Định lý Diện tích của tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều

cao ứng với cạnh đó,

S = -a.h

|2| Hệ quả

Diện tích tam giác đều cạnh a.

th

a

a? 3

| BÀI TẬP Bài 16. Giải thích vì sao diện tích của tam giác được tô đậm trong các hình

128, 129, 130 bằng nửa diện tích hình chữ nhật tương ứng.

Hình 128 Hình 129

Hình 130

GIẢI Trong ba hình đã cho, ta thấy các hình chữ nhật đều có chiều dài là a và chiều rộng là h nên diện tích của các hình chữ nhật đó là :

Schữ nhật = a.h Cũng trong ba hình đã cho ta thấy, các tam giác được tô đậm đều có cạnh đáy là a và chiều cao tương ứng là h nên diện tích của các tam giác đó là Stam giác = a.h (2)

lon

Từ (1) và (2) suy ra Stam giác = ; Schữ nhật (đpcm) Bài 17. Cho tam giác AOB vuông tại O với đường cao OM Hãy giải thích vì sao ta có đẳng thức AB.OM = OA.OB

GIÁI Ta có OM I AB (gt) => SoAB = OM. AB (1) Tam giác AOB vuông tại 0 nên diện tích của nó còn tính bằng công thức SOAB = -OA.OB

(2) / Từ (1) và (2) suy ra hoM.AB = JoA.OB

Hình 131 22 – OM.AB = 0A.OB (dpcm) Bài 18. Cho tam giác ABC và trung tuyến AM (.132). Chứng minh SAMB = SAMC

GIẢI

M

V

ra

PAMB

al

В

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC, ta có : SAMD – AH. BM (1)

в нм Saxic = — AH.COM

Hình 132 nà MB = MC (vì AM là trung tuyến). Từ (1) và (2) suy ra AH.MB = AH.MC. Vậy SAMB = SAMC:

(2)

V

2

MB

**

Nhận xét Trong một tam giác, đường trung tuyến chia tam giác thàult

lai tam giác có diện tích bằng nhau.

LUYỆN TẬP

Bài 19. a) Xem hình 133, hãy chỉ ra các tam giác có cùng diện tích.

Hình 133 b) Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì có bằng nhau hay không ?

| GIAI .2.4 = 4 (dvdt) ; S = 2.3.2 = 3 (dvdt)

4.2 = 4 (dvdt)

.5.2 = 5 (dvdt)

3.3 = 4,5 (dvdt) ; S6 = 2.4.2 = 4 (dvdt) S7 =-7.1 = 3,5 (dvdt) ; Sg = .3.2 = 3 (dvdt)

Vậy S = S = = = 4 (đodt) ; S = S8 = 3 (đodt) b) Từ các kết quả câu a ta rút ra kết luận :

Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì không nhất thiết phải

bằng nhau. Bài 20. Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng cạnh của một tam giác cho

trước và có diện tích bằng diện tích của tam giác đó. Từ đó suy ra một cách chứng minh khác về công thức tính diện tích tam giác.

GIẢI Cách dựng | Vẽ tam giác ABC, đường cao AH.

Vẽ hình chữ nhật BCEF có EF đi qua trung điểm M và N của AB và AC.

– Trong tam giác ABH có MA = MB và MI / BC = AI = IH = = AH

2

2cm

Ta có AAIM = ABMF SAIM = SxBMF

SAIN = ACEN > SAIN = SACEN Do đó S ABC = SBCEF hay SAABC = IH.BC (*) : mà IH = AH (cmt) và MN = BC (MN là đường trung bình của tam giác ABC)

BH (*) SJABC = AH.MN Từ kết quả này ta suy ra một cách chứng minh khác về công thức tính diện

tích tam giác là bằng tích đường cao với đường trung bình tương ứng. Bài 21. Tính x sao cho diện tích hình chữ nhật ABCD gấp ba lần diện tích tam giác ADE (.134).

GIẢI Ta có AD = BC = 5cm (gt) SHADE = 2.2.5 = 5 (cm) SABCD = BC.AB = 5x (cm2)

– 5cm a inà SABCD = 3SAADE hay 5x = 3.5 = 15 = x= 3cm. Bu

Hình 134 Bài 22. Tam giác PAF được vẽ trên giấy kẻ ô

vuông (h.185)

Hãy chỉ ra: a) Một điểm I sao cho SPIP = SPAP: b) Một điểm M sao cho SPDF = 2SPAF• c) Một điểm N sao cho SPNP = SPAP.

GIẢI

Hình 135 a) Lấy một điểm I bất kỳ nằm trên đường thẳng (d) đi qua A và song

song với PF. Hai tam giác PIF và PAF có đáy PF chung và có chiều cao bằng nhau nên SPIP = SPAF (H.a).

PI

1. c) Lấy một điểm 0 bất kỳ nằm trên đường thẳng (d2) cách A bốn 3, song

song với PF, tức là có khoảng cách đến PF gấp 2 lần khoảng cách từ A đến PF. Tam giác POF có cùng đáy PF với tam giác PAF nhưng có chiều cao gấp đôi chiều cao ứng với cạnh PF cha tam giác PAF nên

SpoF = 2SpAF (H.b). d) Lấy một điểm N bất kỳ trên đường (d3) chứa đường trung bình của

tam giác PAF ứng với cạnh PF. Tam giác PNF có cùng đáy PF với tam giác PAF, nhưng có chiều cao tương ứng chỉ bằng 1 chiều cao

của tam giác PAF nên SPNP = SPAF (H.c).

(d)

1AC

Điểm IE (d) || PE

Ne (dz) // PE (h’ = h) Hình a 0 € (de) // PE

Hình c (h’ = 2h)

Hình 6 Bài 23. Cho tam giác ABC. Hãy chỉ ra một số vị trí của điểm M trong tam giác đó sao cho SAMB + SBMC = SMẠC:

GIẢI Do điểm M nằm trong tam giác ABC. Ta có SAMB + SBMC + SMAC = SABC (1)

F (a) mà SAMB + SMBC = Smac (gt) Từ (1) suy ra 2SMAC = SABC Như vậy ta tìm điểm M thuộc miền

H K trong tam giác để có SMAC = SABC (2) Kẻ BH 1 AC và MK L AC (H và K thuộc AC) Ta có • SABC = BH.AC (3) • SMẠC – MK.AC (4) Từ (2), (3) và (4), ta có MK = – BH không đổi (do B và AC cố định nên khoảng cách từ B đến AC là đoạn BH cũng cố định nên độ dài BH không đổi). Suy ra M nằm trên đường thẳng (a) song song với AC và cách AC một đoạn 2 BH không đổi. Do điểm M nằm trong tam giác ABC (gt) nên M chỉ di chuyển trên đoạn EF thuộc (a) và nằm trong tam giác ABC

(EF là đường trung bình của tam giác ABC). Bài 24. Tính diện tích của một tam giác cân có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b.

GIẢI Kẻ đường cao AH của tam giác ABC cân tại A thì AH cũng là trung tuyến nên HB = HC = .

C

Áp dụng định lý Pitago và tam giác vuông AHB ta có AB^ = AH^ + HB^

a

– AH2 = AB? – BHR = b?- (22= b? – ? = }(46?-a”) À => AH = V0 (452-ao) LV4b? -? Ta có Snac BC.AH =a.34b -aoVậy SABC Lavabo – ao

Ta có SABC

-92

В

H

a

C

Bài 25. Tính diện tích của một tam giác đều có cạnh bằng a.

GIẢI Giả sử tam giác ABC đều, cạnh a. Kẻ đường cao AH, ta có BH = Từ tam giác vuông ABH suy ra :

a

12

Ñ

=

a

12

A# – A#° -? (10)*-22- hay AH = V Do do Sane – B. Ari – Va Vậy SAR 43

a/2

Do dó SABC

1 a3 AH = – a.

2 2

l eto

B

Tóm lại

Một tam giác đều cạnh a và

av 3

đường cao h, ta có: h =

S