I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

 Δ’ = b’2 – 4ac gọi là biệt thức của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 với a ≠ 0 và b = 2b’

  • Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm ;
  • Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = b’/2a
  • Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt :

  Nguồn website giaibai5s.com     

Ví dụ 6: Cho phương trình ax2 + bx +c = 0, với a, c trái dấu. Hãy giải thích vì sao phương trình này có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng : Không giải phương trình hãy cho biết mỗi phương trình sau có mấy nghiệm:
a) (1+13)x2 – 2/2x-v3 = 0;
b) 3×2 – (m+1)x – m2 = 0, m=0.
Giải:
Khi phương trình ax2+bx+c=0, có a, c trái dấu thì ac<0, suy ra -ac > 0, do đó –4ac > 0.
Mặt khác bỏ 20 với mọi b (hoặc b >0 với mọi b).
Vì thế A=bo – Hạc > 0 (hoặc A = b^ –ạc > 0).
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.
a) Vì a =1+ 3 >0 còn c=-3 <0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Vì m 40 nên mo >0, do đó cs-m? <0, còn a=3=0.
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 7: Cho phương trình -1,6x^ +mox – 10m =0. Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = 5 ?
Giải:
Nếu x = 5 là một nghiệm của phương trình thì : -1,6.52 +mo.5-10m=0 65m2 –10m – 40 = 0)
m2 – 2m-8=0 (*)
Coi phương trình (*) là phương trình bậc hai một ẩn m, ta có :
A=1+8=9 ; suy ra A = 9 = 3 Phương trình có hai nghiệm : m =1+3= 4 ; m, =13=2. – Với m = 4 , ta có :
-1,6×2 +16x -40=1 # x2-10x + 25 = 0 + (x – 5)= 0)
Phương trình có nghiệm kép x = x2 = 5.
– Với m =-2 , ta có : -1, 6x^+ 4x + 2) = 0 A = 2^-(-1, 6.20) = 36 . Suy ra A = 6. Phương trình có hai nghiệm:
-2+6
– -2-6 X3 ==-2.5 : x =
= 5 -1,6
-1,6 Trả lời : Với m = 4, m =-2 thì phương trình đã cho có một nghiệm X = 5.
II. BÀI TẬP
23. Xác định a, b, c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn để giải các
phương trình sau : a) x2 +4x-1=0;
b) x2 -2/5x+5= 0; c) 4×2 – 12x – 7 =0);
d) 2×2 – 413x +2,5 = 0; e) x2 – 2015 – 4)x –815 =0. 24. Tính gần đúng nghiệm của các phương trình sau, chính xác đến chữ số
thập phân thứ hai : a) 3×2 + 7x +4 = 0;
b) x2 +6x – 1=0; c) 4×2 – 4v3x +3=0);
d) x? – (1+13)x + V3 = 0; e) 6×2–572x +2 =0;
f) x2 – 4x +2=0. 25. Với giá trị nào của k thì :
a) Phương trình 2x+kx -10 = 0 có một nghiệm x = 2 ? b) Phương trình (k –5)x^-(k – 2)x +2k = 0 có một nghiệm x=-2 ?
c) Phương trình kx-kx –72 = 0 có một nghiệm x=-3 ? 26. Với giá trị nào của x hai hàm số sau có giá trị bằng nhau ?
28? – và y = 2x -1 ;
– – và y =-x+2 ;
LA
d) y

c) y=” và y = x −6x-4 ; d) y=h và y= x+. 27. Với giá trị nào của m thì mỗi phương trình sau có nghiệm kép ? Tìm | nghiệm kép đó. a) x2 – 4x +m=0);
b) 2×2 + mx +1=0 ; c) x2 – 2(m-4)x+ m2 +m+3=0 ; d) mx2 – 4x +4m=0.
28. Với giá trị nào của m thì mỗi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt ? a) x2 – 2(m+1)x+ m2 +2 =0);
b) x? – mx + m +3=0); c) 3mx? – 2(3m–2)x+3m–5=0.
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
23. a) a =1, b’ = 2, c=-1.
A= 2? +1=5, suy ra A = 5 Đáp số : x =-2-5 ; x = -2 + 45.
b) a = 1, b’=-15, c=5. 4′ =(-15)2 -5=0. Phương trình có nghiệm kép: x =x, = 45.
c) a =4, b’=-6, c=-7. A = (-6)? – 4.(-7)= 36+ 28 = 64, suy ra A = 64 = 8 Đáp số : x =-0,5 ; x2 =3,5.
d) a = 2, b’ =-272, c= 2,5. A = (-2/2) – 2.2,5=8-5 = 3, suy ra A = 3. Đáp số : x = 242 – 43 và x, 2/2 + V3
e) a =1, b’=-(V5 – 4), c= -4/5.
X=[-(15 – 4)]* +8/5=5+4-8/5+8V5 =9 Suy ra A = T = 3.
Đáp số : x = 45-7; x = 45-1. 24. a) x, = 1 ; X, 2-1,33.
b) x, =-3-V10; x2 =−3+V10. Nghiệm gần đúng của phương trình là : x = -6,17 ; x = 0,17.
c) x, = x2 +0,87.
d) a=f=(1+13) 7 – 473 =1+3+2/3 – 413 = (1 – 13)? suy ra A = 1-45) = 1-5 X, = 1; x = 1,73.
e) A=(-5/2)^-4.6.2 = 50 – 48 = 2, suy ra
A = V2.
Nghiệm gần đúng của phương trình là : x = 0,71 ; x = 0,47. f) A =(-2) – 2 = 2, suy ra A? = V2.
x, = 2-V2 ; x, = 2 + V2 Nghiệm gần đúng của phương trình là : x = 0,786 ; x2 = 3,14. 25. a) Nếu x = 2 là một nghiệm của phương trình thì :
2.4+2k-10=0 2k = 2 k=1. Với k=1, ta có : 2x^+x-10 = 0 A =1+80 = 81, suy ra v = 181 =9.
-1+9
-1-9 X=
; X2=- =-2,5. 14 Trả lời : Khi k=1 thì phương trình có một nghiệm x = 2. b) Tương tự câu a)
Đáp số : k = 3. c) Tương tự câu a)
Đáp số : k = 6. 26. a) Nếu hai hàm số có giá trị bằng nhau thì :
4.
= 2x-10×2 + 4x – 2 = 0
A = 2 +2=6, suy ra A = 6. Do đó : x =-2-6 ; x =-2+ 6 . – Với x =-2-6 thì:
—x? _ (-2-V6)_ _2+6+4V6 –5-216. y=2=2 2
y= 2x-1= 2(-2-46)-15-5-26. Vậy với x =-2-6 thì hai hàm số có giá trị bằng nhau. – Với x, =2+ 6 thì :
-x_(-2+ V6)?_ 2+6-4V6 _ _5126 y= 222
y= 2x -1= 2(-2+ 6)-1=-5+2/6. Vậy với x = -2 + 6 thì hai hàm số có giá trị bằng nhau. Đáp số : x =-2-6 ; x =-2+6.
y
=
b) Tương tự câu a). Đáp số : x — 57 , x, -3t57
c) Tương tự câu a).
Đáp số : x = 2. d) Nếu hai hàm số giá trị bằng nhau thì :
+-ax? – 3x +4= 0
Phương trình (*) có A=(-3)4.1.4 =9-16 =-7< 0 nên vô nghiệm.
Vậy không có giá trị nào của x để hai hàm số có giá trị bằng nhau.
27. a) A’= 4-mn.
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi : 4- m = 0 = m = 4. Với m = 4, ta có x = x =2.
b) A = m2 – 8. Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi:
m2-8=0 € (m+22)(m-2/2) = 0 8 m = -1/2 hoặc m = 2/2..
-m 2 – Với m =
có x= X = . =
– 4 4 2 – Với m= 2/5 , ta có x, xn-- 22 và C) A’=(m – 4)? – mo-m-3= m’–8m+16-m’–m-3 = 13–9m.
13 Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi : 13-9m = 0 <= m = m Khi độ x = xy = m – 4 = =–4= d) Phương trình đã cho có nghiệm kép khi và chỉ khi : sm=0 m#0 m=0 A’=0 4-4m2 = 0 (1 – m)(1+m) = 0) mzo Am=+1 Im=+1 2 – Với m =-1, ta có x = x2= m m 1 2 2 – Với m =1, ta có x, 8x, =. m – 1 28. a) ‘ = (m+1)2 – m2–2 ‘ = m2 +2m+1-m– 2 = 2m-1. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 2m-1>0 em>=
Am> 6
b) A = m – 4(m+3)= m2 – 4m-12. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi : m2 – 4m-12>0 e (m- 2)2 – 16 >0 € (m-6)(m+2) > 0
sm-6> 0 [m>6 m+2>
0 m >-2 m-6<0 m<6 Hoặc { cm+250 m<-2
#m<-2
m Vậy, với m <-2 hoặc m >6 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. c) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi :
(m#0 {m=0 14′>0 (3m– 2)2 – 3m(3m – 5)>0
(m+0
(m2
o
4
13m+4>0″m>
Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn
Đánh giá bài viết