$17. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT A. TÓM TẮT KIẾN THỨC | Số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của hai số a và b gọi là ước

chung lớn nhất của a và b. Kí hiệu :ỰCLN(a, b). B. PHƯƠNG PHÁP

Muốn tìm ƯCLN của một nhóm số, ta thực hiện ba bước sau : Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung. Bước 3: Lập tích các thừa số đó, nỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm. Chú ý: a) Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau. Ví dụ : 8 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau; 8; 12; 15 là ba số nguyên tố cùng nhau. b) Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho là số nhỏ nhất ấy.

21 Tìm ƯCLN (12, 30)

Hướng dẫn Phân tích 12, 30 ra thừa số nguyên tố, ta có : 12 = 2^.3; 30 = 2.3.5

Vậy ƯCLN (12; 30) = 2.3 = 6 22 Tìm ƯCLN (8; 9), ƯCLN (8; 12; 15), ƯCLN (24, 16, 8)

Hướng dẫn UCLN (8, 9) = 1; UCLN (8; 12; 15) = 1 Vi 24 : 8 và 16 : 8 nên ƯCLN (24, 16, 8) = 8

C. BÀI TẬP 189 Tìm ƯCLN của: a) 56 và 140; b) 24, 84, 180; c) 60 và 180; d) 15 và 19.

Hướng dẫn a) Ta có : 56 = 27; 140 = 2.5.7

Các thừa số nguyên tố chung cho hai số là : 2; 7. Số mũ nhỏ nhất của 2 trong các phân tích trên là 2, còn của 7 là 1.

Vậy : ƯCLN(56, 140) = 2.7 = 28 b) Tương tự, ta có : 24 = 2.3; 84 = 2.3.7; 180 = 2?.3”.5

Vậy : ƯCLN(24, 84, 180) = 2^.3 = 12 c) 60 = 22.3.5; 180 = 22.32.5

Vậy : ƯCLN(60, 180) = 2?.3.5 = 60. Chú ý :Có thể thấy vì 180 : 60 nên 60 là ước chung lớn nhất của hai số 180 và 60. Ta có kết luận : Nếu a : b thì ƯCLN(a, b) = b

15 = 3.5; 19 = 19 Vậy : ƯCLN(15, 19) = 1

Hai số 15 và 19 là hai số nguyên tố cùng nhau. 140 Tìm ƯCLN của: a) 16, 80, 176; b) 18, 30, 77.

Hướng dẫn 16 = 2″; 80 = 24.5; 176 = 24.11

UCLN(16, 80, 176) = 24 = 16. Chú ý : Có thể thấy ngay 80 : 16, 176 : 16 nên 16 = ƯCLN(16, 80, 176). b) 18 = 2.32; 30 = 2.3.5; 77 = 7.11

=> UCLN(18, 30, 77) = 1 Ba số 18, 30, 77 là ba số nguyên tố cùng nhau.

141 Có hai số nguyên tố cùng nhau nào mà cả hai đều là hợp số không ?

Hướng dẫn Ta biết ƯCLN của hai số a, b là số lớn nhất trong tập hợp các ƯC của hai số ấy. Mà tập hợp các ước chung là giao của các tập hợp các ước của các số a, b. Khi giao này chỉ có một phần tử là 1 thì a, b là nguyên tố cùng nhau. Nói đơn giản, có thể có trường hợp a, b là các hợp số nhưng chúng chỉ có một ước chung là 1 thì chúng là nguyên tố cùng nhau. Ví dụ 14 và 9.

©

LUYỆN TẬP 1 142 Tìm ƯCLN rồi tìm các ước chung của : a) 16 và 24; b) 180 và 234;

c) 60, 90, 135.

Hướng dẫn 16 = 21 ; 24 = 2.3 ƯCLN(16,24) = 2^= 8; ƯC(16, 24) = U(8) = {1, 2, 4, 8} 180 = 22.32.5; 234 = 2.32.13 ƯCLN(180,234) = 2.3° = 18 UCLN(180,234) = U(18) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18} 60 = 22.3.5; 90 = 2.3”.5; 135 = 39,5. UCLN(60, 90, 135) = 3.5 = 15

UCLN(60, 90, 135) = U(15) = {1, 3, 5, 15). 143 Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết rằng 420 : a và 700 : a.

Hướng dẫn a phải là ƯCLN của 420 và 700

420 = 22.3.5.7; 700 = 22.52.7

=> a = ƯCLN(420, 700) = 22.5.7 = 140. | 144 Tìm các ước chung lớn hơn 20 của 144 và 192.

Hướng dẫn 144 = 24.32; 192 = 26.3 UCLN(144, 192) = 24.3 = 48

UC(144, 192) = U(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48} Đáp số : 24 ; 48 145 Lan có một tấm bìa hình chữ nhật kích thước 75cm

và 105cm. Lan muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết, không còn thừa mảnh nào. Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông. (số đo cạnh của hình vuông nhỏ là một số tự nhiên với đơn vị là xentimét)

Hướng dẫn Độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông mà Lan muốn cắt ra từ tấm bìa phải là ƯCLN của hai số 75 và 105. Ta có : 75 = 3.5”; 105 = 3.5.7

= UCLN(75, 105) = 3.5 = 15. Đáp số : 15cm Chú ý : Số hình vuông cắt được theo chiều rộng : 75 : 15 = 5 Số hình vuông cắt được theo chiều dài : 105 : 15 = 7 Tổng số hình vuông cắt được từ tấm bìa là 5.7 = 35 (hình vuông)

LUYỆN TẬP 2 146 Tìm số tự nhiên x biết rằng 112 : x, 140 : x và 10 < x < 20.

Hướng dẫn Ta có : 112 = 2.7; 140 = 2”.5.7 = UCLN(112, 140) = 22.7 = 28.

ƯC(112, 140) = U(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28} Vậy : x = 14. 147 Mai và Lan mỗi người mua cho tổ mình một số hộp bút chì màu. Mai mua

28 bút, Lan mua 36 bút. Số bút trong các hộp bút đều bằng nhau và số bút trong mỗi hộp lớn hơn 2. a) Gọi số bút trong mỗi hộp là a. Tìm quan hệ giữa số a với mỗi số 28, 36, 2. b) Tìm số a nói trên c) Hỏi Mai mua bao nhiêu hộp bút chì màu ? Lan mua bao nhiêu hộp bút chì màu ?

Hướng dẫn a) Ta có : a phải là ước của 28, hay 28 : a

a phải là ước của 36, hay 36 : a và theo giả thiết thì a > 2 Vậy a là ước chung lớn hơn 2 của hai số 28 và 36

a c ƯC (28, 36) với a > 2 b) Ta có : ƯC (28, 36) = {2; 4}. Vậy a = 4 . c) Số hộp bút Mai mua là 28 : 4 = 7 (hộp)

Lan mua là 36 : 4 = 9 (hộp) 148 Đội văn nghệ của 1 trường có 48 nam và 72 nữ về một huyện để biểu diễn.

Muốn phục vụ đồng thời tại nhiều địa điểm, đội dự định chia thành các tổ gồm cả nam và nữ, số nam được chia đều vào các tổ, số nữ cũng vậy. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu tổ ? Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ ?

Hướng dẫn Ta nhận xét rằng số tổ có thể thành lập được phải là ước chung của 48 và 72.

Ta có : 48 = 2^.3; 72 = 2.3”.

UCLN(48,72) = 23.3 = 24 Số tổ nhiều nhất có thể chia : 24 tổ; mỗi tổ có 2 nam, 3 nữ.

→ UC(48,72) = {1; 2; 3; 4; 6; 12; 24} Ta có 8 cách chia tổ như sau : Số tổ | Số nam trong mỗi tổ | Số nữ trong mỗi tổ 48

72

de

24

36

Con

16

24

12

18

|

0

12

NA

co

24

2

| BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tìm ước chung lớn nhất của các số 99, 63, 72. Lớp 6A có 52 bạn, trong đó có 28 bạn nữ. Cô giáo chủ nhiệm muốn chia | thành các sổ học tập sao cho số bạn nam và số bạn nữ được chia đều vào các tổ. a) Cô giáo có thể có mấy cách chia tổ ? b) Tìm cách chia để số bạn trong mỗi tổ là ít nhất.