2 +6x<T
y = 0 + = – 3 – 416 5 – 7 hoặc Xa = – 3 + 16 = 1 Bảng biến thiên: -00
: -7… I too + 0 – 0 +
:
1-
–
17
Theo bảng biến thiên thì àm số đồng biến trong các khoảng (-2;-1) và (1; }); nghịch biến trong khoảng (-7; 1). c) Ta có: D = R . y’ = 4×3 – 4x = 4x (x2 – 1)
y = 0 = Xı = 0; X2,3 = † 1 Bảng biến thiên:
too
13
y(1)
y (1)
Theo bảng biến thiên thì hàm số nghịch biến trong các khoảng (-2;-1) và (0,1); đồng biến trong các khoảng (-1;0) và (1; +). d) Ta có: D = R
y’ = -3x + 2x
y = 0
= x = 0 hoặc x =
Bảng biến thiên:
ما بر
too
x too y’ | –
0 + 0 y too
ty)
- yo) Theo bảng biến thiên thì hàm số nghịch biến trong các khoảng (-3;0) và (3, 1, đồng biến trong khoảng 0:3
- Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
3/
.: a) y =
3x + 1
x2 – 2x
- b) y
=
1-Y
1-X
- c) y =
x -x-20
.
. Giải
- a) Ta có: D = R\ {}}
*(1-x)
-4
<0 W x #1
.
Đạo hàm không xác định tại x = 1 Bảng biến thiên:
X
–
.
+
.
.
.
.
….
Z
y | -3
too
-3
.
Theo bảng biến thiên thì hàm số nghịch biến trong các khoảng (-2;1) và (1; +).
- b) Ta có: D = R \ {1} E x ’ – 2x xo – 2x +
1-X 1-X
– = -x + 1
1-X
Đạo hàm y không xác định với x = 1 Bảng biến thiên:
…
too
y
to
+00
| Theo bảng biến thiên thì hàm số nghịch biến trong các khoảng (-2;1) và (1; +). c) Ta có: D = {xe R/ x – x – 2020
x – x – 20 = 0 1-V1+80
1+11+80
X1 =
–
=-4
V X2 = –
2
2
xo – x – 20 > 0 với x < -4 hoặc x 25 Tập xác định: D =(-2;-4] [5; +)
2x-1 Đạo hàm: y = – 52VX-x-20°
= 0 6x== = y = 0 với x + (- 0; -4] và y > 0 với x 6[5; +0) Bảng biến thiên:
X
=
2
1 -00
.
4
to
Theo bảng biến thiên thì hàm số nghịch biến trong nửa khoảng (-2; -4] và đồng biến trong nửa khoảng [5; +O). . d) Ta có: D = R \{{3} V = -2x’ – 18
< Vx 6D, không xác định với x = +3 (x2-9)
Bảng biến thiên:
+00.
ya
y
0
to
+00
Theo bảng biến thiên thì hàm số nghịch biến trong các khoảng (-2; -3), (-3; 3) và (3; + ). 3. Chứng minh rằng hàm số y = đồng biến trên khoảng
X“ +1 (-1; 1), nghịch biến trên các khoảng (-2;-1) và (1; +O).
Giải | Ta có: D = R
1-72 y=- *
x = 1 (1+x2) X -00 1 – 1
too 0 + 0 Hàm số có đạo hàm trong (-1; 1) và không âm trong khoảng đó nên hàm số đồng biến trong khoảng (-1; 1).
| Ta có y < 0 V x + (-2; -1)/(1; + ). … Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-2; -1) và (1; +O).
- Chứng minh rằng hàm số y = 2x – x đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2). ..
Giai Ta có: 2x – x^ = 0 + x = 0 hoặc x = 2
= 2x – x 20 với x < [0; 2] = D = [0 ; 2]
1-X
==0x=1 12x -x?
1
2
+ 0 – Hàm số có đạo hàm trong tập xác định và y > 0 với x 6 (0; 1) do đó đồng biến trên khoảng 10, 1); y < 0 với x (1; 2) nên nghịch biến trên khoảng (1; 2).
. . . . 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
- a) tanx >x (0<=<;)
- a) tanx > x
0<x<
- b) tanx > X +
by tanx >***(0<x< )
Giải
- a) Xét hàm số: y = f(x) = tanx – x trên khoảng
COS’ x
Ta có: y = -1 có đạo hàm trên khoảng 0.5) Và đạo hàm fx) > 0 v x 6 (0.5)
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng | 0;
Vậy với x < 0;
ta có f(x) > f (0) = 0 hay tan x − x > 0
nx > X
Do đó tang x với (0<x<) b) Xát hàm số: y = ax) = tang – xu trên khoảng 0.5)
- b) Xét hàm số: y = g(x) = tanx – x –
trên khoảng |
|
Ta có: y =
-1 – x = tan” x = x
cos-x
Theo kết quả câu a) thì tanx > x 9x 6; 0;
= g(x) = tanox – xo > 0 trên
2)
.
Vậy hàm số gia) = tang – – đồng biến trên khoảng .5)
Vậy hàm số g(x) = tanx – x –
wl
đồng biến trên khoảng
| Do đó g(x) > g(0) = 0 hay tanx > :
với 0 < x <