I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Δ = b2 – 4ac gọi là biệt thức của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 với a ≠ 0.
|
Nguồn website giaibai5s.com
Ví dụ 4 : Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c tính biệt thức A và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau :
a) x2 — 7x +13=0);
b) –5×2 + 5x – 1,25 = 0 ;
c) x2 — (V2+1)x – V2 = 0.
Giải:
a) Phương trình x” – 7x +13=0, có hệ số a =1, b=-7 và c=13.
A=(-7)2 – 4(1).13 = 49 – 52 =-3<0 Vậy phương trình x? – 7x +13=0 vô nghiệm. b) Phương trình -5x^ +5x – 1,25 = 0, có hệ số a =-5, b =5 và C=-1,25. A=5+ – 4(-5).(-1, 25) = 25 – 25 = 0 Vậy phương trình -5x^ +5x -1, 25 =0, có nghiệm kép. c) Phương trình x^ -(N2 + 1)x – 2 =0, có hệ số a=1, b =−(2+1) và c =-2. A=[-(42 +1)]° -4(1).(-V2)= 2 +212 +1+422 = 3+602 > 0
Vậy phương trình xâ(V2 +1)x – V2 = 0, có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 5 : Với giá trị nào của m thì mỗi phương trình sau có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó :
a) 3×2 + mx + 12 = 0;
b) (m+3)x2 – mx +m=0.
Giải:
a) Ta có : A= m – 4(3).12 = mo-144 =(m+12)(m-12)
Phương trình đã cho có nghiệm kép khi và chỉ khi: A=0 6 (m+12)(m–12)=06m12-0 #m=12
m+12 = 0 [m=-12 – Với m=-12 , ta có x = x = = = 2.
-m -12 – Với m = 12 , ta có xy = x =”= =-2.
Trả lời : Với m =-12 hoặc m =12 thì phương trình đã cho có nghiệm kép.
Các nghiệm kép tương ứng đó là x =x = 2 và xy = x = -2.
b) Phương trình (m+3)x^– mx + m =0 có nghiệm kép khi và chỉ khi:
s(m+3)+1 (m+370 (m+370 11=0 m2 – 4m(m+3)=01-3m2 – 12m = 0
(m#-3 C1-3m(m+4)=0 m = 0 hoặc m=-4 = m =0 hoặc m = 4.
m 0 – Với m = 0, ta có x= X25,
2(m+3) 2.3 – m
– 4 – 4 – Với m =-4, ta có X =X4 2(m+3) 2(-4+3) –2 Trả lời : Với m = 0 hoặc m =–4 thì phương trình đã cho có nghiệm kép. Các nghiệm kép tương ứng đó là x = xy = 0 và x = X = 2.
=0
-= 2
II. BÀI TẬP
17. Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c. Tính biệt thức A và xác định số nghiệm mỗi phương trình sau :
a) x2 -10x + 29 = 0 ;
b) 0,5×2 – 3, 5x – 2,5 = 0;
c) =x +11x +60,5=0 ;
d) 5×2 + 3x – 1=0.
18. Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương
trình sau:
a) 2×2 – 9x +10=0);
b) 3×2 + 7x +5=0;
c) 0,2x’ +0,48 – 7 =0); d) x2 – 5x+3=0); e) x2 – V5x+1=0);
f) x? -(1+13)x + V3 =0.
19. Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau :
a) 5x® + V3x – 1 = 0;
b) x2 – (13 – V2)x – V6 =0;
c) x2 – (2-13)x -273 =0; d) 5x’ – 5V2x + 2,5=0).
20. Với giá trị nào của n thì mỗi phương trình sau có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó :
a) x + nx+1=0;
b) x2 – nx +21=0;
c) 2x^ +nx +8=0;
d) nx? +2(n + 2)x+8 = 0.
21. Với giá trị nào của k thì mỗi phương trình sau vô nghiệm ?
a) 3×2 +2kx +4=0;
b) 5×2 +10x +k=0);
c) 3×2 + kx +1=0);
d) 2V3x? – kv3x – 1 = 0.
22. Với giá trị nào của m thì mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm phân biệt, tính nghiệm của phương trình theo m :
a) 4×2 – MX -15=0;
b) x2 – 8x +4m2 =0);
c) 4×2 + 3x +m-1=0);
d) 3×2 – 2(m – 1)x+ 3 = 0.
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
17. a) a = 1; b=-10; c = 29
A =(-10)? – 4.1.29 =100–116 =-16 <0. Phương trình vô nghiệm. b) a =0,5 ; b = -3,5 ; c= -2,5 A =(-3,5 – 4.0, 5.(-2,5) = 12,25 -5=7,25 >0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c) a = –; b=11; c= 60,5
2
A = 11? -4.4.60,5 = 121-121=0. Phương trình có nghiệm kép.
d) a=5; b = 73 ; c=-1 A=(3)-4.5.(-1)=3+20 = 23>0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
18. a) A =(-9)2 – 4.2.10 = 81–80=1>0; v = vī=1
Phương trình có hai nghiệm : x =
9+1
==2,5 ; xy =
9-1
-= 2 4
X,=
b) A=7? – 4.3.5 = 49-60 =-11<0. Phương trình vô nghiệm. c) A = 0,4×2 – 4.0,2.(-7)=0,16+5,6 = 5,76>0; VA = 5,76 = 2,4 . Phương trình có hai nghiệm : -0,4+2,4
-0,4-2,4 x = =5; X =
– =-7 0,4
– 0,4 d) A =(-5)2 – 4.1.3 = 25–12 =13 >0 ; VO = V13. Phương trình có hai nghiệm :
x.-5-v13 : x. +5+V13
1 2 4 2 2 e) A=(-V5)2 – 4 = 5–4=1>0; VO = vī=1 Phương trình có hai nghiệm: x – y – x, 511 f) A = (1+73)2 – 4/3 = 1+2+3+3=473 =1–213+3
=(13–1)2 >0;
Vo = V(53–1)2 = 13-1 Phương trình có hai nghiệm: 1+73 – 73+1 1+13 + 13-
1 19. a) A = (13)2 – 4.5.(-1)= 3+ 20 = 23>0. Đáp số : x =-V3 – 423, /3 + /23
10 m2 10 b) A=(73 – V2)2 +4V6 = 3+2-216 +476 = 3 +216 +2
= (3+ V2)2 Đáp số : X, – 15–17.–15-v2 _ – v3 ; x3 = 15–12 + V3+ V2 – v3
NUO
x
=
=1; X
=
2
9
X
=
X
=
c) A = (2-V3)2 +8+3=4-473+3+8V3 = 4+4+3+3
= (2+13) Đáp số : x =
2-13–2-13 6. 2-13+2+13 d) A =(5V2)2 – 4.5.2,5 = 50–50=0
X, EL
2
Đáp số : x =x, 52 5
Đáp số : XFX2 10 2 20. a) A=n2-4.
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi : n? 4 = 0 (n+2)(n-2)=0 < n =-2 hoặc n=2. n 2 – Với n=-2, ta có x =x, =–== =1. – Với n= 2, ta có X = x = = =-1. b) A=n? -4.21=n-84. Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi : no-84 =0 (n+(84)(n- (84)=0ên=-84 hoặc n = 84 – Với n=-84 , ta có x = 1 2 2 – Với n= 484 , ta có x, sx, = c) A=n? -4.2.8=n–64. Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi : n? – 64 = 0 (+8)(n-8)=0e n =>8 hoặc n=8 – Với n=-8, ta có x =x, — = =2
100 AIO
– Với n=8, ta có xy = x
^4 =–=
4 4 d) Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi :
Intl 11=0
(n=0
(n0 |[2(n+2)] – 32n=0″](21 – 4)2 =0
Jn70
on=2
In=2
-2(n+2) Với n = 2, ta có x, = xy = –
-2(2+2)
– 2.2
=-2.
20
21. a) A = 4k2 – 48.
Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi: A<07 4k – 48 <0 € (2k+4+3)(2k – 4/3)<0 Vì 2k4/3 >2k –4/3 nên
2k+473 >0 sk>-2/3 (2k-4/3 <0 ok<213
-273 <k<273 Trả lời: Với –2/3 << < 2/3 thì phương trình đã cho vô nghiệm. b) A=100-20k. Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi :
A<0 100-20k <0 20k > 100 k>5. Đáp số :k>5. c) A = k-12. Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi :
A<0 ok-12<0 € (k+213)(k-213)<0 Đáp số : -2/3 0 với mọi R. | Vậy không có giá trị nào của k để phương trình đã cho vô nghiệm, 22. a) A=m? +240 >0 với mọi m. Vậy phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m : m+Vm2 + 240
m-Vm2 +240 X =
b) A=64 – 16m2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi : A>0 64-16m2 >0 € (8+4m)(8-4m) > 0
18+4m > 0 [8+4m<0 18-4m > 0 40 18-4m <0 – Nó 8+4m >0 (m3-2
#-2<m<2 18-4m> 0 * {m<2 → ná (8+4m<0 fm<-2 không có giá trị nào của m thoả mãn điều kiện này. – Nêu 18-4m Koolm>2
16
-; X
=4
Vậy, với –2 m < 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt : x, = 4+2V4 – m2 ; x, =4-214-m? c) A=9-16(m-1)=25-16m. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi : A>0625-16m >0 e 160 < 25m<23 Đáp số : x = -3-/25 – 16m -3+V25 – 16m 8 d) A=T-2(m+1)] – 36 = (2m+8)(2m – 4). Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi : (2m+8)(2m – 4)>062
(2m +8>0 (2m +8<0 > 2m-4>0 hoạe (2m-4 <0 náS2m+8>0 2m >-
8 m >-4 – Nếu 12m – 4>
0 2m >4 * m>2 (2m +8 <0 (2m<-8 (m<-4 – Nếu m > 2
m<-4
m-4<0*2m<4 o mas
Vậy, với m<-4 hoặc m >2 thì phương trình có hai nghiện phân biệt.
2(m+1) – V4m2 +8m – 32. 2(m+1)+V4m2 +8m – 32 X = —
w ; X = – 6
6
a) x2 — 7x +13=0);
b) –5×2 + 5x – 1,25 = 0 ;
c) x2 — (V2+1)x – V2 = 0.
Giải:
a) Phương trình x” – 7x +13=0, có hệ số a =1, b=-7 và c=13.
A=(-7)2 – 4(1).13 = 49 – 52 =-3<0 Vậy phương trình x? – 7x +13=0 vô nghiệm. b) Phương trình -5x^ +5x – 1,25 = 0, có hệ số a =-5, b =5 và C=-1,25. A=5+ – 4(-5).(-1, 25) = 25 – 25 = 0 Vậy phương trình -5x^ +5x -1, 25 =0, có nghiệm kép. c) Phương trình x^ -(N2 + 1)x – 2 =0, có hệ số a=1, b =−(2+1) và c =-2. A=[-(42 +1)]° -4(1).(-V2)= 2 +212 +1+422 = 3+602 > 0
Vậy phương trình xâ(V2 +1)x – V2 = 0, có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 5 : Với giá trị nào của m thì mỗi phương trình sau có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó :
a) 3×2 + mx + 12 = 0;
b) (m+3)x2 – mx +m=0.
Giải:
a) Ta có : A= m – 4(3).12 = mo-144 =(m+12)(m-12)
Phương trình đã cho có nghiệm kép khi và chỉ khi: A=0 6 (m+12)(m–12)=06m12-0 #m=12
m+12 = 0 [m=-12 – Với m=-12 , ta có x = x = = = 2.
-m -12 – Với m = 12 , ta có xy = x =”= =-2.
Trả lời : Với m =-12 hoặc m =12 thì phương trình đã cho có nghiệm kép.
Các nghiệm kép tương ứng đó là x =x = 2 và xy = x = -2.
b) Phương trình (m+3)x^– mx + m =0 có nghiệm kép khi và chỉ khi:
s(m+3)+1 (m+370 (m+370 11=0 m2 – 4m(m+3)=01-3m2 – 12m = 0
(m#-3 C1-3m(m+4)=0 m = 0 hoặc m=-4 = m =0 hoặc m = 4.
m 0 – Với m = 0, ta có x= X25,
2(m+3) 2.3 – m
– 4 – 4 – Với m =-4, ta có X =X4 2(m+3) 2(-4+3) –2 Trả lời : Với m = 0 hoặc m =–4 thì phương trình đã cho có nghiệm kép. Các nghiệm kép tương ứng đó là x = xy = 0 và x = X = 2.
=0
-= 2
II. BÀI TẬP
17. Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c. Tính biệt thức A và xác định số nghiệm mỗi phương trình sau :
a) x2 -10x + 29 = 0 ;
b) 0,5×2 – 3, 5x – 2,5 = 0;
c) =x +11x +60,5=0 ;
d) 5×2 + 3x – 1=0.
18. Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương
trình sau:
a) 2×2 – 9x +10=0);
b) 3×2 + 7x +5=0;
c) 0,2x’ +0,48 – 7 =0); d) x2 – 5x+3=0); e) x2 – V5x+1=0);
f) x? -(1+13)x + V3 =0.
19. Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau :
a) 5x® + V3x – 1 = 0;
b) x2 – (13 – V2)x – V6 =0;
c) x2 – (2-13)x -273 =0; d) 5x’ – 5V2x + 2,5=0).
20. Với giá trị nào của n thì mỗi phương trình sau có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó :
a) x + nx+1=0;
b) x2 – nx +21=0;
c) 2x^ +nx +8=0;
d) nx? +2(n + 2)x+8 = 0.
21. Với giá trị nào của k thì mỗi phương trình sau vô nghiệm ?
a) 3×2 +2kx +4=0;
b) 5×2 +10x +k=0);
c) 3×2 + kx +1=0);
d) 2V3x? – kv3x – 1 = 0.
22. Với giá trị nào của m thì mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm phân biệt, tính nghiệm của phương trình theo m :
a) 4×2 – MX -15=0;
b) x2 – 8x +4m2 =0);
c) 4×2 + 3x +m-1=0);
d) 3×2 – 2(m – 1)x+ 3 = 0.
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
17. a) a = 1; b=-10; c = 29
A =(-10)? – 4.1.29 =100–116 =-16 <0. Phương trình vô nghiệm. b) a =0,5 ; b = -3,5 ; c= -2,5 A =(-3,5 – 4.0, 5.(-2,5) = 12,25 -5=7,25 >0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c) a = –; b=11; c= 60,5
2
A = 11? -4.4.60,5 = 121-121=0. Phương trình có nghiệm kép.
d) a=5; b = 73 ; c=-1 A=(3)-4.5.(-1)=3+20 = 23>0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
18. a) A =(-9)2 – 4.2.10 = 81–80=1>0; v = vī=1
Phương trình có hai nghiệm : x =
9+1
==2,5 ; xy =
9-1
-= 2 4
X,=
b) A=7? – 4.3.5 = 49-60 =-11<0. Phương trình vô nghiệm. c) A = 0,4×2 – 4.0,2.(-7)=0,16+5,6 = 5,76>0; VA = 5,76 = 2,4 . Phương trình có hai nghiệm : -0,4+2,4
-0,4-2,4 x = =5; X =
– =-7 0,4
– 0,4 d) A =(-5)2 – 4.1.3 = 25–12 =13 >0 ; VO = V13. Phương trình có hai nghiệm :
x.-5-v13 : x. +5+V13
1 2 4 2 2 e) A=(-V5)2 – 4 = 5–4=1>0; VO = vī=1 Phương trình có hai nghiệm: x – y – x, 511 f) A = (1+73)2 – 4/3 = 1+2+3+3=473 =1–213+3
=(13–1)2 >0;
Vo = V(53–1)2 = 13-1 Phương trình có hai nghiệm: 1+73 – 73+1 1+13 + 13-
1 19. a) A = (13)2 – 4.5.(-1)= 3+ 20 = 23>0. Đáp số : x =-V3 – 423, /3 + /23
10 m2 10 b) A=(73 – V2)2 +4V6 = 3+2-216 +476 = 3 +216 +2
= (3+ V2)2 Đáp số : X, – 15–17.–15-v2 _ – v3 ; x3 = 15–12 + V3+ V2 – v3
NUO
x
=
=1; X
=
2
9
X
=
X
=
c) A = (2-V3)2 +8+3=4-473+3+8V3 = 4+4+3+3
= (2+13) Đáp số : x =
2-13–2-13 6. 2-13+2+13 d) A =(5V2)2 – 4.5.2,5 = 50–50=0
X, EL
2
Đáp số : x =x, 52 5
Đáp số : XFX2 10 2 20. a) A=n2-4.
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi : n? 4 = 0 (n+2)(n-2)=0 < n =-2 hoặc n=2. n 2 – Với n=-2, ta có x =x, =–== =1. – Với n= 2, ta có X = x = = =-1. b) A=n? -4.21=n-84. Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi : no-84 =0 (n+(84)(n- (84)=0ên=-84 hoặc n = 84 – Với n=-84 , ta có x = 1 2 2 – Với n= 484 , ta có x, sx, = c) A=n? -4.2.8=n–64. Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi : n? – 64 = 0 (+8)(n-8)=0e n =>8 hoặc n=8 – Với n=-8, ta có x =x, — = =2
100 AIO
– Với n=8, ta có xy = x
^4 =–=
4 4 d) Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi :
Intl 11=0
(n=0
(n0 |[2(n+2)] – 32n=0″](21 – 4)2 =0
Jn70
on=2
In=2
-2(n+2) Với n = 2, ta có x, = xy = –
-2(2+2)
– 2.2
=-2.
20
21. a) A = 4k2 – 48.
Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi: A<07 4k – 48 <0 € (2k+4+3)(2k – 4/3)<0 Vì 2k4/3 >2k –4/3 nên
2k+473 >0 sk>-2/3 (2k-4/3 <0 ok<213
-273 <k<273 Trả lời: Với –2/3 << < 2/3 thì phương trình đã cho vô nghiệm. b) A=100-20k. Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi :
A<0 100-20k <0 20k > 100 k>5. Đáp số :k>5. c) A = k-12. Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi :
A<0 ok-12<0 € (k+213)(k-213)<0 Đáp số : -2/3 0 với mọi R. | Vậy không có giá trị nào của k để phương trình đã cho vô nghiệm, 22. a) A=m? +240 >0 với mọi m. Vậy phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m : m+Vm2 + 240
m-Vm2 +240 X =
b) A=64 – 16m2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi : A>0 64-16m2 >0 € (8+4m)(8-4m) > 0
18+4m > 0 [8+4m<0 18-4m > 0 40 18-4m <0 – Nó 8+4m >0 (m3-2
#-2<m<2 18-4m> 0 * {m<2 → ná (8+4m<0 fm<-2 không có giá trị nào của m thoả mãn điều kiện này. – Nêu 18-4m Koolm>2
16
-; X
=4
Vậy, với –2 m < 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt : x, = 4+2V4 – m2 ; x, =4-214-m? c) A=9-16(m-1)=25-16m. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi : A>0625-16m >0 e 160 < 25m<23 Đáp số : x = -3-/25 – 16m -3+V25 – 16m 8 d) A=T-2(m+1)] – 36 = (2m+8)(2m – 4). Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi : (2m+8)(2m – 4)>062
(2m +8>0 (2m +8<0 > 2m-4>0 hoạe (2m-4 <0 náS2m+8>0 2m >-
8 m >-4 – Nếu 12m – 4>
0 2m >4 * m>2 (2m +8 <0 (2m<-8 (m<-4 – Nếu m > 2
m<-4
m-4<0*2m<4 o mas
Vậy, với m<-4 hoặc m >2 thì phương trình có hai nghiện phân biệt.
2(m+1) – V4m2 +8m – 32. 2(m+1)+V4m2 +8m – 32 X = —
w ; X = – 6
6