Câu 1: (2,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

1. 2x + 1 = 0)

2

X = 3 – 2y

3. x4 + 8×2 – 9 = 0.

y = -1 + 2x

69

Câu 2: (2,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức A = (a + 2va – 3) – (va + 1 + 49a với a > 0. 2. Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 60km. Hai người đi xe đạp cùng

khởi hành một lúc đi từ A đến B với vận tốc bằng nhau. Sau khi đi được 1 giờ thì xe của người thứ nhất bị hỏng nên phải dừng lại sửa xe 20 phút, còn người thứ hai tiếp tục đi với vận tốc ban đầu. Sau khi xe sửa xong, người thứ nhất đi với vận tốc nhanh hơn trước 4km/h nên

đã đến B cùng lúc với người thứ hai. Tính vận tốc hai người đi lúc đầu. Câu 3: (2,0 điểm) 1. Tìm các giá trị của m để phương trình x” – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 có

nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. 2. Cho hai hàm số y = (3m + 2)x + 5 với m = -1 và y = -x – 1 có đồ thị

cắt nhau tại điểm A(x; y). Tìm các giá trị của m để biểu thức

| P = y + 2x – 3 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4: (3,0 điển.) Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định và đường

kính CD thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (0) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E và F. Gọi P và 2 lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF. 1. Chứng minh ACBD là hình chữ nhật. 2. Gọi H là trực tâm của tam giác BPQ. Chứng minh H là trung điểm của

3. 3. Xác định vị trí của đường kính CD để tam giác BPQ có thiện tích nhỏ

nhất. Câu 5: (1.0 điểm) Cho 2015 số nguyên dương a;; a2, a3; ..; a2015 thoa màn

1 điều kiện: 1 . 1

1 I va va sa,

V8.2015 Chứng minh rằng trong 2015 số nguyên dương đó, luôn tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.

Chỉ dẫn Câu 1: HS tự giai

x = 1 1. X=

3. x = +1.

…+

=

89.

X

(y = 1′

Câu 2: L. A = -7. 2. Gọi vận tốc ban đầu của 2 người là x(l

/h) (điều kiện x > 0)

70

Theo đề bài ta có phương trình (đổi 20 phút = 5 giờ)

60 – X 1 60 – X

X 3 X+4 Giải và kết hợp điều kiện x > 0, ta được x = 20km/h. Câu 3: 1.x” – 2(m + 1)x + m2 – 3 = 0)

– Có nghiệm kép: 3 = 0 = (m + 1)2 – (m” – 3) = 2m + 4 = 0 c m = -2. – Lúc đó nghiệm kép X1.2 = -1

-2 1-m 2. Giao điểm A

m + l’m +1)

P = (1-m * +21 _2)-9=( 2-2-6

B

(m + 1) ( m + 1)

m +1 ->P -6. Vm = -1 Vậy GTNN của P = -6 khi m = 0 Câu 4: 1. ACB = CBD = ADB = 90° (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra tứ giác ACBD có 3 góc vuông

nên nó là hình chữ nhật. 2. PO là đường trung bình của tam giác AEB nên P) // EB1 = P | BF.

EB I BF Xét LPBF có BA 1 PF, P0 1 BF nên BA và P) là các đường cao của tam giác nhận 0 là trực tâm Do đó F(): PB.

(1) Lại xét APBQ có H là trực tâm nên QH 1 PB (2) Từ (1) và (2) suy ra QH // FO vì Q là trung điểm của AF niên H là trung

điểm của AO (đpcm). 3. S., AB(AP + AQ) = + AB(AE + AF) (3) Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dương AE và AF ta có

AE + AF > 2 VAE.AF Có dấu “=” khi AE = AF Từ (3) và (4) suy ra sao – ABAE.AF

(5)

71

Trong tam giác vuông EBF ta có: AE.AF = AB (6) Từ (5) và (6) suy ra SP 2 , có dấu “=” khi AE = AF khi đó tam giác

2 EBF vuông cân tại B = hình chữ nhật ACBD là hình vuông nên 2 đường chéo vuông góc A AB1CD.

AB? (2R) – 2R2. Vậy khi CD I AB thì min SPH = = .=

Câu 5: Giả sử trong 2015 số nguyên dương a1, a2, …, 2014, 2015 không có

hai số bất kì nào bằng nhau. Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử | a > a > … > a2014 – 2015 – 2015 nên a > 1, a > 2, a2015 – 2015 1 1 1 1 1

1 1 Suy ra: = + + … +

– va va Vazura

(1)

V2 ***** 2016

=

+

–

+…+

<

+

2. Ta lại có

–

– 3 V2015 vi + 12

2014 + 2015 = 22015 – 1589

(2) 1 1 Từ (1), (2) ta suy ra ,1

< 89 điều này trái với điều va va, va 2015 kiện đặt ra đối với bài toán. Vì thế trong 2015 số nguyên chương, tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau (đpcm).