Nguồn website giaibai5s.com
BÀI TẬP ÔN CUỐI NĂM1. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HELAB, HF I AC.
a) Tứ giác AEHF là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC ;
c) Biết AH = 2|5cm và BH:HC =3:5. Tính các cạnh của tam giác. 2. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI cắt BC ở K. Qua D kẻ tia Ox vuông góc với DK, Dx cắt BC ở E. Chứng minh :
a) Tam giác DIE là tam giác vuông cân ;
b) không đổi khi chuyển động trên cạnh AB.
3. Cho hình thang vuông ABCD, A =D = 90°. Biết AD = AB = a, CD = 2a.
a) Chứng minh BD vuông góc với BC;
b) Chứng minh tgC =1;
c) Tính chu vi và diện tích của hình thang khi a = 4cm.
4. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm E, trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho DE =BF.
a) Chứng minh ADEC =ABFC;
b) Tam giác ECF là tam giác gì ? Vì sao ?
c) Cho cạnh hình vuông bằng a, và DCE = củ (0< a < 45°). Gọi I là trung điểm của EF, tính AI theo a và ..
5. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AD = BC, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AB = 13a.
a) Tính sin B+cosB, sinB -cosB
b) Tính chiều cao của hình thang.
6. Tam giác ABC có AB=10, 5cm ; AC =14cm và BC = 17,5cm thì sinBcosB bằng :
12 Hãy chọn kết quả đúng.
7. Tam giác ABC vuông ở A, có cosB= thì tgt bằng :
A. ; B. 24; c.24; Hãy chọn kết quả đúng.
8. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=10cm. Trên đoạn AB lấy điểm H sao cho AH = 8cm. Đường thẳng vuông góc với AB tại H, cắt nửa đường tròn ở M.
a) Tính MH, MA và MB ;
b) Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại B cắt AM ở E. Tính AE và EB.
c) Chứng minh rằng nếu H là một điểm tuỳ ý trên đoạn AB thì ta luôn có BE.AM = AB.BM.
9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là một điểm trên cung AB, đường thẳng kẻ qua D song song với BC cắt đường tròn ở D, AD cắt BC tại E.
a) Chứng minh AABD vĐAAEC ;
b) Chứng minh AD.AE = AB.AC ;
c) Gọi F là giao điểm của AC và DD. Chứng minh AAFD » AADB;
d) Chứng minh EC.EB = EDEA.
10. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, dây AC, tiếp tuyến Bx. Đường phân giác của góc CAB cắt BC ở F, cắt nửa đường tròn ở H, cắt Bx ở D. Gọi M là giao điểm của AC với Bx. Chứng minh :
a) FB = BD ; HF = HD ;
b) AHDB VACAF ;
c) BDP = DH.DA ;
d) MB’ = MC.MA.
11. Cho tam giác ABC cân ở A nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MC.
a) Chứng minh CE // MD;
b) AM cắt CE ở I, chứng minh I là trung điểm của CE;
c) Khi M chuyển động trên cung AC thì các điểm E và I chuyển động trên đường nào ? Vì sao ?
12. Cho hình vuông ABCD và một điểm M trên cạnh BC. Vẽ hình vuông AMPQ sao cho P và Q thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AM không chứa đỉnh B. Chứng minh:
a) Ba điểm Q, C, D thẳng hàng;
b) Năm điểm A, M, C, P, Q cùng thuộc một đường tròn ;
c) Điểm P chạy trên một đoạn thắng cố định khi M chuyển động trên cạnh BC.
13. Cho đường tròn (O; R) và cung AB=2S. Từ điểm C trên cung lớn AB, kẻ CHI AB. Biết AH = HC.
a) Tính góc ở tâm AOB;
b) Tính độ dài các cung AC và BC ;
c) Tính các cạnh của tam giác ABC.
14. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, dây cung AC. Biết BAC = 30°.
a) Tính CB, CA theo R ;
b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABD. Chứng minh rằng đường thẳng AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) ;
c) Tính diện tích phần tam giác ABC nằm ngoài đường tròn (O).
15. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt ở C và D. Đặt AC =x , BD =y.
a) Chứng minh tam giác COD là tam giác vuông ;
b) Gọi N là giao điểm của BC với AD và P là giao điểm của MN với AB. Chứng minh N là trung điểm của MP;
c) Tính độ dài của đoạn MP theo x và y ; d) Xác định vị trí của điểm M để tổng x+y nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R.
16. Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại C với đường tròn cắt AB, AD lần lượt ở E và F.
a) Chứng minh AB.AE = AD.AF ;
b) Gọi M là trung điểm của EF, chứng minh AM vuông góc với BD;
c) Tính diện tích phần hình tròn (O) giới hạn bởi dây AD và cung nhỏ AD, biết AB = 6cm, AD=6/3 cm.
17. Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B và C là tiếp điểm) và cát tuyến AMN (M nằm giữa A và N) với đường tròn. Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đường tròn.
a) Chứng minh bốn điểm A, D, E, C cùng thuộc một đường tròn ;
b) Chứng minh góc AEC bằng góc BIC;
c) Chứng minh BI / MN ;
d) Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
18. Cho một hình trụ có bán kính đáy 3cm. Một mặt phẳng đi qua trục 00, phần mặt phẳng giới hạn bởi hình trụ là một hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích hình tròn đáy của hình trụ.
Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình trụ.
19. Người ta cần làm một cái lều hình nón cao 3m, bán kính đường tròn đáy là 2m.
a) Tính số vải bạt cần dùng để lợp lều đó, biết vải thừa ra để làm mép khâu bằng 5% diện tích xung quanh hình nón ;
b) Tính lượng không khí chứa trong lều.
20. Một hình cầu có số đo diện tích (tính bằng m?) bằng hai lần số đo thể tích (tính bằng m).
a) Tính bán kính hình cầu ;
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu.
HƯỚNG DẪN GIẢI- ĐÁP SỐ
1.
a) Tứ giác AEFH là hình chữ nhật, vì có ba góc vuông.
b) Tam giác AHB vuông ở H, có HE LAB, nên AH = AE.AB (1)
Tam giác AHC vuông ở H, có 2 HFLAC, nên AH = AF.AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC.
c) Ta có BH:HC = 3:5, suy ra BH HC ,
k, do đó BH =3k , CH = 5k. 3 5
Tam giác ABC vuông ở A, có AHI BC, nên : AH = BHLCK suy ra 3k.5k =(2/5) hay 15k = 60,
do đó k = 2 vì thế BH = 6cm và HC = 10cm.
Tam giác ABH vuông ở H, ta có:
ABP = BH? +AH2 = 62 +(215)2 = 36+60 =96, suy ra AB= 96 = 4 6 (cm).
Cũng có thể tính như sau :
AB = BH.BC = 6.16 = 96, suy ra AB= 496 = 4,6 (cm).
Tương tự, ta có AC = 4/10 (cm).
2. a) D = D (vì cùng phụ với góc Da)
AADI = ACDE (g-c-g), suy ra DI = DE, do đó AIDE vuông cân ở D.
b) Tam giác DEK vuông ở D, có DC LEK, nên:
z mà DE = DI, DE? “DK” DC? “
ta
Do đó !
– DI
DK2 Dr. không đổi.
3. a) Kẻ BH 1CD, ta có:
Tứ giác ABHD là hình vuông, nên BH = HD = AD=a , suy ra HC = a.
Tam giác BDC có trung tuyến BH = CD nên
CBD = 90°, suy ra BDL BC.
b) Tam giác BHC vuông cân ở H, ta có :
BH _a =1 tgC = HC a
WABCD
c) Tam giác BHC vuông cân ở H: BC2 = HB? + HC2 = a2 + a2 = 2a D
H suy ra BC = a/2
Chu vi hình thang ABCD bằng : AB+BC+CD+DA = a +aV2 + 2a + a = a(4+12)
=4(4+1,41) – 21,64 (cm)
Diện tích hình thang ABCD :
SABCD = (AB + CD).BH = (a +2a).a
= 7.30 = .3.42 = 24 (cm) 4. a) CD=CB, DE = BF, D=B= 90°.
ADEC = ABFC (c.g.c). b) Từ câu a) suy ra CE =CF, C =Ca suy ra ECF = Ĉ2+ Ĉz = Ĉ2+ ĈI = BCD = 90° Vậy tam giác ECF vuông cân ở C.
D c) Trong tam giác vuông DEC, ta có :
CE – CD-a
cosa
cosa
Tam giác CIE vuông cân ở I, nên : CE = CIV2 hay CI = T Tacoso 2 cosa Mặt khác AI = CI (cùng bằng EF), do đó :
Al = avž
Η
AC
ВС
2 cosa 5. a) Ta có BC = AD =5a. Tam giác ACB vuông ở C: AC2 = AB? – BC2 = (13a)? – (5a)?
= 144a? suy ra AC = 12a.
Hình 243 Ta có: sin B = = và cosB ===. Do đó
AB
AC BC sin B+cosB AC + BC 12a + 5a 17a
= 2,43 sinB-cosB AC_BC AC-BC 12a –5a7a
AB AB b) Kẻ CHI AB. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:
169 +AC BC2 144a2 25a2 3600a
АВ
13
Suy ra CH = 90 = 4, 6a. 6. Ta có : AB + AC = 10,5 +14 = 306,25 =17,5 = BC
Suy ra tam giác ABC vuông ở A, nên
sin B=
AC BC
14
AB — = 0,8 và cosB= 17,5
BC
=
10,5
= — 17,5
=0,6
Do đó sin B.cosB = 0,8.0,6 =0, 48 =
Vậy chọn C. 7. Vi cosB – AC _C_7 SUV
BC a 25
:
==
25
= k , nên c=7k và a = 25k.
Trong tam giác vuông ABC, ta có : b2 = a? –c? = (25k)2 – (7k)2 = 576k?, suy ra b = 24k.
a
tgB=AC_b_24
BC
a
25
Hình 244
24
Vậy chọn C. 25
Hình 245
IV.
=
ha
8. a) AMB=90° (góc nội tiếp chắn nửađường tròn đường kính AB).
Tam giác AMB vuông ở M, có MHL AB, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có :
O HB MH2 = AH.HB = 8(10-8)=16, suy ra MH=4 (cm)
MA? = AB.AH = 10.8 = 80, suy ra MA = 4/5 (cm) | MB = ABHB=10.2= 20, suy ra MB= 25 (cm) b) AABE SAAHM (g-g), ta có :
AE_EB _AB M, AE EB_10
AM HM AH — 45 4*8 Suy ra AE = 10.4/5 = 55 (cm); EB = 10,4 = 5 (cm) c) Khi H là điểm tuỳ ý trên đoạn AB thì ta luôn có :
BE AB AABEL AAMB (g-g) nên = = hay BE.AM = AB.MB.
MB AM 9. a) DD 7 /BC nên BD=CD suy ra p p
BAD= CAE. ABD = ADD (hai góc (U nội tiếp cùng chắn cung Á AD) mà AD’D = AEC (hai góc đồng vị), suy ra
10
8
8
yra
ABD = AEC. Vậy AABD AAEC (g-g) b) Từ câu a) ta có :
AD AB **=*= hay AD.AE = AB.AC
AC AE C) AFD = 1 sd (AD+DC); AD’B = -sd (AD+DB)
= LSG (AD+DC) (vi DB = DC) Suy ra AFD = ADB.
Dễ dàng chứng minh được DAF = BAD Vậy AAFDRAADB (g-g) d)
Ta có EAC=CBD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD) AEAC AEBD (g-g) nên : 2 = A hay EA.ED = EC.EB.
ED EB
10. a) A2 =CBH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HC)
u = HBD (vì cùng bằng 1 sđ BH) Mà A = u nên FBH = DBH.
Mặt khác AHB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) nên BHLDF.
Tam giác BDF có BH là đường cao và là phân giác nên ABDF cân ở B, suy ra FB = BD và HF =HD.
b) AHBD VACAF (g-g)
c) Tam giác ABD vuông ở B, có BHLAD, nên :
BD= DH.DA d) Tam giác ABM vuông ở B, có BCI AM, nên :
MBP = MC.MA. 11. a) 0 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cân ABC nên AID là phân
giác của góc A, ta có A = A. M = u (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD).
Tương tự Mg = A . Suy ra BMC = 2M = 2M.
Góc BMC là góc ngoài của tam giác cân | MBC tại M nên MEC = M , do đó MD || CE.
b) AMD=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) nên MDI AM mà MD // CE,
do đó MI ICE nên I là trung điểm của CE.
c) AI là đường trung trực của CE nên AE = AC không đổi. Do đó I thuộc đường tròn (A ; AC).
Gọi giao điểm của đường tròn (A ; AC) với tia BA là B. Khi M trùng với C thì E trùng với C, khi M trùng với A thì E trùng với B.
Vậy E chạy trên cung CB thuộc đường tròn (A ; AC). AIC = 90° nên thuộc đường tròn đường kính AC.
Vì M chuyển động trên cung AC nên I chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AC (nửa đường tròn nằm khác phía với điểm B qua AC).
12. a) MAB=QAD (cùng phụ với góc MAD AADQ=AABM (c-g-c), suy ra ADQ = ABM = 90°
Do đó CDA + ADQ=180°. Vậy ba điểm C, Q, D thẳng hàng.
b) Ta có : MAQ= MCQ= MPQ = 90°. os Do đó ba điểm A, C, P cùng thuộc đường tròn đường kính MQ, hay năm điểm A, M, C, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
c) Từ câu b), suy ra ACP = AMP = 90° (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AQP ), suy ra CP1AC. Vậy P chuyển động trên đường thẳng vuông góc với AC tại C.
Vì M chuyển động trên đoạn BC nên P chuyển động trên đoạn CP, (CP, = BC).
50R
13. a) Cả đường tròn dài 2TR ứng với góc ở tâm bằng 360°.
Cung AB dài PS ứng với góc tâm AOB bằng:
Hlo
360° STR
6-=150°
Hình 250
Vi
; nên
3
250R
b) Tam giác AHC vuông cân ở H nên CAB= 45°, suy ra BOC = 2BAC = 2.45° = 90° (góc ở tâm bằng hai góc nội tiếp cùng chắn một cung), do đó cung BC bằng :
2TR 90° TR
360° 2 Độ dài cung AC bằng :
20R_SAR_TR_ _ 2TR
6 2 3 b) Tam giác BOC vuông cân ở 0, ta có BC = R /2 .
5 21R
C=“ , nên góc ở tâm AOC=4.360° =120°. Gọi K là trung điểm của AC, từ tam giác vuông AKO, ta có :
AK = R sin 60° = R3, do đó AC = 2,AK = R/3. Trong tam giác vuông cân AHC, ta có
AH = HC = AC.sin45o = RVG ABC = AOC = 60° (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung AC), vì thế trong tam giác vuông BHC thì BHC = 30°, nên BH = LBC – RyZ
Vậy AB = AH+ HB = k(/6 + 2). 14. a) Tam giác BỌC đều nên BC = R.
Áp dụng định lí Py-ta-go với tam giác vuông ACB, ta được AC = R V3 .
b) AABD cân ở B, nên BAD = BDA.
Góc ABC là góc ngoài ở đỉnh B của tam giác cân ABD, ta có :
ADB = LABC = 7.60o = 30°.
Do đó AOD = ADB = 2.30° = 60°, vì thế AAOB là tam giác đều, suy ra OʻAB = 60° O’AC = O’AB+BAC = 60° +30o = 90°, suy ra AOL AC tại A.
c) Gọi diện tích phân phải tính là S thì : S=SABC -Sviên phản AOB =SABC (Sau tr8TAOB-SAOB)
=R*3-(AR2 – V3R2)
11h 251
ABC
hin AOB
BO
trn AOT
OB
R (983 + 47).
.
15. a) AMOC = AAOC (c.c.c), ta có
MỘC = AOC, suy ra OC là phân giác của góc AOM.
Tương tự OD là phân giác của góc MOB.
Do đó OC LOD hay ACOD vuông ở 0.
b) Vì Ax 17 By nên ANAC – ANDB,
NC _AC_CM suy ra
NB DB MD nên MN //BD//AC
MN DM ADMN SADCA , ta có “ ==
CA DC
=
–
po
H
252
(1)
APNBAACB, ta có NP – PB
(2) AC PA Mặt khác do MP // BD, theo định lí Ta-lét, ta có:
DM PB BN
DCPACNI (3)
MN NP Từ (1), (2) và (3) ta có :
AC AC Suy ra MN = NP, tức N là trung điểm của MP.
c) Ta có AOB = 60° (khoảng cách nhỏ nhất giữa Ax và By là AB).
Vì thế (x +y) nhỏ nhất khi và chỉ khi x+y=CD= AB = 2R. Trong trường hợp này OMLAB và P trùng với 0 nên
M là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính AB.
16. a) Tam giác ACE vuông ở
, có CBI AE nên AC2 = AB.AE (1)
Tam giác ACF vuông ở C, có CDI AF nên AC2 = AD.AF (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2
M AB.AE = AF.AD.
b) B =C, (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD).
C = F (cùng phụ với góc FCD).
Suy ra B = F. AMAE cân ở M nên E = AI. Vì E+F=90° nên B += 90°, suy ra AIB = 90° hay AM I BD.
c) Tam giác ABD vuông ở B:
BD2 = AB? + AD2 = 62 +(673)2 = 144, do đó BD = 12 (cm), suy ra OA = OB= AB(= 6cm).
Tam giác AOB là tam giác đều nên AOB = 60°, do đó AOD=120°.
Gọi diện tích phần phải tính là S thì : : S = Squat AoD -SAOD
120 =121 (cm2)
360 Kẻ OH I AD.
Tam giác vuông OAH có OAH = 30° nên OH = 0A = 3cm
– 1.62.120 quạt AOB =
Stop = L.AD.OH = .673.3=9/3 (cm2). Vậy S=12–93 = 22,11(cm2).
17. a) ACO = AEO = 90°.
Bốn điểm A, C, E, 0 cùng thuộc đường tròn đường kính OA. b) AEC = AOC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
AOC = BIC (cùng bằng ACB ). Suy ra AEC = BIC.
c) Do AEC = BIC nên BI I/ MN (hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau).
d) Hai tam giác AIN và ABN có chung đáy AN, có chiều cao bằng nhau nên SB =SBN. Vì vậy S IN lớn nhất khi và chỉ khi SABN lớn nhất.
Do AB cố định nên SABN lớn nhất khi và chỉ khi chiều cao NH lớn nhất.
Mà NHÉ NB nên NH lớn nhất khi và chỉ khi N = B. Trong trường
hợp này ba điểm B, 0, N thẳng hàng.
18. Diện tích hình chữ nhật ABB’A’:
SABB’A = AB.AA’ = 6h Diện tích hình tròn đáy: So = TEro = 9.
VÌ SABBA =So, nên 9 = 6h , suy ra h=
……
Diện tích xung quanh hình trụ là : Sxa = 21rh = 2.1.3. 5T = 911° = 88,74 (cm2) Diện tích toàn phần hình trụ là : Son = 2īrh + 2rr2 = 91° +181 = 145, 26 (cm)
Thể tích hình trụ :
Vo = ter’h = 71.32. ST = 13,572 – 133,14 (cm)
19. a) Diện tích vải cần dùng bằng diện tích xung quanh của hình nón cộng với 5% diện tích của nó.
Do đó nếu gọi số vải cần dùng là S thì :
S= 27tr/.105%
Trong đó đường sinh của hình nón :
1 = 132 +22 = V13 (cm) Vậy
S = 2.3,14./13.105% 23, 7 (mo).
b) Lượng không khí chứa trong lều bằng thể tích của hình nón :
-TTrh ==T.22.3 = 4C = 12, 56 (m).
non
20. a) Theo đề bài, ta có :
b) Diện tích bề mặt cầu là :
47IR? = 2 * AR’ 3=2R R = (m) s=”#r*=+=(1. = x=28, 25 cm)
S= 4R? = 4.0. =
بها با
= 911 = 28,
Thể tích hình cầu :
3
Vcầu
TR3
4 1 3 1 3.7.12
n. –
= 4,511 = 14,13 (m
).
a) Tứ giác AEHF là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC ;
c) Biết AH = 2|5cm và BH:HC =3:5. Tính các cạnh của tam giác. 2. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI cắt BC ở K. Qua D kẻ tia Ox vuông góc với DK, Dx cắt BC ở E. Chứng minh :
a) Tam giác DIE là tam giác vuông cân ;
b) không đổi khi chuyển động trên cạnh AB.
3. Cho hình thang vuông ABCD, A =D = 90°. Biết AD = AB = a, CD = 2a.
a) Chứng minh BD vuông góc với BC;
b) Chứng minh tgC =1;
c) Tính chu vi và diện tích của hình thang khi a = 4cm.
4. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm E, trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho DE =BF.
a) Chứng minh ADEC =ABFC;
b) Tam giác ECF là tam giác gì ? Vì sao ?
c) Cho cạnh hình vuông bằng a, và DCE = củ (0< a < 45°). Gọi I là trung điểm của EF, tính AI theo a và ..
5. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AD = BC, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AB = 13a.
a) Tính sin B+cosB, sinB -cosB
b) Tính chiều cao của hình thang.
6. Tam giác ABC có AB=10, 5cm ; AC =14cm và BC = 17,5cm thì sinBcosB bằng :
12 Hãy chọn kết quả đúng.
7. Tam giác ABC vuông ở A, có cosB= thì tgt bằng :
A. ; B. 24; c.24; Hãy chọn kết quả đúng.
8. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=10cm. Trên đoạn AB lấy điểm H sao cho AH = 8cm. Đường thẳng vuông góc với AB tại H, cắt nửa đường tròn ở M.
a) Tính MH, MA và MB ;
b) Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại B cắt AM ở E. Tính AE và EB.
c) Chứng minh rằng nếu H là một điểm tuỳ ý trên đoạn AB thì ta luôn có BE.AM = AB.BM.
9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là một điểm trên cung AB, đường thẳng kẻ qua D song song với BC cắt đường tròn ở D, AD cắt BC tại E.
a) Chứng minh AABD vĐAAEC ;
b) Chứng minh AD.AE = AB.AC ;
c) Gọi F là giao điểm của AC và DD. Chứng minh AAFD » AADB;
d) Chứng minh EC.EB = EDEA.
10. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, dây AC, tiếp tuyến Bx. Đường phân giác của góc CAB cắt BC ở F, cắt nửa đường tròn ở H, cắt Bx ở D. Gọi M là giao điểm của AC với Bx. Chứng minh :
a) FB = BD ; HF = HD ;
b) AHDB VACAF ;
c) BDP = DH.DA ;
d) MB’ = MC.MA.
11. Cho tam giác ABC cân ở A nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MC.
a) Chứng minh CE // MD;
b) AM cắt CE ở I, chứng minh I là trung điểm của CE;
c) Khi M chuyển động trên cung AC thì các điểm E và I chuyển động trên đường nào ? Vì sao ?
12. Cho hình vuông ABCD và một điểm M trên cạnh BC. Vẽ hình vuông AMPQ sao cho P và Q thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AM không chứa đỉnh B. Chứng minh:
a) Ba điểm Q, C, D thẳng hàng;
b) Năm điểm A, M, C, P, Q cùng thuộc một đường tròn ;
c) Điểm P chạy trên một đoạn thắng cố định khi M chuyển động trên cạnh BC.
13. Cho đường tròn (O; R) và cung AB=2S. Từ điểm C trên cung lớn AB, kẻ CHI AB. Biết AH = HC.
a) Tính góc ở tâm AOB;
b) Tính độ dài các cung AC và BC ;
c) Tính các cạnh của tam giác ABC.
14. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, dây cung AC. Biết BAC = 30°.
a) Tính CB, CA theo R ;
b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABD. Chứng minh rằng đường thẳng AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) ;
c) Tính diện tích phần tam giác ABC nằm ngoài đường tròn (O).
15. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt ở C và D. Đặt AC =x , BD =y.
a) Chứng minh tam giác COD là tam giác vuông ;
b) Gọi N là giao điểm của BC với AD và P là giao điểm của MN với AB. Chứng minh N là trung điểm của MP;
c) Tính độ dài của đoạn MP theo x và y ; d) Xác định vị trí của điểm M để tổng x+y nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R.
16. Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại C với đường tròn cắt AB, AD lần lượt ở E và F.
a) Chứng minh AB.AE = AD.AF ;
b) Gọi M là trung điểm của EF, chứng minh AM vuông góc với BD;
c) Tính diện tích phần hình tròn (O) giới hạn bởi dây AD và cung nhỏ AD, biết AB = 6cm, AD=6/3 cm.
17. Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B và C là tiếp điểm) và cát tuyến AMN (M nằm giữa A và N) với đường tròn. Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đường tròn.
a) Chứng minh bốn điểm A, D, E, C cùng thuộc một đường tròn ;
b) Chứng minh góc AEC bằng góc BIC;
c) Chứng minh BI / MN ;
d) Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
18. Cho một hình trụ có bán kính đáy 3cm. Một mặt phẳng đi qua trục 00, phần mặt phẳng giới hạn bởi hình trụ là một hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích hình tròn đáy của hình trụ.
Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình trụ.
19. Người ta cần làm một cái lều hình nón cao 3m, bán kính đường tròn đáy là 2m.
a) Tính số vải bạt cần dùng để lợp lều đó, biết vải thừa ra để làm mép khâu bằng 5% diện tích xung quanh hình nón ;
b) Tính lượng không khí chứa trong lều.
20. Một hình cầu có số đo diện tích (tính bằng m?) bằng hai lần số đo thể tích (tính bằng m).
a) Tính bán kính hình cầu ;
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu.
HƯỚNG DẪN GIẢI- ĐÁP SỐ
1.
a) Tứ giác AEFH là hình chữ nhật, vì có ba góc vuông.
b) Tam giác AHB vuông ở H, có HE LAB, nên AH = AE.AB (1)
Tam giác AHC vuông ở H, có 2 HFLAC, nên AH = AF.AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC.
c) Ta có BH:HC = 3:5, suy ra BH HC ,
k, do đó BH =3k , CH = 5k. 3 5
Tam giác ABC vuông ở A, có AHI BC, nên : AH = BHLCK suy ra 3k.5k =(2/5) hay 15k = 60,
do đó k = 2 vì thế BH = 6cm và HC = 10cm.
Tam giác ABH vuông ở H, ta có:
ABP = BH? +AH2 = 62 +(215)2 = 36+60 =96, suy ra AB= 96 = 4 6 (cm).
Cũng có thể tính như sau :
AB = BH.BC = 6.16 = 96, suy ra AB= 496 = 4,6 (cm).
Tương tự, ta có AC = 4/10 (cm).
2. a) D = D (vì cùng phụ với góc Da)
AADI = ACDE (g-c-g), suy ra DI = DE, do đó AIDE vuông cân ở D.
b) Tam giác DEK vuông ở D, có DC LEK, nên:
z mà DE = DI, DE? “DK” DC? “
ta
Do đó !
– DI
DK2 Dr. không đổi.
3. a) Kẻ BH 1CD, ta có:
Tứ giác ABHD là hình vuông, nên BH = HD = AD=a , suy ra HC = a.
Tam giác BDC có trung tuyến BH = CD nên
CBD = 90°, suy ra BDL BC.
b) Tam giác BHC vuông cân ở H, ta có :
BH _a =1 tgC = HC a
WABCD
c) Tam giác BHC vuông cân ở H: BC2 = HB? + HC2 = a2 + a2 = 2a D
H suy ra BC = a/2
Chu vi hình thang ABCD bằng : AB+BC+CD+DA = a +aV2 + 2a + a = a(4+12)
=4(4+1,41) – 21,64 (cm)
Diện tích hình thang ABCD :
SABCD = (AB + CD).BH = (a +2a).a
= 7.30 = .3.42 = 24 (cm) 4. a) CD=CB, DE = BF, D=B= 90°.
ADEC = ABFC (c.g.c). b) Từ câu a) suy ra CE =CF, C =Ca suy ra ECF = Ĉ2+ Ĉz = Ĉ2+ ĈI = BCD = 90° Vậy tam giác ECF vuông cân ở C.
D c) Trong tam giác vuông DEC, ta có :
CE – CD-a
cosa
cosa
Tam giác CIE vuông cân ở I, nên : CE = CIV2 hay CI = T Tacoso 2 cosa Mặt khác AI = CI (cùng bằng EF), do đó :
Al = avž
Η
AC
ВС
2 cosa 5. a) Ta có BC = AD =5a. Tam giác ACB vuông ở C: AC2 = AB? – BC2 = (13a)? – (5a)?
= 144a? suy ra AC = 12a.
Hình 243 Ta có: sin B = = và cosB ===. Do đó
AB
AC BC sin B+cosB AC + BC 12a + 5a 17a
= 2,43 sinB-cosB AC_BC AC-BC 12a –5a7a
AB AB b) Kẻ CHI AB. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:
169 +AC BC2 144a2 25a2 3600a
АВ
13
Suy ra CH = 90 = 4, 6a. 6. Ta có : AB + AC = 10,5 +14 = 306,25 =17,5 = BC
Suy ra tam giác ABC vuông ở A, nên
sin B=
AC BC
14
AB — = 0,8 và cosB= 17,5
BC
=
10,5
= — 17,5
=0,6
Do đó sin B.cosB = 0,8.0,6 =0, 48 =
Vậy chọn C. 7. Vi cosB – AC _C_7 SUV
BC a 25
:
==
25
= k , nên c=7k và a = 25k.
Trong tam giác vuông ABC, ta có : b2 = a? –c? = (25k)2 – (7k)2 = 576k?, suy ra b = 24k.
a
tgB=AC_b_24
BC
a
25
Hình 244
24
Vậy chọn C. 25
Hình 245
IV.
=
ha
8. a) AMB=90° (góc nội tiếp chắn nửađường tròn đường kính AB).
Tam giác AMB vuông ở M, có MHL AB, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có :
O HB MH2 = AH.HB = 8(10-8)=16, suy ra MH=4 (cm)
MA? = AB.AH = 10.8 = 80, suy ra MA = 4/5 (cm) | MB = ABHB=10.2= 20, suy ra MB= 25 (cm) b) AABE SAAHM (g-g), ta có :
AE_EB _AB M, AE EB_10
AM HM AH — 45 4*8 Suy ra AE = 10.4/5 = 55 (cm); EB = 10,4 = 5 (cm) c) Khi H là điểm tuỳ ý trên đoạn AB thì ta luôn có :
BE AB AABEL AAMB (g-g) nên = = hay BE.AM = AB.MB.
MB AM 9. a) DD 7 /BC nên BD=CD suy ra p p
BAD= CAE. ABD = ADD (hai góc (U nội tiếp cùng chắn cung Á AD) mà AD’D = AEC (hai góc đồng vị), suy ra
10
8
8
yra
ABD = AEC. Vậy AABD AAEC (g-g) b) Từ câu a) ta có :
AD AB **=*= hay AD.AE = AB.AC
AC AE C) AFD = 1 sd (AD+DC); AD’B = -sd (AD+DB)
= LSG (AD+DC) (vi DB = DC) Suy ra AFD = ADB.
Dễ dàng chứng minh được DAF = BAD Vậy AAFDRAADB (g-g) d)
Ta có EAC=CBD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD) AEAC AEBD (g-g) nên : 2 = A hay EA.ED = EC.EB.
ED EB
10. a) A2 =CBH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HC)
u = HBD (vì cùng bằng 1 sđ BH) Mà A = u nên FBH = DBH.
Mặt khác AHB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) nên BHLDF.
Tam giác BDF có BH là đường cao và là phân giác nên ABDF cân ở B, suy ra FB = BD và HF =HD.
b) AHBD VACAF (g-g)
c) Tam giác ABD vuông ở B, có BHLAD, nên :
BD= DH.DA d) Tam giác ABM vuông ở B, có BCI AM, nên :
MBP = MC.MA. 11. a) 0 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cân ABC nên AID là phân
giác của góc A, ta có A = A. M = u (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD).
Tương tự Mg = A . Suy ra BMC = 2M = 2M.
Góc BMC là góc ngoài của tam giác cân | MBC tại M nên MEC = M , do đó MD || CE.
b) AMD=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) nên MDI AM mà MD // CE,
do đó MI ICE nên I là trung điểm của CE.
c) AI là đường trung trực của CE nên AE = AC không đổi. Do đó I thuộc đường tròn (A ; AC).
Gọi giao điểm của đường tròn (A ; AC) với tia BA là B. Khi M trùng với C thì E trùng với C, khi M trùng với A thì E trùng với B.
Vậy E chạy trên cung CB thuộc đường tròn (A ; AC). AIC = 90° nên thuộc đường tròn đường kính AC.
Vì M chuyển động trên cung AC nên I chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AC (nửa đường tròn nằm khác phía với điểm B qua AC).
12. a) MAB=QAD (cùng phụ với góc MAD AADQ=AABM (c-g-c), suy ra ADQ = ABM = 90°
Do đó CDA + ADQ=180°. Vậy ba điểm C, Q, D thẳng hàng.
b) Ta có : MAQ= MCQ= MPQ = 90°. os Do đó ba điểm A, C, P cùng thuộc đường tròn đường kính MQ, hay năm điểm A, M, C, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
c) Từ câu b), suy ra ACP = AMP = 90° (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AQP ), suy ra CP1AC. Vậy P chuyển động trên đường thẳng vuông góc với AC tại C.
Vì M chuyển động trên đoạn BC nên P chuyển động trên đoạn CP, (CP, = BC).
50R
13. a) Cả đường tròn dài 2TR ứng với góc ở tâm bằng 360°.
Cung AB dài PS ứng với góc tâm AOB bằng:
Hlo
360° STR
6-=150°
Hình 250
Vi
; nên
3
250R
b) Tam giác AHC vuông cân ở H nên CAB= 45°, suy ra BOC = 2BAC = 2.45° = 90° (góc ở tâm bằng hai góc nội tiếp cùng chắn một cung), do đó cung BC bằng :
2TR 90° TR
360° 2 Độ dài cung AC bằng :
20R_SAR_TR_ _ 2TR
6 2 3 b) Tam giác BOC vuông cân ở 0, ta có BC = R /2 .
5 21R
C=“ , nên góc ở tâm AOC=4.360° =120°. Gọi K là trung điểm của AC, từ tam giác vuông AKO, ta có :
AK = R sin 60° = R3, do đó AC = 2,AK = R/3. Trong tam giác vuông cân AHC, ta có
AH = HC = AC.sin45o = RVG ABC = AOC = 60° (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung AC), vì thế trong tam giác vuông BHC thì BHC = 30°, nên BH = LBC – RyZ
Vậy AB = AH+ HB = k(/6 + 2). 14. a) Tam giác BỌC đều nên BC = R.
Áp dụng định lí Py-ta-go với tam giác vuông ACB, ta được AC = R V3 .
b) AABD cân ở B, nên BAD = BDA.
Góc ABC là góc ngoài ở đỉnh B của tam giác cân ABD, ta có :
ADB = LABC = 7.60o = 30°.
Do đó AOD = ADB = 2.30° = 60°, vì thế AAOB là tam giác đều, suy ra OʻAB = 60° O’AC = O’AB+BAC = 60° +30o = 90°, suy ra AOL AC tại A.
c) Gọi diện tích phân phải tính là S thì : S=SABC -Sviên phản AOB =SABC (Sau tr8TAOB-SAOB)
=R*3-(AR2 – V3R2)
11h 251
ABC
hin AOB
BO
trn AOT
OB
R (983 + 47).
.
15. a) AMOC = AAOC (c.c.c), ta có
MỘC = AOC, suy ra OC là phân giác của góc AOM.
Tương tự OD là phân giác của góc MOB.
Do đó OC LOD hay ACOD vuông ở 0.
b) Vì Ax 17 By nên ANAC – ANDB,
NC _AC_CM suy ra
NB DB MD nên MN //BD//AC
MN DM ADMN SADCA , ta có “ ==
CA DC
=
–
po
H
252
(1)
APNBAACB, ta có NP – PB
(2) AC PA Mặt khác do MP // BD, theo định lí Ta-lét, ta có:
DM PB BN
DCPACNI (3)
MN NP Từ (1), (2) và (3) ta có :
AC AC Suy ra MN = NP, tức N là trung điểm của MP.
c) Ta có AOB = 60° (khoảng cách nhỏ nhất giữa Ax và By là AB).
Vì thế (x +y) nhỏ nhất khi và chỉ khi x+y=CD= AB = 2R. Trong trường hợp này OMLAB và P trùng với 0 nên
M là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính AB.
16. a) Tam giác ACE vuông ở
, có CBI AE nên AC2 = AB.AE (1)
Tam giác ACF vuông ở C, có CDI AF nên AC2 = AD.AF (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2
M AB.AE = AF.AD.
b) B =C, (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD).
C = F (cùng phụ với góc FCD).
Suy ra B = F. AMAE cân ở M nên E = AI. Vì E+F=90° nên B += 90°, suy ra AIB = 90° hay AM I BD.
c) Tam giác ABD vuông ở B:
BD2 = AB? + AD2 = 62 +(673)2 = 144, do đó BD = 12 (cm), suy ra OA = OB= AB(= 6cm).
Tam giác AOB là tam giác đều nên AOB = 60°, do đó AOD=120°.
Gọi diện tích phần phải tính là S thì : : S = Squat AoD -SAOD
120 =121 (cm2)
360 Kẻ OH I AD.
Tam giác vuông OAH có OAH = 30° nên OH = 0A = 3cm
– 1.62.120 quạt AOB =
Stop = L.AD.OH = .673.3=9/3 (cm2). Vậy S=12–93 = 22,11(cm2).
17. a) ACO = AEO = 90°.
Bốn điểm A, C, E, 0 cùng thuộc đường tròn đường kính OA. b) AEC = AOC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
AOC = BIC (cùng bằng ACB ). Suy ra AEC = BIC.
c) Do AEC = BIC nên BI I/ MN (hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau).
d) Hai tam giác AIN và ABN có chung đáy AN, có chiều cao bằng nhau nên SB =SBN. Vì vậy S IN lớn nhất khi và chỉ khi SABN lớn nhất.
Do AB cố định nên SABN lớn nhất khi và chỉ khi chiều cao NH lớn nhất.
Mà NHÉ NB nên NH lớn nhất khi và chỉ khi N = B. Trong trường
hợp này ba điểm B, 0, N thẳng hàng.
18. Diện tích hình chữ nhật ABB’A’:
SABB’A = AB.AA’ = 6h Diện tích hình tròn đáy: So = TEro = 9.
VÌ SABBA =So, nên 9 = 6h , suy ra h=
……
Diện tích xung quanh hình trụ là : Sxa = 21rh = 2.1.3. 5T = 911° = 88,74 (cm2) Diện tích toàn phần hình trụ là : Son = 2īrh + 2rr2 = 91° +181 = 145, 26 (cm)
Thể tích hình trụ :
Vo = ter’h = 71.32. ST = 13,572 – 133,14 (cm)
19. a) Diện tích vải cần dùng bằng diện tích xung quanh của hình nón cộng với 5% diện tích của nó.
Do đó nếu gọi số vải cần dùng là S thì :
S= 27tr/.105%
Trong đó đường sinh của hình nón :
1 = 132 +22 = V13 (cm) Vậy
S = 2.3,14./13.105% 23, 7 (mo).
b) Lượng không khí chứa trong lều bằng thể tích của hình nón :
-TTrh ==T.22.3 = 4C = 12, 56 (m).
non
20. a) Theo đề bài, ta có :
b) Diện tích bề mặt cầu là :
47IR? = 2 * AR’ 3=2R R = (m) s=”#r*=+=(1. = x=28, 25 cm)
S= 4R? = 4.0. =
بها با
= 911 = 28,
Thể tích hình cầu :
3
Vcầu
TR3
4 1 3 1 3.7.12
n. –
= 4,511 = 14,13 (m
).