I. Tóm tắt lý thuyết 

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa: Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ nếu và giá của u song song hoặc trùng với Δ

Nhận xét:

– Nếu là một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ thì k (k ≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của Δ. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

2. Phương trình tham số của đường thẳng:

a) Định nghĩa:

– Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng Δ đi qua điểm M(xo; yo ) và

nhận = (u1; u2) làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm M(x; y) bất kì trong mặt phẳng, ta có = (x – xo; y-yo).

Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng Δ trong đó t là tham số

– Cho 1 một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng Δ

b) Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng:

  1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa: Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng A nếu vuông góc với vectơ chỉ phương của Δ.

Nhận xét:

– Nếu là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng A thì k (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của Δ. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

= (x – xo; y – yo)

Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Trường hợp đặc biệt:

Nếu c = 0 ⇒ ax + by = 0 ⇒ Δ đi qua gốc tọa độ.

• Nếu Δ cắt Ox tại (a; 0) và Oy tại B(0; b) thì ta có phương trình đường thẳng Δ theo các đoạn chắn:

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

– Xét hai đường thẳng Δ1 và Δ2 có phương trình tổng quát lần lượt là: a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2= 0.

– Điểm Mo(xo; yo) là điểm chung của Δ1 và Δ2 khi và chỉ khi (xo; yo) là nghiệm của hệ hai phương trình:

– Ta có các trường hợp sau:  a) Hệ (I) có một nghiệm: Δ cắt Δ

b) Hệ (I) vô nghiệm: Δ // Δ

c) Hệ (I) có vô số nghiệm: Δ ≡ Δ

  1. Góc giữa hai đường thẳng:

– Hai đường thẳng Δ1 và Δ2 cắt nhau tạo thành bốn góc. Nếu Δ1 không vuông góc với và Δ2 thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2. Nếu Δ1 vuông góc với Δ2 thì ta nói góc giữa Δ1 và Δ2 bằng 90°. Trường hợp Δ1 và Δ2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa Δ1 và Δ2 bằng 0. Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 90°

– Góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2 được kí hiệu là

Cho hai đường thẳng: Δ1: a1x + b1y + c1 = 0

Δ2: a2x + b2y + c2 = 0

Chú ý:

Δ1 ⊥ Δ2 ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ a1a2 ⊥ b1b2 = 0

Nếu Δ1 và Δ2 có phương trình y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì :

Δ1 ⊥ Δ2 ⇔ k1k2 = -1

  1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M(x0; y0). Khoảng cách từ điểm Mo đến đường thẳng Δ, kí hiệu là d(Mo; Δ), được tính bởi công thức:

Nguồn website giaibai5s.com

  1. Tóm tắt lý thuyết 
  2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa: Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng A nếu uý ô và giá của u song song hoặc trùng với A. 

Nhận xét:

 – Nếu u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A thì ku (k + O) cũng là một vectơ chỉ phương của Á. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương. – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một

vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. 2. Phương trình tham số của đường thẳng

  1. a) Định nghĩa: – Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A đi qua điểm M(x0; y ) và

nhận u=(u); u làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm M(x; y) bất kì trong mặt phẳng, ta có MM=(x – x); y-y%).

Khi đó: M & Ae MoM cùng phương với u ý : 6 MMst ex-Xostu x=x) + tu

ly-Yo = tuzly=yo + tuz”

– Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng A, B. trong đó t là tham số. – Cho 1 một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng A. b) Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng: – Cho đường thẳng A có phương trình tham số: ^ ^0^^!

ly=yo + tuz

:

X-XO

..

It- Nếu u = 0 thì từ phương trình tham số của A ta có: { u, .

ly-Yo = tuz

  1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa: Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng A nếu n = 0 và n. vuông góc với vectơ chỉ phương của A. Nhận xét: – Nếu n là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng A thì kn (k + 0) cũng là

một vectơ pháp tuyến của A. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp

tuyến. – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một

vectơ pháp tuyến của nó. 4. Phương trình tổng quát của đường thẳng – Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng A đi qua điểm M(x0; yo) và nhận

*M(x; y) n(a; b) làm vectơ pháp tuyến.

yotM – Với mỗi điểm M(x; y) bất kì thuộc mặt

phẳng, ta có: . M,M=(x – Xo; y – yo). Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Trường hợp đặc biệt: • Nếu a =0>y=- : A // Ox. .

Xo

а

a

b

  • Nếu b = 03x = -S; A // Oy. • Nếu c = 0 = ax + by = 08A đi qua gốc tọa độ. • Nếu A cắt Ox tại (a; 0) và Oy tại B(0; b) thì ta có phương trình đường

thẳng A theo các đoạn chắn: “+” =1. 5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: – Xét hai đường thẳng A, và A, có phương trình tổng quát lần lượt là: .

ax + by + c = 0 và ax + b y + C = 0. – Điểm M(x0; yo) là điểm chung của A và 4, khi và chỉ khi (x); yo) là nghiệm của hệ hai phương trình:

ajx+by+= 0

lazx + b2y +c2 =0″

 – Ta có các trường hợp sau: a) Hệ (I) có một nghiệm: Δ cắt Δ

  1. b) Hệ (I) vô nghiệm: Δ // Δ
  2. c) Hệ (I) có vô số nghiệm: ΔΔ 
  3. Góc giữa hai đường thẳng: 

– Hai đường thẳng A1 và A, cắt nhau tạo thành bốn góc. Nếu A, không

vuông góc với A thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng AC và Ag. Nếu A vuông góc với A, thì ta nói góc giữa AI và A, bằng 90°. Trường hợp A và A, song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa A và A, bằng 0. Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé

hơn hoặc bằng 90°. – Góc giữa hai đường thẳng A và A được kí hiệu – Cho hai đường thẳng: An: ax + b y + C = 0

42: a2x + b2y + C2 = 0 – Đặt p = (A,A,)

coso –

a^2 +bb2|

Ja} + b} [až + b} Chú ý: • 4,112 en 1 n aja2 + b1 b2 = 0. • Nếu A1 và A2 có phương trình y = k(x + m và y = kxx + m) thì:. .

4,142 kik2 = -1. 7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: ỖTrong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A có phương trình ax + by + c = 0 và

điểm M(x0; y0). Khoảng cách từ điểm M, đến đường thẳng A, kí hiệu là d(Mo; A), được tính bởi công thức:

h thức. • . d(M.; A) – Jaxo +byo +

Va? +62 II. Câu hỏi 2 1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A là

đồ thị của hàm số y = x. a) Tìm tung độ của hai điểm M và M nằm trên A, có hoành độ lần lượt là 2 và 6.

Á o b) Cho vectơ u = (2; 1). Hãy chứng tỏ MM cùng phương với u.

 4 2. Hãy tìm một điểm có tọa độ xác định và một vectơ chỉ phương của đường

x=5–6t thẳng có phương trình tham số: ^^

ly=2+8t A 3. Tính hệ số góc của đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u=(-1; 3). 4 4. Cho đường thẳng A có phương trình:

|x=-5+2t và vectơ n = (3; -2). Hãy chứng tỏ n vuông góc với vectơ : ly=4+3t

chỉ phương của A. A 5. Hãy chứng minh nhận xét:

Nếu đường thẳng A có phương trình là ax + by + c = 0 thì A có vectơ pháp tuyến là n = (a; b) và có vectơ chỉ phương là n = (-b; a). 8 6. Hãy tìm tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình:

i 3x + 4y + 5 = 0. . A 7. Trong mặt phẳng Oxy, hãy vẽ các đường thẳng có phương trình sau đây: di: x – 2y = 0; de: x = 2; dz: y + 1 = 0; da: +2=1.

* 8 4 8. Xét vị trí tương đối của đường thẳng A: x – 2y + 1 =0 với mỗi đường thẳng sau:

di: –3x + 6y – 3 = 0; dz: y = -2x; dz: 2x + 5 = 4y. 4 9. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I và các cạnh AB = 1; AD = {3. Tính số đo các góc AID và DIC.

в

с A 10. Tính khoảng cách từ các điểm M(-2; 1) và O(0, 0) đến đường thẳng A có | phương trình: 3x – 2y – 1 = 0.

  1. Giải A 1. a) ymo = 3 *mo = .2 = 1; ym = = xm = 2.6 = 3.
  2. b) M,(2; 1), M(6; 3) = M M = (4; 2).

Do vậy MM = 2x= M M và u cùng phương. . – A 2, Cho t=1 ta có: *a =5-6.1 xe =-1

– lyo =2+8.1” \yo =10 . A(-1; 10) thuộc đường thẳng có phương trình tham số: /

fx=5–61

y=2+8t 8 3. Hệ số góc kề 3 –45.

4 4. Vectơ chỉ phương của A là u= (2; 3); u.n= 2.3 + 3.(-2) =0=ul n. 4 5. Gọi M(x0; y0)+ A= ax + byo + c =0=c= -aXo – by: • Từ ax + bx + c = 0 = ax + by – ax) – bye = 0

a(x – xo)+b(y-yo)= 0. • Do vậy vectơ pháp tuyến là: n = (a; b). • Suy ra vectơ chỉ phương là: u=(-b; a). 8 6. Vectơ pháp tuyến của A là n = (3; 4).

Tọa độ của vectơ chỉ phương là u = (-4; 3). d. | C. A 7. • Đường thẳng d, đi qua O(0; 0) và A(2; 1). S B |d,

: Đường thẳng da song song với trục

tung và đi qua điểm có hoành độ . 2 —- X = 2…

2

3 4, song song với

4 1 1 2101 2 3 4 5 de x

m

trục hoành và đi qua điểm có

tung độ y = -1.

  • Đường thẳng d, đi qua B(0; 4) và C(4; 2). đ 8. • Xét d, và A, hệ phương trình:

x – 2y +1 = 0 (1)

T

1-3x +6y =3=0 (2) có vô số nghiệm (

v

3

.

Vậy d=A. • Xét d và A, hệ phương trình:

x – 2y +1=0

1

y = 2x có nghiệm – 2).

Vậy d cắt Ag tại M-12 • Xét d và A, hệ phương trình: 1x – 2y +1=0. (2x – 4y +1=0

vô nghiệm. (2x + 5 = 4y (2x – 4y+5=0

Vậy d II AM. . 4 9. ABDA vuông tại A. = BD = AB^ + AD (định lí Py-ta-go) BD = VAB+ ADP = V1+3 = 2 COSADB = AD = 3 => ADB = 30°

IDC = ADC – ADB = 909 – 30″ = 60′ AICD cân tại I (vì IC = ID) có IDC = 60° = AICD đều

Vậy DIC = 60°. A 10. JOM. _ |3.(-2)+(-2).1+(-1)) 9 9/13

V32+(-232 ; víz=13 dro. _ 13.0+(-2).0+(-1)!_ 1 V13

132 + (-2)2 V13 13 III. Câu hỏi và bài tập 1. Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong môi trường hợp sau:

  1. a) d đi qua điểm M(2; 1) và có vectơ chỉ phương u = (3; 4).
  2. b) d đi qua điểm M(-2; 3) và có vectơ pháp tuyến n = (5; 1). | 2. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng A trong môi trường hợp sau:
  3. a) A đi qua M(-5; -8) và có hệ số góc k = -3.
  4. b) A đi qua hai điểm A(2; 1) và B(-4; 5). • 3. Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3;-1) và C(0; 2).
  5. a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và CA. – b) Lập phương trình tổng quát của đường cao AH và trung tuyến AM. 4. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(1; 0) và điểm

N(0; -1). 5. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d, và do sau đây: a) dt: 4x – 10y + 1 = 0 và da: x + y + 2 = 0

x=5+1 | by dự: 12x – 6y + 10 = 0 và dy: {

sy=3+2 .

…fx=-6+5t c) d): 8x + 10g – 12 = 0 và 1:2^

12′ \y=6-41

x=2+2t 6. Cho đường thẳng d có phương trình tham số {

ly=3+1 | Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A(0; 1) một khoảng bằng 5. 7. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d, và d, lần lượt có phương trình:

dị: 4x – 2y + 6 = 0 và d: x – 3y + 1 = 0. 8. Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:

  1. a) A(3; 5); A: 4x + 3y + 1 = 0. b) B(1;-2); d: 3x – 4y – 26 = 0.
  2. c) C(1;2); m: 3x + 4y – 11 = 0. 58 .

au:

1 .

  1. Tìm bán kính của đường tròn tâm C(-2; -2) tiếp xúc với đường thẳng: A: 5x + 12y – 10 = 0.

Giải 1. a) Ta có: M(2; 1), a= (3; 4) Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và có vectơ chỉ phương

fx = 2 +3t

ly =1+4t b) Ta có: M(-2; 3); n = (5; 1) di n u= (-1;5) Vậy phương trình tham số của d là: [*=co

14:1y=3+51 2. a) Ta có: M(-5; -8), ko = -3 = u1 = (1; -3)

. – A có phong trình tham số 1 . x=-5+t – 13x=-15+3t

y=-8-3°y=-8-3t Do đó: 3x + y = -23 = 3x + y + 23 = 0 . .

Vậy phương trình tổng quát của A là: 3x + y + 23 = 0 b) Ta có: A(2; 1), B(-4; 5) AB = (-6; 4); už = LAB = (-3; 2)

x 15. fx=2-3152x = 4-61 • A có phương trình tham số là: {.

ly=1+2+ |3y = 3+61 • Do đó: 2x + 3y = 7 * 2x + 3y – 7 = 0.

  • Vậy phương trình tổng quát của A là 2x + 3y – 7 = 0. 3. Ta có: A(1; 4), B(3; -1), C(0; 2)
  1. a) AB: 5x + 2y – 13 = 0; BC: x – y – 4 = 0; CA: 2x + 5y – 22 = 0 b) Ta có: AHI BC = AH: x + y + C = 0

A E AH 1 + 4 +C =0>C= -5 • Vậy ta có phương trình đường cao AH là x + y – 5 = 0 • Ta có tọa độ trung điểm M của BC 1

  • Trung tuyến AM có phương trình: x+3y-3=0ex+y- 5 = 0. 4. Phương trình đường thẳng qua hai điểm M(1; 0) và N(O; -1) là:

2

2

2

+?=1* -x + 4y +4= 0

x – 4y – 4 = 0.

X

  1. a) Hệ phương trình:

4x – 10y +1=0

(có nghiệm: (x+y +2 = 0

Vậy d cắt d. b) Ta có: d: 12x – 6y + 10 = 0

=5+t

dz: A

ly =3+2t • Đưa về phương trình tổng quát ta được: d: 2x – y – 1 = 0

(12x – 6y +10=0 • Hệ phương trình: {

A vô nghiệm

(2x -y-7 = 0 • Vậy d, Il da c) Ta có: d: 8x + 109 – 12 = 0 (1)

x=-6+5t

y=6-41 • Đưa về phương trình tổng quát, ta được: dy: 4x + 5y – 6 = 0 (2) • Hai phương trình (1) và (2) có hệ số tỉ lệ: *= =

à 5 6

d2:

  • Do đó hệ phương trình {

vô số nghiệm

24

  • Vậy d = d. 6. Ta có: M(2 + 2t; 3 + 1) + d và AM = 5 • Do đó: AM? = 25 2(2 + 2) + (2 + 1)2 = 25 + 5 + 12t – 17 = 0

t=1

17 (vì a + b + c = 0) : : = 5 • Vậy có hai điểm M thỏa mãn đề bài là: M,(4; 4); M, 1, 2 7. Ta có: dt: 4x – 2y + 6 = 0; d): x – 3y + 1 = 0 • Gọi ọ là góc giữa dị và dạ, ta có:

laja2 +bybel – 14+6/ 10 – 10 _v2. T? + b} a + b3 +16+4.v1+9 20./10 10/

2 2 • Vậy p = 45″.

Giải bài tập Hình học lớp 10 – Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng – Bài 1: Phương trình đường thẳng
Đánh giá bài viết