Kiến thức cần nhớ 0 Công thức tính diện tích xung quanh hình chóp đều • Diện tích xung quanh hình chóp đều bằng nửa tích chu vi đáy với

trung đoạn.

Công thức Sxq = p.d (p: nửa chu vi đáy, d là trung đoạn) 2 Công thức tính thể tích của hình chóp đều • Thể tích của hình chóp đều bằng

tích , diện tích đáy với chiều cao.

………

Công thức

B

(S là diện tích đáy, h là chiều cao) Ghi chú Người ta cũng nói “thể tích của khối lăng trụ, khối chóp,..” thay cho “thể tích của hình lăng trụ, hình chóp,..” © Công thức tính diện tích xung quanh hình chóp cụt đều

Chu vi đáy lớn là 2p, chu vi đáy nhỏ là 2p, mặt bên là hình thang cân, có đường cao là d thì diện tích xung quanh hình chóp cụt đều được tính theo công thức Sxq = (+ p).

Bài 40. Một hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên bằng 25cm.

Đáy là hình vuông ABCD cạnh 30cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

GIẢI Kẻ SM 1 BC thì SM là trung đoạn của hình chóp đều S.ABCD (S là đỉnh)

25cm Do tam giác SBC cân tại S nên SM cũng là trung tuyến > MB = MC = BC = 1.30 = 15 (cm)

30cm • Từ tam giác SBM (M = 90°) suy ra:

SM = VSB? – MB2 = V252 – 152 = 400 = 20 (cm) • P(ABCD) = 4.30 = 60 (cm) • S ABCD) = 30o = 900 (cm) • Sxq S.ABCD) = p.SM = 60.20 = 1200 (cm*)

• Stp(8.ABCD) = 900 + 1200 = 2100 (cm) Bài 41. Vẽ, cắt, gấp miếng bìa như đã chỉ ra ở hình 125 để được hình

chóp tứ giác đều.

ABCD) =

10/ 10cm

..

10

..

..

.

.

5

.

LU

157 10

10

10

b)

a)

Hình 125

1. a) Trong hình 125a, có bao nhiêu tam giác cân bằng nhau ? b) Sử dụng định lí Pi-ta-go để tính chiều cao ứng với đáy của mỗi

tam giác ? c) Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp đều này là bao nhiêu ?

GIẢI a) Trong hình 125a có bốn tam giác cân bằng nhau (c.c.c) có độ dài cạnh

đáy là 5.

1. b) Gọi SAB là một trong bốn tam giác cân ở hình 125a và cân tại S.

Kẻ đường cao SM thì SM cũng là trung tuyến suy ra : AM = MB = – AB = 5.5 = 2,5 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông SMA (M = 90°), ta có : SA? = SM+ AMP = SM? = SA? — AM2 = 102 – (2,5)2 = 93,75 = SM = 93,75 9,68 (cm)

Vậy chiều cao của một tam giác cân là SM = 9,68cm c) Diện tích xung quanh của hình chóp :

Sxq = (2.5).9,68 = 96,8 (cm?) Diện tích toàn phần của hình chóp đều : Sp = Sxq + Sđáy = 96,8 + 25 = 121,8 (cm?

5cm

10cm

–

B

10cm

Bài 42. Tính độ dài đường cao của hình chóp tứ giác đều với các kích thước cho ở hình 125.

GIẢI Gọi S.ABCD là hình chóp đều ở hình 125c (bài 41). Chân đường cao của hình chóp này là giao điểm H của hai đường chéo hình vuông ABCD. Tam giác SHA vuông tại H, theo định lí Pi-ta-go ta có SAP = SH2 + HA2 => SH2 = SA? – HA(*)

5cm B Ta đã có SA = 10cm (giả thiết)

Hình 125 còn HA = AC (nửa đường chéo hình vuông) mà AC = AB V2 = 5,2 (cm) (độ dài đường chéo tính theo cạnh hình vuông là 5) = HA = ^(cm)

350

Từ (2) ta có SH 1ơ (62- 100 50 350 – 87,5

50 100 –

Từ (*) ta có SH = 102 –

= 87,5

→ SH = 187,5 – 9,35 (cm) Vậy đường cao của hình chóp tứ giác đều ở hình 125 là SH 89,35cm.

Bài 43. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của các hình

chóp tứ giác đều sau đây (hình 126)

20m

17cm

17cm

12cm

…

.

..

..

….

A4

Hình 126

16cm 20m

GIẢI Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông Nhắc lại

Hình vuông cạnh là a thì chu vi là 4a và diện tích là a? 3 Hình 126a) Hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy 20m, trung đoạn 20m có : • Diện tích xung quanh Sxq = (2.200.20 = 800 (mo) • Diện tích toàn phần sp = sq + Sđáy = 800 + 20° = 1200 (m”) 3 Hình 1260) Hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy 7cm, trung đoạn 12cm có : • Diện tích xung quanh Sxq = 2.7.12 = 168 (cm?

Diện tích toàn phần Sp = 168 + 7^ = 168 + 49 = 217 (cm*) © Hình 126c) Hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy 16cm, cạnh bên 17cm có : * Trung đoạn d = 17” – 8% = 15 (cm) (cách tính tương tự câu b) bài 41) • Diện tích xung quanh Sxq = (2.16).15 = 480 (cm?

• Diện tích toàn phần Sep = 480 + 16° = 480 + 256 = 736 (cm*) Bài 44. Hình 129 là một cái lều ở một trại hè

của học sinh kèm theo các kích thước. a) Thể tích không khí bên trong lều là

bao nhiêu ? b) Xác định số vải bạt cần thiết để dựng lều (không tính đến đường viền, nếp

V2m gấp, … biết 5 = 2,24).

Hình 129

GIẢI a) Lều trại có dạng hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy 2m, chiều cao 2m,

thể tích của hình chóp đều này là V = = 2^2 = 2,67 (mo)

2m

Biết rằng thể tích của khối không khí trong lều chính là thể tích của hình chóp. Vậy thể tích của khối không khí trong lều xấp xỉ là 2,67m”.

1. b) Biết rằng số vải bạt cần thiết để dựng lều bằng điện tích xung quanh

của hình chóp tứ giác đều

Ta có Sxq = p.d mà đáy là hình vuông cạnh 21 nên p = 4.4.2 = 4 (m)

và d là đường cao của một mặt bên thì d là đường cao của tam giác cân

có cạnh bên bằng 22 + (42)* = 6 (tương tự bài 41) và cạnh đáy là 2m. Suy ra d = (46) – 1 = 5 (m) (tương tự câu b) bài 41) Do đó Sxq = 4 ,5 = 4.2,24 = 8,96 (m?

Vậy số vải bạt cần thiết để dựng lều là 8,96m”. Bài 45. Tính thể tích của mỗi hình chóp đều dưới đây (hình 130, hình 131).

B ….

METO

Đường cao AO = 12cm BC = 10cm ( V75 8,66)

Đường cao AO = 16,2cm BC = 8cm (48 – 6,93)

266)

Hình 130

Hình 131

GIẢI • Hình 130 là hình chóp tam giác đều A.BDC. Như vậy đáy là tam giác

đều BCD cạnh BC = 10cm nên đường cao DM cũng là trung tuyến suy ra MB = MC = 1 BC = 5 (cm).

ra

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BMD, ta có : BD’ = MB’ + DM2 = DM? = BD? – MB2 = 102 – 52 = 75 → DM = V75 a 8,66 (cm) Do dó Sbpc = – DM.BC = 1.8,66.10 = 43,3 (cm2) Vậy thể tích hình chóp tam giác đều ABDC là : V = SBDC. AO = .43,3.12 = 173,2 (emo)

Hình 131 là hình chóp tam giác đều ABDC có đáy là tam giác đều BDC cạnh BC = 8cm. Tương tự trên ta có DM = BD% – MB = 8? – 4? = 448 = 6,93 (cm) Do đó Sanc = 3DM.BC = 5.6,93.8 = 27,72 (cm*) Vậy thể tích của hình chóp tam giác đều ABDC là V = Sedc. AO ~ 27,72.16,2 = 149,69 (cm)

Bài 46. SMNOPQR là một hình chóp lục giác đều (hình 132). Bán kính

đường tròn ngoại tiếp đáy (đường tròn tâm H đi qua sáu đỉnh của đáy) HM = 12cm (hình 133), chiều cao SH = 35cm. Hãy tính: a) Diện tích đáy và thể tích của hình chóp (biết 108 = 10,39). b) Độ dài cạnh bên SM và diện tích toàn phần của hình chóp

(biết M1333 = 36,51)

IN

MASA

Hình 133 Hình 132

GIẢI a) Theo tính chất của lục giác đều, trong hình 133 tam giác MHN là một

trong sáu tam giác đều tạo bởi các đường chéo của lục giác đều đó. Tương tự bài 45 ta có đường cao : HK = VHMR – MK2 = V122 – 62 = V108 10,39 (cm) Do đó SMHN = HK.MN = 10,39.12 = 62,34 (cm*)

Suy ra SMNOPQR = 6.SMHN = 6.62,34 = 374,04 (cm) * Thể tích hình chóp là V = 3 đáy SH = 3.374,04.35 = 43638 (cm) b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác SHM vuông tại H ta có :

SMP = SH2 + HM= SM = 1352 + 122 = V1369 = 37 (cm) Vậy SM = 37cm.

Ta có K là trung điểm của MN (hình 133) nên SK là trung đoạn của hình chóp. Từ tam giác SKM vuông tại K suy ra :

SK = VSM- MK2 = V1369 – 36 = V1333 – 36,51 (cm) Diện tích xung quanh của chóp đều S.MNOPQR là :

Sxq = p.d = 3.MN.SK = 3.12.36,51 = 1314,36 (cm2) Vậy diện tích toàn phần của chóp đều S.MNOPQR là :

Stp = Sđáy +Sxq = 374,04 + 1314,36 = 1688,40 (cm)

LUYỆN TẬP

Bài 47. Trong các miếng bìa ở hình 134, miếng nào khi gấp và dán | lại thì được một hình chóp đều ?

Hình 134

* Hướng dẫn • Nên kiểm tra các tấm bìa có đủ điều kiện để gấp được một hình chóp

đều (bài giải 38 – Chương IV có ghi các điều kiện để kiểm tra • Học sinh tự làm (Cho biết chỉ có hình 4 là gấp được). Bài 48. Tính diện tích toàn phần của : a) Hình chóp tứ giác đều, biết cạnh đáy a = 5cm, cạnh bên b = 5cm,

118,75 – 4,33 b) Hình chóp lục giác đều, biết cạnh đáy a = 6cm, cạnh bên b = 5cm, V3 – 1,73.

GIẢI | Nhắc lại: Tam giác đều cạnh a

5 cm thì đường cao h và diện tích S của tam giác đó là :

5cm

D

h = av3

…………………….

S =

— Tem

1,13

1. a) Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy a = 5cm, cạnh bên b = 5cm suy ra một mặt bên là tam giác đều cạnh 5cm.

a 3 5.1,73 Do đó trung đoạn d = =

14,33 (cm)

22 Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là : Sxg = (2 x 5) x 4,33 = 43,3 (cm) Vậy diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều là :

Stp = Sxg+ Sdáy = 43,3 + 52 = 68,3 (cm”) b) Tính tương tự như trên ta được • Trung đoạn của hình chóp lục giác đều c1 = 4cm • Diện tích xung quanh Sxq = (3 x 6) x 4 = 72 (cm?)

a53 62 3 36.1,73 – 15,57 (cm2) Diện tích đáy S = 4

=44-4 Vậy diện tích toàn phần của hình chóp lục giác đều cạnh đáy a = 6cm, cạnh bên 5cm là :

Stp = 72 + 15,57 = 87,57(cm) Bài 49. Tính diện tích xung quanh của các hình chóp tứ giác đều

sau đây (hình 135)

7,5cm

7,5cm

17cmai

5cm

6cm

16cm

–

a)

Hình 135

• • •

GIẢI Công thức Sxq = p.d (p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn) Hình a) Sq = (2 x 6).10 = 120 (cm?) Hình b) Sxq = (2 x 7,5).9,5 = 142,5 (emo) Hình c) S = (2 x 16). 17? – 8 = 32.15 = 480 (cm?

V225

Bài 50.

1. a) Tính thể tích của hình chóp đều (hình 136) b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều (hình 137).

2cm

12cm.

23,5cm

AO = 12cm

BC = 6,5cm Hình 136

—4cm

Hình 137 * Hướng dẫn: Diện tích cần tính bằng tổng diện tích các mặt xung quanh.

Các mặt xung quanh là những hình thang cân với cùng chiều cao, các cạnh đáy tương ứng bằng nhau, các cạnh bên bằng nhau).

GIẢI

1. a) Thể tích hình chóp đều V = 4 (BC.AO = (6,5)”.12 = 169 (emo)
2. b) Diện tích xung quanh hình chóp cụt đều

(2+4) Sxq = 3,5. 4.4 = 42 (cm3)

( 2 )

Nhắc lại: Diện tích hình thang bằng tích đường cao với nửa tổng hai đáy.