1. Tóm tắt lý thuyết 
2. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước: 

 Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R là:

(x – a)? + (y. – b)? = R?. 

2. Nhận xét: 

• Phương trình đường tròn (x- a) + (y – b)^ = R^ có thể được viết dưới dạng:  x + y – 2ax – 2by + c = 0, trong đó c= ao + b^ – Ro
• Ngược lại, phương trình x + y^ – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a? + b = c > 0. Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R = Na2+b^ -c. 3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
• Cho điểm ) yo) nằm trên đường tròn (C) tâm | I(a; b). Gọi A là tiếp tuyến với (C) tại Mg. • Ta có: M, thuộc A và vectơ IM =(xo -a; yo – b) 4 ( là vectơ pháp tuyến của A.

• Do đó A có phương trình là: (x -a)(x -x)+(yo – b)(y-y)= 0 (1) 
• Phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

(x – )+ (y – b) = R tại điểm M, nằm trên đường tròn. 

1. Câu hỏi A 1. Cho hai điểm A(3; -4) và B(-3; 4). Viết phương trình đường tròn (C) nhận

AB làm đường kính. đ 2. Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương

trình đường tròn: 1: 2×2 + y2 – 8x + 2y – 1 = 0

x2 + y2 + 2x – 4y – 4′ = 0 x2 + y2 – 2x – 6y + 20 = 0) x2 + y2 + 6x + 2y + 10 = 0)

.

.

. Giải

А

У В

У1 –

=

2

2 1. Tâm I của đường tròn (C) là trung điểm của AB.

– XA +XB 3+(-3). Ta có: x = – 22 Y

<%= 0; yı = Vậy I(0; 0). Bán kính của đường tròn (C) là: AB_V(XB – xa)? +(yb-ya)? V(-3 – 3)? +(4+4)2_10 . 2

22. Phương trình đường tròn (C) là :(x – ) + (y – 0) = 56x + y = 25. 8 2. Phương trình đường tròn có dạng: x + y^ – 2ax – 2by + c = 0; trong đó a, + b, c phải thỏa điều kiện: a + b = c > 0.

Kiểm tra các phương trình đã cho, chỉ có phương trình: | xo + y^ + 6x + 2y + 1) = 0 là phương trình đường tròn. III. Câu hỏi và bài tập 1. Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

1. a) x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0. .b) 16×2 + 16y2 + 16x – 8y – 11 = 0.
2. c) x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0. 2. Lập phương trình đường tròn (7 ) trong các trường hợp sau:
3. a) ( ) có tâm I(-2; 3) và đi qua M(2; -3). b) (+ ) có tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng x – 2y + 7 = 0.
4. c) (# ) có đường kính AB với A = (1; 1) và B = (7; 5). 62

3. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:
4. a) A(1;2), B(5; 2), C(1, -3).
5. b) M(-2; 4), N(5; 5), . . P(6; -2). | 4. Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua.

• điểm M(2; 1). 5. Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở | trên đường thẳng: 4x – 2y – 8 = 0. 6. Cho đường tròn (6) có phương trình: x^ + y2 – 4x + 8x – 5 = 0. | a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của (Y). b) Viết phương trình tiếp tuyến với (6 ) đi qua điểm A(-1; 0). c) Viết phương trình tiếp tuyến với () vuông góc với đường thẳng:

3x – 4y + 5 = 0.

Giải

|-2a =-2 _=1. Vậy I(1; 1).

1. a) Ta có: {

1-26=-2 (n=1 a = 1; b = 1; c=-2=R= Va? +62 -c = V12 +12-(-2) = 2. b) Ta có: 16x + 16y + 16x – y – 11=0ex + y.

L

Vây () bán kính R = – + / – 3) = 1.

1-2a=-4 a=2 c) 1-2b=6 lb=-3

Vậy I(2; -3), bán kính R = 2 +(-3) =(-3) = 4. 2. a) (+ ) có tâm I(-2; 3) và đi qua M(2; -3) nên bán kính của (( ):

R = IM = V(2+2)+(-3 – 3)2 = 152.

Vậy phương trình của (Ỹ ) là: (x + 2) + (y – 3) = 52. b) (+ ) có tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng d: x – 2y +7 = 0 nên bán kính R bằng khoảng cách từ 1 đến : R = -1-114 –

V1+4 T5 Vậy phương trình đường tròn (# ) là: (x + 1)^ + (y – 2) = 3.

1. c) Ta có: A(1; 1), B(7; 5).

Tâm I của ( ) là trung điểm của AB: x = ’17 = 4; y, =. = 3. Vậy (4; 3).

.

2

2

Bán kính của ( ) là R = IA

Vậy phương trình của (6 ) là: (x – 4) + (y – 3)^ = 13: 3. a) Phương trình đường tròn (# ) có dạng: x + y = 2ax – 2by + c = 0 (1)

| A (1; 2) E(F) (1+4 – 2a – 4b+c=0) Ta có: {B75; 2) (() + 25+4 – 10a – 4b+c=0 (C(1; – 3) (+) 1+9–2a +6b+c=0

(a=3 1-2a-4b+c = -5 ${-10a – 4b+c=-29 # b=-.

1-2a +6b+c =-10 Ic=-1 Vậy phương trình đường tròn (Ỹ ) là: x2 + y2 – 6x + y – 1 = 0. b) Phương trình đường tròn (6) có dạng: x + y – 2ax – 2by + c = 0

M(-2; 4) E(F) 4+16+4a – 8b+c = 0) Ta có: N(5; 5) () + 25+25 – 10a – 10b+c=0

P(6; -2) Elf) (36+4 -12a +4b+c =0 .

14a – 8b+c =-20 (a = 2 . -10a – 10b+c=-50 + {b=1

|–12a + 4b+c =-40 c=-20 – Vậy phương trình đường tròn (Ỹ ) là: x + y – 4x – 2y – 20 = 0. . 4. Phương trình của đường tròn (6) cần tìm có dạng: (x – )^ + (y – b)^ = R^

(*) tiếp xúc với Ox, Oy nên |a|=|6| = R • Trường hợp 1: Xét b = a

(C): (x – a)? + (y – a)? = a? M(2; 1) E (C) (2 – a)2 + (1 – a)? = a? o a? – 6a + 5 = Trường hợp 2: Xét b = -a . (C): (x – a)? + (y + a)? = a? M(2; 1) (C) (2 – a)? + (1 + a)? = a -> a’ – 2a + 5 = 0)

(a − 1)+ 4 = Phương trình vô nghiệm

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn đề bài:

(*): (x – 1)^ + (y – 1) = 1

(C): (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25. 5. Phương trình đường tròn (F) cần tìm có dạng: (x – a)^ + (y – b) = R^

(6) tiếp xúc với Ox và Oy nên |a|=|b] = R • Trường hợp 1: b = a

(0): (x – a)? + (y – a)? = a’, d: 4x – 2y – 8=0 l(a; a) ed 4a – 2a – 8= 0 a = 4. Trường hợp 2: b = -a . (€): (x – a)2 + (y + a)? = a?; d: 4x – 2y – 8 = 0

4 I(a; –a) e d 4a + 2a – 8 = 0 0 = Vậy có hai đường tròn thỏa mãn đề bài: (4): (x – 4)2 + (y – 4)? = 16

(): (x-3)* +42 + 3= 6. a) Ca – Vậy I2, 4).

.

(-5) = 5.

..

.

Bán kính của (ẽ là: N2 +(-4)? -(-5) = 5. b) A(-1; 0) € (C).

Phương trình tiếp tuyến với (7) tại A là:

(-1-2)(x + 1) + (0 + 4)(y – 0) = 0 0-3x + 4y – 3 =0 3x – 4y + 3 = 0. c) Tiếp tuyến A vuông góc với đường thẳng d: 3x – 4y + 5 = 0 nên phương

trình A có dạng: 4x + 3y + c = 0 Ta có A tiếp xúc với #Fed(I, A) = Re8-12+c = 5 e c– 4 = 25

1c-4=25 c= 29

2-4=-25° [c=-21 Vậy có hai tiếp tuyến của (%) vuông góc với d, đó là:

A1: 4x + 3y + 29 = 0 42: 4x + 3y – 21 = 0.