1. KIẾN THỨC CƠ BẢN * Đạo hàm tại một điểm 1. Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x, 6(a; b).

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim(*) (*) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xa và kí hiệu là f(xo) (hoặc

. y(x)), tức là: f(x)= lim'(*) J-4)

13-740 x-xo Chú ý: Đại lượng ax=x-x, được gọi là số gia của đối số tại K.. .

Đại lượng ty = f(x)=f(x)=f(x +Ax)=f(x) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy: y(x)= lim ) .

Ain0 Ax .

của đối số tại xo, tính

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1: Giả sử A là số gia Ay= f (x + Ax)-f(x,).

Bước 2: Lập tỉ số ay

Bước 3: Tìm limay

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí 1: Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại xp thì nó liên tục tại điểm đó.

13

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí 2: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến MT của (C) tại điểm M(xa; f(x)).

| Định lí 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M(x;f (x)) là: y-y% = f(x)(x-x%), trong đó 9 = f(x).

* Đạo hàm trên một khoảng ” 5. Định nghĩa: Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. Khi đó, ta gọi hàm số f (a, b)+ R

.: XH f'(x) . là đạo hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a; b), kí hiệu là y hay f(x). B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK) Bài 1 (Trang 156, SGK) a) Ay = f (xo +4x) – f (x)= f (2) – f (1)= 2 –13:=7. : b) Ay = f (xo + 4x)- f (x) = f(0,9

= 1660-1=-0,271. Bài 2 (Trang 156, SGK) a) y = f(x+1)-f(x)=2(x+Ax)-5-(2x-5)= 2A và A = 2. b) Ay = f(x+4x) – f (x)=(x+4x)?-1-(x2-1) = 2x4x+(Ar)?

= Ax(2x+Ar) và A = 2x+ A. c) Ay = f (x+4x)– f (x) = 2(x+ Ar) – 2x”

= 6x’Ax+63(4x)2 + 2(4x)’ = 24x{3×2+3xAx+(4x)?)

v 24x(3×2+3x4x + (Ar)”) – 67 +6747+2410712 ‘ax . Ar

Giải bài tập Đại số và Giải tích 11.

:

729

1000

và

.

.

..

Ar

và 4y 24/3,

96

x+Ax

x

x

1. d) Ay= f(x+4x)=f(x) = 1 d) Ay = f (x+)=(x)=x+4x x

1 – Ar

x(x+4x) và ly _ –

Ar x(x + Ar) Bài 3 (Trang 156, SGK) a) Giả sử Ax là số gia của đối số tại x = 1. Ay=[(1+Ax)? +(1+ Ax)]-(1 +1) = 34x+ Ar? 4x = 3+ Ar; lim ax = lim (3+4x) = 3 Vậy, ta có: f(1) =3. b) Giả sử Ax là số gia của đối số tại xn = 2.

Ar->0

Ay=

Ax –=-= 2+ Ar 2 202 + Ar)

1n?

=

x

– lim = = lim2(2+ Ar)’ 6x-40 Ar arr0 2(2+ Ar)

Vậy, ta có: f (2) = 1 c) Giả sử Ax là số gia của đối số tại x = 0. Av – Ar+1_1-1) = 24r

Ax-1 Ar-1.

2 . An =

lim –

2 Ar Ar-1 Aino Ar

=

– lim

Arn0 Ar-1

-2

. 10+

10

Vậy, ta có: f(0)=-2. Bài 4 (Trang 156, SGK) Ta có: lim f (x) = lim (x-1) =1 và lim f(x)= lim(-x)=0

Vậy hàm số f(x) gián đoạn tại x =0 và vì vậy không có đạo hàm tại x=0.

Tại x=2 ta có: lim Ay – jim (2+ Ar–1)- (2-1) _

-= lim (2+ Ar) = 2 Vậy hàm số có đạo hàm tại x=2 là y(2)= f(2)= 2.

Arto Ar

Ar=0

Ar

Ar0

41-0

41-70

.

Ar

Bài 5 (Trang 156, SGK) Hướng dẫn giải: Cần tính hệ số góc bằng định nghĩa. K= f(x)… Giải: Bằng định nghĩa ta có được: y = 3x^.

1. a) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M,(X0; f(X,):

y-ý, = f'(x)[x = x,] > y= f'(x)[x-x,]+ f (xo). y= f(x)=x”, y'(xo) = f'(X.)= lim (to + Ax]” – (40) = 3x.? Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm (-1;-1) là: y =3(x+1) – 1 = 3x+2. b) Tại điểm có hoành độ x = 2 y = 3 (2)’ [x – 2]+(2)’ = 12x-16. c) Gọi x là hoành độ tiếp điểm. Ta có: y(x)=3= 3x =3x =le x, st1 Xo = 1 ta có y(1) = 1, tiếp tuyến có phương trình là: y-1=3(x-1) hay y = 3x – 2 Xe =-] ta có y(-1) =-1, tiếp tuyến có phương trình là: y-(-1)= 3(x-(-1)]hay y = 3x+2. Bài 6 (Trang 156, SGK) Hướng dẫn giải: Cần tính hệ số góc bằng định nghĩa. K= f(x). Giải: Bằng định nghĩa ta tính có được: y =

4. a) x 4 =-4. Do vậy, hệ số góc của tiếp tuyến bằng–4. Vậy phương trình tiếp tuyến của đường hypebol tại điểm ( 2 ) là:

22

1

98

y-2– — hay y=-44+4. b) Tại điểm có hoành độ xo =-1

y(-1)=-1. Do vậy, hệ số góc của tiếp tuyến bằng-l. Ngoài ra, . y(-1)=-1 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ: x =-1 là: .y=(-1)=-[x-(-1)]hay y=-x-2. c) Gọi x là hoành độ tiếp điểm. Ta có: v*(*)=-=-=-x’=4€ = + 2 xu =2 ta có y(2)=g, tiếp tuyến có phương trình là:

– 3(-2) hay y=-*x+1, x = -2 ta có y(-2)= 1, tiếp tuyến có phương trình là: . »-(1)–[x=(-2)] hay y=-x-1 Bài 7 (Trang 157, SGK)

1. a) Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ 1 đến t+At là:

s(t+at)-s(e)_38:(t+at)?- 58.t? 1 . At.

=*8.(2t+4t) 4,9.(2t+at). t=5 và At =0,1 thì v = 4,9.(10+0,1) = 49,49 (m/s). t=5 và At =0,05 thì b = 4,9.(10+0,05) = 49,245 (m/s). t=5 và At = 0,001 thì v = 4,9.(10+0,001) = 49,005 (m/s). b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t=5s tương ứng với At =0 nên v = 4,9.10 = 49 (m/s).

At

:

251

7

:14Tal