KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Đường phân giác của tam giác • Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại

điểm M, khi đó đoạn thẳng AM được gọi là đường phân giác của tam giác ABC. • Mỗi tam giác có ba đường phân giác

Tính chất Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.

| Tam giác ABC cân tại A | AM là phân giác của A

(M € BC)

AM là trung tuyến ứng với BC

KL | (MB = MC) 2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác /

B4 HC Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

* Tam giác ABC GT

* Phân giác của B và C cắt

nhau tại I

IH I BC, IK I AC, IE 1 AB * Phân giác của A đi qua I * IH = IK = IE

| BÀI TẬP Bài 36/T.72 Cho tam giác DEF, điểm I nằm trong tam giác và cách

đều ba cạnh của nó. Chứng minh I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF.

GIẢI Gọi IA, IB, IC là khoảng cách từ 1 đến các cạnh DE, EF, DF. Theo đề bài ta có IA = IB = IC.

[ID là cạnh huyền chung Hai tam giác vuông IDA và IDC có 1

IA = IC (gt) Do đó AIDA = AIDC = D = Da Vậy DI là tia phân giác của góc D (1) Chứng minh tương tự, ta có AIẾA = AIEB = E = E2 Vậy EI là tia phân giác của góc E (2) AIBF = AICF = Ê1 = F2 Vậy FI là tia phân giác của góc F (3) Từ (1), (2) và (3) ta có I là điểm chung của ba P

đường phân giác tam giác DEF (đpcm). Bài 37/T.72 Nêu cách vẽ điểm K ở trong tam giác MNP mà các

khoảng cách từ A đến ba cạnh của tam giác đó bằng nhau. Vẽ hình minh họa.

OF

GIẢI Cách dựng điểm K cách đều ba cạnh của tam giác MNP • Dựng tia Mx là phân giác của góc M

Dựng tia Ny là phân giác của góc N Mx và Ny cắt nhau tại K, đó là điểm K cần dựng Chứng minh Gọi KA, KB, KC là khoảng cách từ A đến các cạnh MN, NP, MP. Ta có K thuộc Mx là phân giác của M suy ra KA = KC (1) theo tính chất đường phân giác của một góc. Tương tự ta có KA = KB Từ (1) và (2) suy ra KA = AB = KC Vậy ta đã dựng được điểm K thỏa mãn bài toán.

– = 59°

Bài 38/T.73 Cho hình 38.

1. a) Tính góc KOL. b) Kẻ tia IO, hãy tính góc KIO. c) Điểm 0 có cách đều ba cạnh của

ка

Hình 38 tam giác IKL không ? Tại sao ?

GIẢI a) Tính góc KOL

Từ tam giác 1KL ta có K+ L = 180° -1 = 180° – 62° = 1189 Do K = K2 (gt) và L = L2 (gt) > Ří + Î, -Ñ +Î 118°

1 2 2 Từ tam giác OKL ta có KOL = 180° – KI + L) x ^

= 180° – 59° = 121° Vậy KOL = 1210 b) Tính góc KIO

Ta có phân giác của K và D cắt nhau tại 0 trong tam giác IKL (gt) do đó IO cũng là tia phân giác của Ý. Suy ra 1 = I = = = 319

Vậy KIO = 39 c) Theo tính chất ba đường phân giác của tam giác thì điểm 0 cách đều | ba cạnh của tam giác 1KL (đã chứng minh ở bài tập 37/T.72).

20

LUYỆN TẬP

Bài 39/T.73 Cho hình 39.

1. a) Chứng minh AABD = AACD. b) So sánh góc DBC và góc DCB.

GIẢI a) Chứng minh AABD = AACD

(AB = AC (gt) Hai tam giác ABD và ACD có A = Âu (gt)

AD cạnh chung

Hình 39

Vậy AABD = AACD (cgc) (đpcm) b) So sánh DBC và DCB

Do điểm D nằm trong tam giác ABC (gt) nên BD và CD nằm trong góc B và C, ta có Bi + Ba = B = B = B – B2 (1)

Ĉu + Ĉ2 = ĉ Ĉi = Ĉ – Ĉ2 (2) mà B = C (vì tam giác ABC cân tại A) ; B = C, (vì AABD = AACD) Từ (1) và (2) suy ra B – B2 = C – C

Vậy Ŝi = Ĉi hay DBC = DCB Bài 40/T.73 Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm, I là

điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng.

GIẢI Gọi AM là tia phân giác của góc A (M + BC) Vì điểm I cách đều ba cạnh của tam giác ABC nên I là giao điểm của ba phân giác trong tam giác ABC. Do đó 16 AM

(1) Ta đã biết tính chất : Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy. Tam giác ABC cân tại A nên phân giác AM cũng là trung tuyến. Vì điểm G là trọng tâm (giao điểm ba đường trung tuyến). Do đó G AM

(2) Từ (1) và (2) ta có I và G đều thuộc AM. Vậy A, G, I thẳng hàng (đpcm).

CIR

Bài 41/1.73 Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không ? Vì sao ?

GIẢI Ta biết rằng trong một tam giác đều, ba đường phân giác đồng thời là ba đường trung tuyến, hay nói cách khác giao điểm của ba phân giác đồng thời là giao điểm của ba trung tuyến, mà giao điểm của ba đường phân giác thì cách đều ba cạnh của tam giác. Vậy trọng tâm của tam giác đều cũng cách đều ba cạnh của nó.

Học sinh tự vẽ hình và chứng minh Bài 42/T.73 Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam

giác cân. * Hướng dẫn

Trong tam giác ABC, nếu AD vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài AD một đoạn DE sao cho DE = AD

GIẢI Tam giác ABC GT | AD là trung tuyến đồng thời là

1 phân giác của A KL | Tam giác ABC cân tại A Chứng minh Kéo dài AD một đoạn DE = AD

AD = DE Hai tam giác ADC và EDB có 4 D = D2 (đối đỉnh)

DC = DB (vì AD là trung tuyến) Do đó AADC = AEDB = A2 = 6 (1) và AC = BE Ta có AI = Âu (gt). Từ (1) và (3) suy ra E = Âu – Tam giác ABE cân tại B = AB = BE (4) Từ (2) và (4) suy ra AC = AB (= BE)

Vậy tam giác ABC cân tại A (đpcm). Bài 43/T.73 Đố.

Có hai con đường cắt nhau và cùng cắt một con sông tại hai địa điểm khác nhau (hình 40 sách giáo khoa T.73). Hãy tìm một địa điểm để xây dựng một đài quan sát sao cho các khoảng cách từ đó đến hai con đường và đến bờ sông bằng nhau. Có tất cả mấy địa điểm như vậy ?

2

(3)

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

GIẢI Gọi • Hai bờ sông là a và b • Hai con đường là dị và da.

а в.” • B và C là giao điểm của dị, da và a • D và E là giao điểm của dị, do và b

b D * Bên bờ a ta tìm được điểm I cách đều a, dị

và d2, đó chính là giao điểm hai phân giác

của B và C trong tam giác ABC * Bên bờ b ta tìm được địa điểm J cách đều

b, d1 và do đó chính là giao điểm hai phân giác ngoài tại D và E của tam giác ADE. Vậy ta tìm được hai địa điểm I và J) ở hai bên bờ sông có khoảng cách từ đó đến mỗi bờ sông và hai con đường bằng nhau. (Xem bài tập 37/T.72)

.