KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định lý về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực • Định lý thuận

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Định lý đảo Điểm nào cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Đường thẳng d là đường trung trực GT

của đoạn thẳng AB KL Med MA = MB

ALAB Nhận xét Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là

đường trung trực của đoạn thẳng đó. 2. Ứng dụng Cách vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng

Ví dụ: về đường trung trực của đoạn thẳng AB • Vẽ cung tròn tâm A có bán kính R (R > AB)

• Vẽ cung tròn tâm B có bán kính R

IR

Hai cung này cắt nhau tại hai điểm M và N. • Vẽ đường thẳng MN. Đó là đường trung trực

của đoạn thẳng AB. Chú ý • Hai cung tròn tâm A và B phải cùng một bán

kính R và có độ dài lớn hơn 3 AB thì hai

cung tròn này mới có hai điểm chung. • Cách vẽ trên cũng là cách dựng trung điểm O của đoạn thẳng AB.

AT

BÀI TẬP Bài 44/T.76 Gọi M là điểm trên đường trung trực của đoạn thẳng

1. Cho đoạn thẳng MA có độ dài 5cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu ?

GIẢI • Nhắc lại “Điểm nằm trên trung trực của một đoạn thẳng thì cách

đều hai mút của đoạn thẳng đó”. • Học sinh tự chứng minh

Đáp số MB = 5cm.

titN

Bài 45/T.76 Chứng minh đường thẳng PQ được

vẽ như trong hình 43 đúng là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

M* Hướng dẫn sử dụng định lí 2.

GIẢI Ta đã biết hai cung tròn tâm M và N có cùng bán kính (xem ứng dụng T.76 sách giáo khoa).

Hình 43 Do đó MP = MQ = NP = NQ = bán kính = P và Q cách đều M và N. = P và Q đều thuộc trung trực của đoạn thẳng MN

Vậy PQ là đường trung trực của đoạn thẳng MN (đpcm) Cách khác Ta chứng minh: • AMPQ = ANPQ (c.c.c) = R = P, • APIM = APIN (c.g.c) = I1 = 1, = 90° (1)

hay PQI MN (1) và IM = IN

Từ (1) và (2) ta có PQ là đường trung trực của đoạn thẳng MN (đpcm). Bài 46/T.76 Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. | Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

(2)

GIẢI • Tam giác ABC cân tại A = AB = AC • Tam giác DBC cân tại D = DB = DC

Tam giác EBC cân tại E = EB = EC Ta thấy A, D, E cùng cách đều B và C nên chúng cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Vậy A, D, E thẳng hàng (đpcm).

LUYỆN TẬP Bài 47/T.76 Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh AAMN = ABMN.

dim

GLAI Ta có M và N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên cách đều A và B

AKB hay MA = MB và NA = NB . Hai tam giác AMN và BMN có MN là cạnh chung, MA = MB và NA = NB (cmt)

Vậy AAMN = ABMN (c.c.c) (đpcm) Bài 48/T.77 Hai điểm M và N cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có

bờ là đường thẳng xy. Lấy điểm L đối xứng với M qua xy. Gọi I là một điểm của xy. Hãy so sánh IM + IN với LN.

GIẢI So sánh IM + IN với LN Nhắc lại Điểm L đối xứng với điểm M qua đường thẳng xy khi xy là đường trung trực của đoạn thẳng ML Do đó I e xy = IM = IL – IM + IN = IL + IN Trong tam giác ILN ta có bất đẳng thức IL + IN > LN Vậy IM + IN > LN Ghi chú: Dấu “=” chỉ xảy ra khi I trùng với điểm H là giao điểm

của LN và xy Bài 49/T.77 Hai nhà máy được

xây dựng bên bờ một con sống tại hai địa điểm A và B (hình 44).

ILC

—

–

—

Hình 44

Hãy tìm cạnh bờ sông một địa điểm C để xây dựng một trạm bơm đưa nước về cho hai nhà máy sao cho độ dài đường ống dẫn nước là ngắn nhất.

GIẢI Gọi bờ sông phía hai nhà máy là a Lấy điểm A’ đối xứng với A qua a Nối A’ với B cắt a tại C. Đó chính là địa điểm để xây trạm bơm đưa nước về cho hai nhà máy có độ dài đường ống ngắn nhất. Chứng minh Giả sử ta lấy một địa điểm C trên đường thẳng a khác địa điểm C. Ta có CA + B = CA” + CB (vì CA = CA’ – Xem bài tập 48) mà CA” + CB > A^B (bất đẳng thức trong tam giác C’A’B) Do đó CA’+ CB nhỏ nhất là bằng A’B nghĩa là C trùng với C.

Vậy C là địa điểm cần tìm. Bài 50/1.77 Một con đường quốc lộ cách

không xa hai địa điểm dân cư (hình 45). Hãy tìm bên đường đó một địa điểm để xây dựng một trạm y tế sao

Hình 45 cho trạm y tế này cách đều hai điểm dân cư.

Đường lộ xy GIẢI Gọi hai điểm dân cư là A và B, đường lộ là xy Nối A với B, vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt xy tại T thì T chính là địa điểm để xây trạm y tế cách đều hai điểm

dân cư. (Học sinh tự chứng minh). Bài 51/77. Cho đường thẳng d và điểm P không nằm trên d. Hình 46

minh họa cho cách dựng đường thẳng đi qua điểm P và vuông góc với đường thẳng d bằng thước và compa như sau : (1) Vẽ đường tròn tâm O với bán kính

thích hợp sao cho nó cắt d tại hai

điểm A và B. (2) Vẽ hai đường tròn với bán kính

bằng nhau có tâm tại A và B sao cho chúng cắt nhau. Gọi một giao

(2)- (2) điểm của chúng là C (C + P).

Hình 46 1 (3) Vẽ đường thẳng PC. 72′

*

Em hãy chứng minh đường thẳng PC vuông góc với d. Đố. Tìm thêm một cách dựng nữa (bằng thước và compa).

GIẢI Chứng minh PC I d Từ cách vẽ (1), ta có PA = PB (bán kính đường tròn tâm P) = P nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (*) Từ cách vẽ (2) ta có CA = CB (vì bán kính của hai đường tròn tâm A và tâm B bằng nhau)

C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB Từ (*) và (**) ta có PC là đường trung trực của AB

Vậy PC 1 AB hay PC la (vì AB + a) • Học sinh tìm thêm một cách dựng nữa (bằng thước và compa).