1. Tóm tắt lý thuyết 
2. Định nghĩa đường elip

Định nghĩa 

• Cho hai điểm cố định F1, F, và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho: FM + F M = 2a. 
• Các điểm F và F, gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip.

2. Phương trình chính tắc của elip

B2 M(x: y) Cho elip có tiêu điểm F và F2, chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F(-c; 0) và F(c; 0).

F2 X Khi đó người ta chứng minh được:

:

TB,..

2

v2

M(x; y) e elip

), trong đó: bỏ = a –

c

a

b2

NA

:

AX

11

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip.. 3. Hình dạng của elip

Xét elip (E) có phương trình (1): a) Nếu điểm M(x; y) thuộc (E) thì các điểm: M(-x; y), Mg(x; -y) và Mg(-x; -y) .

1. cũng thuộc (E).

Vậy (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O. b) Thay y = 0 vào (1) ta có x = ta, suy ra (E) cắt Ox tại hai điểm:

A(-a; 0) và A(a; 0). • Tương tự thay x = 0 vào (1) ta được y = + b, vậy (E) cắt Oy tại hai – điểm B(0; −b) và B(0; b). • Các điểm A1, A2, B1 và B, gọi là các đỉnh của elip.

• Đoạn thẳng AA, gọi là trục lớn, đoạn thẳng BB, gọi là trục nhỏ của elip. 4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip: a) Từ hệ thức b = a – co ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng

gần bằng a, tức là trục nhỏ của clip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó clip

có dạng gần như đường tròn. b) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn () có phương trình: x + y^ = a.

Với mỗi điểm M(x; y) thuộc đường tròn ta xét điểm M(x’; y) sao cho:

V

(với 0 < b < a)

M(x; y) M'(x’; y’)

y’ =

-y

НАх .

thì tập hợp các điểm M có tọa độ thỏa mãn –

712 : phương trình: :

-+? = 1 là một elip (E). Khi

đình. x2

52 51 là ,

đó ta nói đường tròn (Ý) được co thành elip (E). II. Câu hỏi A 1. Quan sát mặt nước trong cốc nước cầm nghiêng.

Hãy cho biết đường được đánh dấu bởi mũi tên có phải là đường tròn hay không?

10.

4 2. Hãy cho biết bóng của một đường tròn trên một mặt

phẳng có phải là một đường tròn hay không?

02 x 12

2

2

Á 3. Trong phương trình: ”, = 1, hãy giải thích vì sao ta luôn đặt được:

b? = a? – c?. 4 4. Hãy xác định tọa độ các tiêu điểm và vẽ hình elip trong ví dụ:

Elip (E): X + Y = 1 có các đỉnh là A(-3; 0), A5(3; 0); B(0; -1); B(0; 1) và AA = 6 là trục lớn còn BB = 2 là trục nhỏ.

Giải 4 1. Hình đánh dấu bởi mũi tên không phải là đường tròn. 8 2. Bóng của một đường tròn trên một mặt phẳng ở hình vẽ không phải là

đường tròn. . & 3. Trong phương trình: x = 1 là luôn đặt được b = a – cỏ vì do ta có:

a>c>0. A 4. Ta có: b = a – cỏ

Do đó: 1 = 9 – cac = 8ec=+ 22. • Vậy tiêu điểm F (-2/2; 0); F (2/2; 0).

III. Câu hỏi và bài tập 1. Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của các elip

có phương trình sau: a) **+ = 1. b) 4×2 +9y2 = 1. c) 4×2 + 9y? = 36.

W 259 | 2. Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

6. a) Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6.
7. b) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6. 3. Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

12) a) Elip đi qua các điểm M(0; 3) và N|3; -1.

1. b) Elip có một tiêu điểm là F (-3; 0) và điểm M

3 nằm trên clip.

4. Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip

có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80 cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hình bên. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu

và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu? 5. Cho hai đường tròn ( (F; R) và (2(F); R). Ý nằm trong ra và F = F2.

Đường tròn + thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với # và tiếp xúc trong với ý. Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn ( di động trên một clip.

Giải 1. a) (E): x + = 1 có a = 5; b = 3, c = a – b = 16, c= 4

Vậy (E) có trục lớn 2a = 10, trục nhỏ 2b = 6, tiêu điểm: F (-4; 0), F (4; 0), các đỉnh: A(-5; 0), A2(5; 0), B(0; -3), B2(0; 3).

25

1. b) (E); dx? +9y=1+ =1..

Ta có: a = b = = = – – -6 Vậy (E) có trục lớn 2a = 1, trục nhỏ 2b = 3, tiêu điểm:

F 5.0), 1.0). các lĩnh A ( 3 ) Asoka ( . ). ) c) (): 4×2 +9y?= 36 * * +=1

Ta có: a = 3, b = 2, c = 45 Vậy (E) có trục lớn 2a = 6, trục nhỏ 2b = 4, tiêu điểm: F (-45; 0), F(45; 0),

các đỉnh: A(-3; 0), A(3; 0), B(0; -2), B2(0; 2). 2. a) **+ = 1. . b) ***= 1. 3. a) (): **EL .

M(0; 3) € (E) – = 10b=3

(3,3)+) < t us a co th=1432=25 *

Vậy (E) có phương trình chính tắc là: A = 1. b) (): ** EL.

(E) có tiêu điểm F (-43; 0), suy ra c= 3 Vậy ta có: a2 = b + 3 (1) Thay tọa độ của điểm M : 4 vào phương trình clip ta được:

a

3

I

144

– +

=10a? = 25

a= 5

a

25.12

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta có: b = 1, a = 4.

Vậy phương trình chính tắc của (1

xy

(hình bên)

Q2 x 22

52=

а,

а

.

–

• Ta có: 2a = 80, 2b = 40
• Suy ra: a = 40, b = 20 S c ? = a? – b? = 1600 – 400 = 1200

> c= 2073 • Ta phải ghim hai cái đinh tại hai tiêu điểm F và F2, nghĩa là cách mép

| tấm ván ép một đoạn:AF = a = c = 40 – 20/3 = 20(2-3)= 5,36 (cm). | Theo cách vẽ trong bài học vòng dây phải có chiều dài: 2a + 2c = 80 + 40V3 (cm).

MF =R+R 5. Gọi bán kính của (+ ) là R. Ta có: {

(MF2 =R2-R : • Suy ra: MF + MF = R + R). • Vậy tập hợp các điểm M là elip (E) có tiêu điểm là F, F, và trục lớn ||

2a = R1 + R2.