A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG

1. Định nghĩa cực trị

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm Xo ∈ (a; b).

– Nếu có số h > 0 sao cho Xo ∈ (a; b), (Xo  – h; Xo + h) ⊂ (a; b) ta có f(X) < f(Xo) ∀ X ∈ (Xo – h; Xo + h), X ≠ Xo, thì khi đó f(x) đạt cực đại tại Xo và f(Xo) là giá trị cực đại của hàm số f(x). 

– Nếu có số h > 0 sao cho Xo ∈ (a; b), (Xo – h; Xo + h) ⊂ (a; b) ta có f(X) > f(Xo) ∀ X ∈ (Xo – h; Xo + h), x ≠ xo thì khi đó f(x) đạt cực tiểu tại Xo và f(Xo) là giá trị cực tiểu của hàm số f(x).

 Cực đại hay cực tiểu của f(x) gọi chung là cực trị của f(x).

2. Điều kiện để hàm số có cực trị 

Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K = (Xo – h; Xo + 1), h > 0 và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {Xo}, nếu:

– f’(x) > 0 trên (Xo – h; Xo) và f’(x) < 0 trên (Xo; Xo + h) thì Xo là một điểm cực đại của f(x).

– f’(x) < 0 trên (Xo – h; X) và f’(x) > 0 trên (Xo; Xo + h) thì Xo là một điểm cực tiểu của f(x).

Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (Xo – h; Xo + h) với h > 0. Nếu:

– f’(Xo) = 0; f’’(Xo) > 0 thì xo là điểm cực tiểu. 

– f’(Xo) = 0; f’’(Xo) < 0 thì xo là điểm cực đại.

3. Tìm cực trị 

* Quy tắc 1: Ta có thể tìm cực trị của hàm số y = f(x) như sau:

1. Tìm tập xác định của hàm số rồi tính f(x).

2. Tìm các điểm mà tại đó f’(x) không xác định hoặc bằng không.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

* Quy tắc 2: Ta có thể tìm cực trị của hàm số y = f(x) như sau:

1. Tìm tập xác định của hàm số rồi tính f’(x).

2. Giải phương trình f’’(X) = 0 và kí hiệu Xi (i = 1, 2, 3, ..) là các nghiệm của nó. 

3. Tính f’’(X) và f’’(Xi).

Dựa vào dấu của f’’(Xi) suy ra tính chất cực trị của điểm Xi.

B. Giải bài tập

Nguồn website giaibai5s.com

  1. Áp dụng Qui tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) y = 2x + 3×2 – 36x – 10 b) y = x4 + 2×2 – 3 c) y = x + 1
  2. d) y = x’ (1 x) e) y = x −x+1

Giải a) Ta có: D = R

y’ = 6x + 6x – 36 = 6(x2 + x – 6)= 0 e x = – 3 hoặc x = 2

X

Bảng biến thiên:

x -00 yet

: -3 0

0

+

4

-54 –

| Hàm số đạt cực đại tại x = -3 và đạt cực tiểu tại x = 2, vậy đồ thị của hàm số có điểm cực đại là (-3; 71) và điểm cực tiểu là (2; 54). . b) Ta có: D = R .

. .y = 4x + 4x = 4x (x + 1) = 0 x = 0 Bảng biến thiên:

x

-00

0.. O

+o

+

y

too

too

Vậy hàm số có điểm cực tiểu là x = 0. c) Ta có: D = R \ {0}

y’ =1- = 08 x =+1, hàm số không xác định tại x = 0

Bảng biến thiên:

-00

to

x y

0 y(-1)

0 1

Bảng biến thiên:

0

|

X1-00 yl +

0 +

0

0

too + Ritoo

13

:

1-00

y(1)

Vậy hàm số có điểm cực đại XCĐ

2 và điểm cực tiểu XCT = 1.

Ta có: x = 0 không phải là điểm cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi x đi qua x = 0…

|

|

  1. e) Ta có: x^ – x + 1 = |

>OVER

–x+1 luôn luôn xác định. Vậy D = R.

| Do đó, với mọi x + R thì

. 2x-1

x = 2VR=0 =x=į

Bảng biến thiên:

X

.

to

0

+

y

1+00

too

Vậy hàm số có điểm cực tiểu XcT =

.

  1. Áp dụng Qui tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) y = x* – 2×2 + 1
  2. b) y = sin2x – x c) y = sinx + cosx
  3. d) y = x – x – 2x – 1

– Giải a) Ta có: D = R .

y = 4x – 4x = 0 x = 0, x = 11 y” = 12×2 – 4 y”(0) = -1 < 0 => x = 0 là điểm cực đại: XC2 = 0 y(+1) = 8 > 0 3 x = -1 và x = 1 là các điểm cực tiểu.

| b) Ta có: D = R

TL

y = 2cos2x – 1 = 0

X=+-+ka,ke Z

.

6

.

y” = -4sin2x

  1. c) Ta có: D = R

y = 2cos2x-1=0 @x=t+ktkez y (ka) –4sin <0=x=”#ka, kez vel # + kr) – 4sinį >0 = x= – + ka, k ez y = sinx + cosx = y = 52 sin(x + 1) y’= 12 cos(x + 3). y’=0@x=+ka, kez

y ==vēsin(x + ) Ta có: (5 km — 2 sản(5 km — nếu k chẩn

sinx + cosx

IX

nếu k lẻ

. Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x =4+2k

và cực tiểu tại điểm

x =* +(2k +1)r, vk ez. d) Ta có: D = R

y’ = 5×4 – 3×2 – 2 = 0 x=1 y” – 20×2 – 6x y”(-1) = -20 + 6 = -14 <0 XCĐ = -1

y”(1) = 20 – 6 = 14 > 0 Xct = 1 3. Chứng minh rằng hàm số y = x không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó. .

Giải Ta có, giới hạn của tỉ số CP thuộc hàm số y = x tại xa = 0 là:

Vaxl

VIAX)

lim 4y = lim V10+4xl-von

= lim

. Ax

Ax+” Ax 4076 Ax Jx+6 Ax

… |AX|_1-với Ax < 0 “TA LAN (+0 với Ax < 0

= lim

::

4x>0

Nghĩa là hàm số y = x không có đạo hàm tại x = 0. Xét y = x trong khoảng 60 – ; 0 + 1) với h > 0, ta có:

x>0, Vxc(0–; 0+h); x = 0 Vậy hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0.

  1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = x – mx^ – 2x + 1 luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Giải Xét hàm số y = x^ – mx^ – 2x + 1, ta có:

D = Ꭱ . y’ = 3×2 – 2mx – 2 = 0). im – Vm2 +

6 m + Vm’ + ox, =

3

VX2 = –

3

Với mọi giá trị của m ta đều có x < 0 < xa. Bảng biến thiên: xl -00

xi

2..

too

+

0

. +

0

y(x1)

,

-o

y(x2)

Qua bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có xp =

m-Vm _m+Vm2 +6

” với mọi giá trị của tham số m.. 3

j

cp =

  1. Tìm a và b để các cực trị của hàm số y=ax+ 2ax 9x+b đều

là những số dương và x =- là điểm cực đại.

Ta có:

Giải Nếu a = 0 thì y = -3x + b. Vậy hàm số không có cực trị. Nếu a + 0. Khi đó:

y’= 5a’x? +2ax -9; y’=0

Ta xét hai trường hợp: a) Nếu a < 0 thì ta có bảng biến thiên:

-00

too

x] y

+

T +

too

V

Vì x =là điểm cực đại nên -=

а 9 Bên cạnh đó, giá trị cực tiểu là số dương nên:

Từ đó suy ra:

Vì x là điểm cực đại nên a ! Yer =v( 3 )= y(i)>0

Y(0) – są +22–9+b=3*4+2 3)-9+b>0 – +b>0<b>

581 — +2a-9+b=- +2

3 25

1-9+b>0

3

  1. b) Nếu a > 0 thì ta có bảng biến thiên:

x1 -00

a

:

:

too

y

0

X

+

too

Theo đề bài ta có:

5

400

the rest of a yo = y(+)>06203 go

à

>0

9

Yct = y –

la)

243

Nêu

hoặc 3

400

16 > 5

16> 243

x? + mx +1 6. Xác định giá trị của tham số m để hàm số y => – đạt giá

X + m trị cực đại tại x = 2. 16

|

Giải

Ta có: D = R \ {-m} vi_x’ +2mx + m2 -1

(x + m) y’ = 0 6X, -m-1 v x, =-m+1 Bảng biến thiên: .

x | -oo -m-1 -m -m+1 iyul +

– 1 – 0 v :

YCb

too

+

УСТ

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 2 e −m – 1 = 2 +

m = -3.

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số-Bài 2. Cực trị của hàm số
Đánh giá bài viết